閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可積性的證明docgzip

1、§6-3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可積性的證明· · · · · · bax圖6-3函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)，都有僅與有關(guān)的正數(shù)，當(dāng)把區(qū)間劃分為有限個(gè)長(zhǎng)度都不超過(guò)的小區(qū)間時(shí)(圖6-3)，在每一個(gè)小區(qū)間上，函數(shù)的最大值減去最小值的差(稱(chēng)為振幅)不會(huì)超過(guò)，即。令， 則有即 (6-1)正是有這個(gè)結(jié)論，我們才證明了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的可積性。圖6-4OaABxbyByAxO ab證 設(shè)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于區(qū)間的任何兩個(gè)劃分方法和，總有。為了說(shuō)明這個(gè)結(jié)論,不妨認(rèn)為。如圖6-4，對(duì)于任意劃分，小和對(duì)應(yīng)的那些內(nèi)接小矩形

2、合起來(lái)含在曲邊梯形內(nèi)。如圖6-4，對(duì)于任意劃分，大和對(duì)應(yīng)的那些外接小矩形合起來(lái)能夠覆蓋住曲邊梯形。因此，總有。其次，因?yàn)樗锌赡艿男『蜆?gòu)成的集合有上界，所以有最小上界,于是；而因?yàn)閷?duì)于所有可能的大和構(gòu)成的集合有下界，所以有最大下界，于是。 因此，有。 特別，對(duì)于區(qū)間的任意劃分，就有 或 根據(jù)條件(6-1)，所以(公共值)。又因?yàn)椋?所以有即這樣，就證明了函數(shù)在區(qū)間上的可積性。【注】函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是函數(shù)可積的充分條件,而不是必要條件。在下一章中將證明,在有限區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)也是可積的，甚至有的可積函數(shù)會(huì)有無(wú)限多個(gè)間斷點(diǎn)。習(xí)題和選解1.設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間上連續(xù)。用任意方法把區(qū)間劃

3、分成小區(qū)間：證明其中。注意，左端的和數(shù)不是積分和！而稱(chēng)它為“擬積分和”。2.設(shè)函數(shù)和在閉區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。用任意方法把區(qū)間劃分成小區(qū)間：。證明其中。左端的和數(shù)也不是積分和，也稱(chēng)它為“擬積分和”。3.黎曼引理（*）習(xí)慣上稱(chēng)這個(gè)結(jié)論為黎曼引理, 因?yàn)樵谧C明其他許多有關(guān)結(jié)論時(shí)都要引用這個(gè)結(jié)論。 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則有 和 【注】當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上為可積的情形時(shí), 結(jié)論仍然成立（證明在下一章中）。證 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只證明其中一個(gè)等式就行了。設(shè)(常數(shù))。對(duì)于區(qū)間的任意劃分：則有從而有 其中為函數(shù)在區(qū)間上的最大值, 為最小值; 而。 因此，設(shè)為任意給定的正數(shù), 根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)性(康托爾定理), 先把區(qū)間劃分成個(gè)小區(qū)間, 使在每一個(gè)小區(qū)間上, 都有; 再取正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)極限定義的“”說(shuō)法，所以有。4.證明。證 由恒等式 得另一方面， ()其中函數(shù)在點(diǎn)有極限【用洛必達(dá)法則求極限】。補(bǔ)充函