1直線與橢圓關(guān)系

1、1 直線與橢圓的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為, >0時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，= o時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn)， <0時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)在判定此類情形時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合.2 .直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫做橢圓的弦.設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(X1, yi), B(X2, y2),直線AB的斜率為k，則：| AB | =或：.利用這個(gè)公式求弦長(zhǎng)時(shí)，要注意結(jié)合韋達(dá)定理.當(dāng)弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)，可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算.焦半徑公式3 .中點(diǎn)弦問(wèn)題：x2 y2設(shè)A(Xi, yi), B(X2, y2)是橢圓 篤心 =1上不同的

2、兩點(diǎn)，且 Xi族2, Xi+ X20 M(Xo, yo)為AB的中點(diǎn)，則2b2"2兩式相減可得yi -y2yi 亠y2Xi 亠2 Xi X2b22 ，a2 2X y例i設(shè)Fi、F2分別是橢圓i的左、右焦點(diǎn)54(1) 若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PFi卩F2的最大值和最小值；(2) 是否存在過(guò)點(diǎn) P ( 5, 0)的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、D，使得|F2C|=|F2D| ?若存在，求 直線I的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由1 2 忑例2.已知橢圓M岀 (a > b> 0)的離心率為 3 ，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為6+4 J-,(I)求橢圓 M的方程

3、；(H)設(shè)直線 I與橢圓M交于A, B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右 頂點(diǎn)。，求厶ABC面積的最大值.(III)思考：若直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A、B,以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)C,此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)？2 2例3.在橢圓計(jì)匕"上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y = 4x+ m對(duì)稱，求m的取值范圍.2 2思考：在橢圓X y 1上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線 y= kx+ 1對(duì)稱，求k的取值范圍431判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合；用判別式的方法時(shí)，若所得方程二次項(xiàng)的 系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.2.涉及中點(diǎn)弦的問(wèn)題有兩種常用方法：一是 設(shè)而不求”的方法，利用端點(diǎn)在曲線上，坐

4、標(biāo)滿足方程,作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，它能簡(jiǎn)化計(jì)算；二是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.對(duì)于存在 性問(wèn)題，還需用判別式進(jìn)一步檢驗(yàn).3 .對(duì)稱問(wèn)題，要注意兩點(diǎn)：垂直和中點(diǎn).1 直線與橢圓的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為， >0時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，= 0時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn)， <0時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)在判定此類情形時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合.2 .直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫做橢圓的弦.設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(X1, y1)，B(X2, y2),直線AB的斜率為k，則：| AB I =或：.利用這個(gè)公式求弦長(zhǎng)時(shí)，

5、要注當(dāng)弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)，可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算.焦半徑公式3 .中點(diǎn)弦問(wèn)題：設(shè) A(xi, yi),B(X2,2y2)是橢圓X2a2y2 =1上不同的兩點(diǎn)，且b2X1 族2,馮+ X20 M(X0, y°)為 AB 的中點(diǎn)，則 °必22準(zhǔn)b22雖T2.2 _ 1a b二 1兩式相減可得y1y2X1 %2y1y2b1 2 ，X1X2a例1設(shè)Fi、F2分別是橢圓二1的左、右焦點(diǎn).(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF1卩F2的最大值和最小值;(2) 直線是否存在過(guò)點(diǎn) P( 5，0)的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .C、D，使得|F2C|=|F2D|

6、?若存在，求解:()易知 a = 5,b = 2,c = 1, Ft = (-1,0), F2 (1,0)(x, y)，則 PF1 PF2 二(-1 -x,-y) (1 -x,-y) =x2y2 -1X24-4x25十I23當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),PF1 PF2有最小值3；當(dāng)x二 5，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，PF1卩F2有最大值4(2)假設(shè)存在滿足條件的直線I易知點(diǎn)P (5,l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線I斜率存在，設(shè)為k'2直線I的方程為y =k(x5)由方程組50)在橢圓的外部，當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，直線24 =1，得(5k2 4)x2 -50k2x 125k2-20 =

7、0 j = k(x 5)依題意厶=20(16 -80k2)0,得 5 : k 555.'5,'5當(dāng)k 時(shí)，設(shè)交點(diǎn) C (x1, y.) )> D(x2, y2), CD 的中點(diǎn)為 R(x0, y0),552則 xix1x225k2"5k2425k2 y。=k(X0 -5) =k(5k +4-5)-20k5k24c /20k、0 - (2)又IF2CFIF2DU F2R_I = k kF2R - -1. k kF2R =k5k 2 4/25k125k2420k2d2 = 一 14-20k220k2=20k2 4，而 20k2=20k2 4 不成立，所以不存在直線

8、I，使得 |F2C|=|F2D|,綜上所述，不存在直線I，使得|F2C|=|F2D|例2.已知橢圓M(a > b> 0)的離心率為速3，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為6+ 4 ,(I)求橢圓 M的方程；(n)設(shè)直線 I與橢圓M交于A, B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)。，求厶ABC面積的最大值.解:(I)因?yàn)闄E圓 M上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為6+4所以2a+2c=6+4J-,又橢圓的離心率為2恵'，所以22T所以a=3 , c=2一= 1所以b=1 ,橢圓M的方程為'。y =-丄 a(n)不妨設(shè) BC的方程y=n (x-3) (n

9、 > 0)，則AC的方程為'尹二旳(兀_3)=r1+2 = 1 (丄+小)工一6護(hù)疋十知2 1= 0 "得'乂弭(可必)因?yàn)樗訽 27 - 39同+1 ，同理可得所J n一-1 2( + -)2；23旳旳二篤4仗 + )+ 1 -» + > 2&匸二<16464 _ 8t +r +起9,設(shè)冷，則99fkA£C當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)取等號(hào)，所以 ABC面積的最大值為'。(3) 思考：若直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A、B,以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) 恒過(guò)定點(diǎn)？(4) 求以A(2,1)為中點(diǎn)的橢圓的弦所在直線方程；2 2若橢

10、圓L丄1的弦被點(diǎn)(4,369變式訓(xùn)練2 :2)平分，則此弦所在直線的斜率為C.例3.在橢圓2=1上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線43y = 4x+ m對(duì)稱，求m的取值范圍.C,此時(shí)直線設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于直線 y=4x+m 對(duì)稱,AB中點(diǎn)為 M(xO,yO)。貝U3x1A2+4y1A2=123x2A2+4y2A2=12相減得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 由于 M是AB的中點(diǎn)，所以 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0既 6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0則 k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.y0=3x

11、0.代入直線方程 y=4x+m得 x0=-m,y0=-3mk的取值范圍因?yàn)?x0,y0)在橢圓內(nèi)部。貝U 3mA2+4(-3m)A2<12 解得-2V 13/13<m<2713/132 2思考：在橢圓亍1上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y= 3 1對(duì)稱，求1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合；用判別式的方法時(shí)，若所得方程二次項(xiàng)的 系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況. .涉及中點(diǎn)弦的問(wèn)題有兩種常用方法：一是 設(shè)而不求”的方法，利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程,作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，它能簡(jiǎn)化計(jì)算；二是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.對(duì)于存在 性問(wèn)題，還需用判別式進(jìn)一步檢驗(yàn).

12、3 .對(duì)稱問(wèn)題，要注意兩點(diǎn)：垂直和中點(diǎn).高二數(shù)學(xué)直線與橢圓作業(yè)20161201姓名1. “a 3 ”是直線 ax+ 2y+ 2a= 0 和直線 3x + (a 1)y a+ 7= 0 平行”的(A )A.充分而不必要條件B 必要而不充分條件 C 充要條件D 既不充分也不必要條件2中心在原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng) 為3，離心率為2的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是(A )A.432 2x_342X2 彳C. y =1422 yX4=1、,2 、,23.橢圓-1上有n個(gè)不同的點(diǎn):4 3Pi, P2,，Pn,橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列|PnF|是公差大A. 198B. 199C. 200D. 20122于疵的等差數(shù)列，則n的

13、最大值是4 .若 * R，則是方程二:廠1表示橢圓”的A .充分而不必要條件.B .必要而不充分條件.C.充要條件D .既不充分也不必要條件x2 y25已知點(diǎn)A(4, 2)是直線1被橢圓369 1所截得的弦的中點(diǎn)，則直線 I的方程是(B)A. x-2y=0x+2y-8=0C. x+y-6=0D. 2x+y-10=06若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓2x y 1的中心和左焦點(diǎn),43占八、P為橢圓上的任意一點(diǎn)，貝U OpFP的最大值為A.2B.3C6D.8*7 .2點(diǎn)P( 3, 1)在橢圓 篤 2=1(a>b>0)的左準(zhǔn)線x =a2 b2x2上，過(guò)點(diǎn)cP且方向?yàn)閍 = (2, 5)的光線,經(jīng)直線

14、y= 2反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為(A)2 28 .若橢圓ax y =1的離心率為33，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等22 29已知圓 A : (x -3) y =100 ,動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)B (-3, 0)且與圓A相切，則動(dòng)圓圓心 M的軌2跡方程為22L匸12516；3-110設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以 F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率 e為.2 211 點(diǎn)P是橢圓 =1上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若厶PF1F2為直角三角形，則厶PF1F2259的面積是9或3652 212.已知橢圓G :2=1(a b

15、0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2，點(diǎn)P在橢圓G上，且PFi _市2，a b且PFi3PF2二10-3，斜率為1的直線丨與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作3等腰三角形，頂點(diǎn)為Pi (-3,2).(1)求橢圓G的方程；(2)求CRAB的面積.分析：1 )由橢圓G： 2叫TSAirXO的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fl. F2.點(diǎn)P在橢IUG上,且PF1±F1 a i"F20F尸半，|嚇二畔 -te|HF2=4j2 f即心2匹，為護(hù)叫+ |卩罔詔返，由此能求出 橢圜G的方程_fyx+m(2 )設(shè)直線I的方程為y=X+m *由k2 v 2_1得4x6wjc+3w 2-12 = 0 *設(shè)九B&3

16、坐標(biāo)分羽T別為(xl r yl ) * ( f y2 ) ( xl < xi AB中點(diǎn)為E (y )則并=斗2 =罟 y=x+m= r由此能求出APA召的面積.解答：解:(1 )橢國(guó)G： =l(a>i>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2 .點(diǎn)P在橢那上 a獷且PF1丄F1F2目?jī)已径d，I円劃二畔 ,誹1R匕罟峙=誹返,2aPFl|+|PF2|=4j3 , /.a=jJ5 .又歸汎厶4 r所以橢HG的方程為壬丐=1 +(2 )設(shè)宜線I的方程為戸艾+m .由j i2 v 2_ f 得4x2+Gwx-3m ：-12 = 0 , # 1J2 V設(shè)久呂的坐標(biāo)分為(勒幻)(X兀)AB中點(diǎn)為E

17、(xf y),rat 石乜r Smm址二丄產(chǎn)二一ry=xm=-.JL-因?yàn)锳B是等腰“PAB的底邊f(xié)所以PE丄AE .所以PE的斜率2 三廣-解得m=2 ,此時(shí)肓程為4x2fl2x = 0 .解得xl=-3 , y2=O .所以y1=-i, y=2 所切ab|=3返.此時(shí)點(diǎn)珥月.2 )到直線AE : x-y+2=0的顯瞎c/二還蘭二攀Ig所APAB的面積S=-AB >d=- r點(diǎn)評(píng):本題考査桃圜方程和三角形面積的求考査運(yùn)算求解能右，推理論證能力；考査 化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng)r難度大有一走的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思瞬幻J要求較高,是高 考的重點(diǎn)解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答13已知 M(-3,0)、

18、N(3,0),P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PM與直線 PN的斜率之積為常數(shù)m(m _-1,m 刊).(1)求P點(diǎn)的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？5若m,P點(diǎn)的軌跡為曲線C,過(guò)點(diǎn)Q(2,0)斜率為k1的直線11與曲線C交于不同的兩點(diǎn) A、B,AB9中點(diǎn)為R,直線0R（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，求證kik2為定值;（3）在（2）的條件下，設(shè) QB二，AQ，且2,3，求11在y軸上的截距的變化范圍V V解：（ 1）由命卞"'：得八能-9）,若m= -1，則方程為才+丫 =9，軌跡為圓（除A B點(diǎn)）一=1，方程為. NA B 點(diǎn)）。5f v2 .(2)9時(shí)，曲線c方程為+=195，

19、設(shè)，軌跡為雙曲線（除的方程為:x=n+21*3x2V* ,+ -=1，方程為9 -9rn，軌跡為橢圓（除點(diǎn)A B點(diǎn)）；與曲線c方程聯(lián)立得：卯一25二° ,6分-20r-25設(shè)，則 h+h 5?+9 ，才+9 ,40f可得得門(mén)二一Cl代入得:-20t如齊，25式平方除以式得:l-2+z=曲Z5+9 ,上單調(diào)遞增,-2+X而./'在y軸上的截距為b,3【解析】c試題分析：在橢圓中,a=2 , c=1橢圓上點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離是a-c=1 ，最大距離是a+c=3，因?yàn)閿?shù)列|PnF|是公差大于一，的等差數(shù)列，所以要使n最大，應(yīng)讓I|濟(jì)卜囲L2,=a-c=1， I * =a+c=3 ，

20、所以 d= 和-1 初-1100，所以 *<201，所以 n 的最 大值為2007A【解析】滿分5 *給你不一樣的解答I 試題分析：因?yàn)榻o走點(diǎn)P (-3 r 1)在橢圓C二+匚=沁的左準(zhǔn)線上，則可知-=3 f同時(shí)根據(jù)光線的方向?yàn)槭? 2 , -5 ),可知其斜率為-扌可知其直線方程為 cv-l = -|(x+3),那么可知直線反射后經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)那么有與尸-2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為冷 而反贏歧與入射光線的斜率互為相反數(shù)可知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0) f因此可知占很 a = y/3，故離心率為f，選A19.設(shè)x, y R, T,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若a = xT + (y+

21、2) j , bL._. -+f=x i + (y- 2) j，且 |a 1+ |b|= 8(1)求動(dòng)點(diǎn)M (x, y)的軌跡C的方程.設(shè)曲線C上兩點(diǎn)A、B,滿足直線AB過(guò)點(diǎn)(0, 3), (2) OP=OA 9B且OAPB為矩形，求 直線AB方程.20.動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)A(伍,0)，且與定圓A': (x應(yīng))2+ y2= 12相切.(1)求動(dòng)圓圓心 M的軌跡C的方程；過(guò)點(diǎn)P(0, 2)的直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) E、F，求PE PF的取值范圍.19. ( 1 )解：令 M(x, y), F1(0, 2), F2(0, 2)則 a = F1M , b = F2M，即| a |+ | b

22、|= | F1M |+ | F2M I,即 | F1M + | F2M |= 8,p2又t F1F2 = 4 = 2c,. c= 2, a= 4, b = 12所求軌跡方程為16 12%),(2)解：由條件 可知OAB不共線，故直線 AB的斜率存在，設(shè) AB方程為y= kx+ 3, A(X1,y =kx +3B(X2,2)，貝U y2 *x2n (3k2 + 4)x2 + 18kx 21 = 0.16 12 -X1+ X2= 18k3k24X1 X2 =-213k24y1 y2= (kx1 + 3) (kx?+ 3) = k2 X1X2 + 3k(x1 + x?) + 9=3b T8k23k24/ OAPB 為矩形， OA 丄 OB OA OB = 0二X1X2+ y2= 0 得k= ± 5 所求直線方程為y =±