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文檔簡(jiǎn)介
1、威布爾和極值分布的推斷方法這-章將對(duì)威布爾分布討論其統(tǒng)計(jì)方法。威布爾密度函數(shù)是 # # II其中00和a>0是參數(shù),經(jīng)常分別稱它們?yōu)樵摲植嫉男螤顓?shù) 和尺度參如代替威布爾分布的-種更方便的形式是與其等價(jià)的 極值分布,其密度函數(shù)為./Ci川)=eT(-,i").(402)其中 » (一8<“<乂)和b (6>0)是參數(shù)。就像在L 32節(jié)中指出的那樣,假如丁有密度函數(shù)(40.1),那未X=logT有密度函 數(shù)(4.0. 2),其中u=oga和円研究極值分布更方便,主要是由于“和0是位置參數(shù)和尺度參數(shù)這個(gè)事實(shí),從-個(gè)分布導(dǎo)出 的任結(jié)果很容易轉(zhuǎn)換到另-個(gè)分布
2、上去。威布爾分布在實(shí)際中是很重耍的壽命分布,大量射方法的 文獻(xiàn)都是由此分布引岀的。關(guān)于威布爾分布的很多文章都涉及它 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。一般說(shuō)來(lái),由于對(duì)(4.0.1)的0和a,或與之等價(jià) 的(4.0.2)的"和0沒(méi)有二維充分統(tǒng)計(jì)量,從而使產(chǎn)生估計(jì)量的 統(tǒng)就很多。此外,與威布爾分布和極值分布有關(guān)的多數(shù)估計(jì)量 和其它統(tǒng)計(jì)量的分布在數(shù)學(xué)上是難于處理的.這就導(dǎo)致多方面的研究如為便于推斷而編制用表;對(duì)某種類型估計(jì)尋求近似分布。 幸運(yùn)地妊相對(duì)便于使用的好的統(tǒng)計(jì)方法已有一些,多謝高速計(jì)算 機(jī)幫助其實(shí)現(xiàn)。涉及型截尾數(shù)據(jù)的問(wèn)題將首先討論,接著進(jìn)行I型截尾數(shù) 據(jù)的推斷然后是威布爾分布的比較和其它專題。4-1單樣
3、本:完全或"型截尾數(shù)據(jù)對(duì)完全的或R型截尾數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō),統(tǒng)計(jì)理論及其各種方法都是 較為成熟的,盡管他們?cè)跀?shù)學(xué)上和在計(jì)算上都是復(fù)雜的。設(shè)右 冬仃是來(lái)自威布爾分布(4()1)的容量為九的隨機(jī)樣本中前廠個(gè)最小觀察值,或者等價(jià)地假設(shè)"W冬片是來(lái)自(4.0.2)的容量為n的樣本中前r個(gè)最小觀察值,其中* = 】og珀。(為方便起見(jiàn).我們將在如和工"的卜標(biāo)數(shù)字上省略括號(hào),除非另外指定。在 這節(jié)中兀表示第個(gè)最小觀察值用(141)可得q,.卩 的聯(lián)合密度函數(shù)為(二;門(mén)(Q +嚴(yán)7"exp (宀 心討exp (2。山)(4. 1. 1) 這就定義了立和5的似然函數(shù)9同時(shí)可看出,
4、G,.易)是這 個(gè)樣本的最小充分統(tǒng)計(jì)量oU和5的點(diǎn)估計(jì)將先討論,然后討論檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì),推導(dǎo)和 結(jié)果將主要用極值分布語(yǔ)言給出。411點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)從(411)可以取出如下的似然函數(shù) 143 這里我們引出一個(gè)有用的記號(hào),對(duì)任意序列炒,記rr:® =+(一 r)w, i= 1i i對(duì)數(shù)似然函數(shù)是logLCw ,6) rlogZ? 4- £:飛xp玉(4-1 4) m. L e,矗和&叮同時(shí)解方程?oL/du 0和31ogl/巧=()得到? 為此,一個(gè)簡(jiǎn)便的途徑是令(4h3)為0,給出將此式代入方程刁1。屛/笳=0,可得(416)為了尋找立和人可以確定&作為(
5、4.1.6)的解,然后從(4.1.5)得到譏由于(416)不能解出厶的明顯表達(dá)式,故某些數(shù)值方法必需采用。使用疊代法,譬如牛頓法(見(jiàn)附錄F),給出(416)的解是沒(méi)有困難的。威布爾參數(shù)"和a的m. Le,是&=expz;和'、假如有必 要,極大似然方程CL1-5)和(416)可以改寫(xiě)為威布爾形式, 然后直接解岀&和可是這樣做沒(méi)有特別方便之處,其壘后方程 是 145 (4<b7)(4. L 8)£ *亦可參見(jiàn)可靠性試驗(yàn)用表(增訂本),國(guó)防工業(yè)出版社,1987 澤者注。 144 £ 7 - 4占 £ 1。筋=°i Mi
6、 -1線性估計(jì) 威布爾或極值分布的參數(shù)的極大似然估計(jì)是直接獲得的,這常需要用計(jì)算機(jī)去解方程(416)或C4-1-8),不用計(jì)算機(jī)就可 完成估計(jì)的計(jì)算有時(shí)是很方便的。在這方面宀和b的線性估計(jì)常 被采用他們是形如u=工廠)不7= 1(4. 1.9) rb=的估計(jì)其中諸血和&是常系數(shù),它們依賴于廠和心 當(dāng)給出諸 e和心后9線性估計(jì)很容易算得,然而對(duì)大多數(shù)最好的線性估計(jì) 沒(méi)有簡(jiǎn)單公式能以廠和挖形式給出諸彳和這樣一來(lái),必須要 構(gòu)造系數(shù)值的表J最好線性無(wú)偏估計(jì)(b.Lu.x),即在線性無(wú) 偏估計(jì)類中具有最小方差的估計(jì),可以從位置和尺度參數(shù)的線性 估計(jì)的一般結(jié)果中獲得(Lloyd 1952 ; Ke
7、ndall 和 Stuart 1967, P(1956)和其他人曾8791;亦可見(jiàn)問(wèn)題 41)9 Lieblein 和Zelen 對(duì)極值分布導(dǎo)出這樣的估計(jì)。另外,Mann (1967a)考慮了統(tǒng)和6的最好線性同變估計(jì)(b.l.i.eQ,這種估計(jì)在線性估計(jì)類中擁有 最小均方誤差,且(均方誤差/h2在對(duì)諸無(wú)作位置尺度變換下是 不變的。對(duì)于這二類估計(jì)確定(4-1.9)中諸血和e,要求先算出標(biāo) 準(zhǔn)極值分布次序統(tǒng)計(jì)量的均值,方差和協(xié)方差(見(jiàn)問(wèn)題4.1),Mann等人(1974.第5章)對(duì)極值分布給岀了線性估計(jì)很好的討論,Sarhan 和 Greenberg (1962)和 David (1970)對(duì)線性
8、估計(jì)作了一般地討論。對(duì)小到中樣本來(lái)說(shuō),b. 1ic.大概是最方便的。這些估計(jì)的系 數(shù)“6, r)和c.(n,r)的表是容易得到的:Mann仃967a)和Mann 等人(1974, ppl94-207)對(duì)的樣本給出了表,Mann(1967b)對(duì)2WW5給出了表,bLie作為u與b的點(diǎn)估計(jì)可以和m.Le.進(jìn)行比較。兩者都是漸近有效的,在小到中樣本場(chǎng) 合它們都有類似的性質(zhì),blie更容易計(jì)算,雖然它們現(xiàn)在只能 對(duì)”£25的樣本使用,因?yàn)槌鲞@個(gè)范圍還沒(méi)有這樣的表。無(wú)論 如何容易計(jì)算不應(yīng)成為壓倒一切的理由。事實(shí)上,由于極大似 然估計(jì)也可用于1型截尾數(shù)據(jù),而線性估計(jì)一般是不能的,因此,任何人,
9、只要他經(jīng)常使用威布爾模型、且數(shù)據(jù)常常是I型截尾的, 計(jì)在I型截尾數(shù)據(jù)場(chǎng)合總是被優(yōu)先使用他就需要有計(jì)算極大似然估計(jì)的程序。無(wú)論nU.還是線性估在文獻(xiàn)中還有很多其它的線性估計(jì)被提岀來(lái)。DAgostino (1971和另一些人討論了 bL u, e.和b. L i. e的近似式,很多作 者提出這樣的線性估計(jì),它所需的表要比b1. iie.或b1. i. e.的 表要小得多。Mann等人(1974,第5章),Mann和Fertig(1977)和Engelhardt和Bain (1977a)研究了其中最好的。兩個(gè)這樣的估計(jì)將在41. 2d節(jié)中討論、在那里它們將用來(lái)獲得“和6 的置信區(qū)間。最后,Thoma
10、s和Wilson (1972)討論了逐步增加的I型截尾樣本的線性估計(jì)。有時(shí)我們希望很怏或很容易地計(jì)算出”和6的估計(jì)。譬如,為 了計(jì)算ml巴的*和&時(shí),對(duì)A的值要有一個(gè)初始的予測(cè)。這時(shí) 可以利用簡(jiǎn)單的線性估計(jì),如在412d節(jié)中討論的估計(jì),或它們 的最小二乘估計(jì)。另一種可能性就是利用概率紙得其圖估計(jì)。它 們的一般敘述已在2.4.2節(jié)中給岀。這里讓我們對(duì)極值分布簡(jiǎn)要 地回顧一下全過(guò)程。假如-張概率紙就像2.4.2節(jié)那樣已被構(gòu)造 出來(lái),那么對(duì)概率紙上的點(diǎn)擬合一條直線,用此擬合直線即可獲 145 得次和"的估計(jì)。這條直線可以用最小二乘法做出(見(jiàn)25節(jié);White, 1969),但常用目
11、測(cè)來(lái)擬合這條線因?yàn)闃O值分布的生存函數(shù)滿足log SgS=(XU)/久擬合的直線將有方程Y log logS (jt)=(rr "J /b這條直線的斜率濟(jì)可估計(jì)“久軸上的截距“I可估計(jì)"當(dāng)極 值分布概率紙用S&)作刻度時(shí)7的截距是用擬合直線與直線y =0的交點(diǎn)給出的。這時(shí)對(duì)應(yīng)的S(n) = e 1 = 0- 368。圖估計(jì)和其它估計(jì)方法nJ以用下面的例子來(lái)說(shuō)明。例4I (例24Z再考察)Mann和Fertig (1973)給出飛 機(jī)零件的失效時(shí)間,在這個(gè)壽命試驗(yàn)中共有13個(gè)零件參與試驗(yàn), 試驗(yàn)是在第10個(gè)零件發(fā)生失效時(shí)結(jié)束。失效時(shí)間(小時(shí))是022, 0. 50, 0
12、.88, 1.00, 132 133, 1-54, 1, 76, 2 50 和 3 00,設(shè)這些數(shù)據(jù)來(lái)自威布爾分布讓我們利用前面所敘述的各種估訃方法。為了計(jì)算線性估計(jì)我們把這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成極值形式"0 個(gè)觀察值的對(duì)數(shù)分別是】5彳4 0. 693類似數(shù)表町柱町靠性試驗(yàn)用表査得該書(shū)于1978年由國(guó)防工業(yè)出版社出版 增訂本一譯者注。 012& 0, 0278, 0.285, 0. 432. 0.565, 0.916 和 1099。利用 Mann 等人( 1974) 的表53可得必要的數(shù)* ,我們可算得b.L i匕如下莎一一0 002927(- 1. 541) + -I 0, 6153
13、48(1. 099)-0. 873萬(wàn)二一0 083170(-1. 541)斗T 0 528441(1. 099) = 0.715這個(gè)例子的圖估計(jì)曾在例2. 4.2中描述過(guò)。在那里憑目測(cè)在 概率紙上畫(huà)岀直線,然后得到的估計(jì)為五=077和6-0. 69。為了確定in丄e我們先要對(duì)b用迭代法解方程(4116) °以 圖估計(jì)069作為初始的預(yù)測(cè)值,如用牛頓法只需二次疊代就給出 m1.譏=0706,然后由(41. 5)算出必=0. 821。壽命分布其它特征的估計(jì)可直接從參數(shù)估計(jì)獲得。譬如.若 用五和乙估計(jì)“和氛那么P分位數(shù)心=“+方log log fl p) 可以用=丑+弘g Tog (】-p
14、)去估計(jì)。假如在這當(dāng)中使用 的是"和5的m. Le.那么最后的估計(jì)當(dāng)然是相應(yīng)量的mJ.已.比和6的blie與b1u. e相應(yīng)導(dǎo)出的也是可的b.l.i.e.與b.Lue,但是,假如用這二類估計(jì)來(lái)求諸如S3。) = exp(-一必)之類的估計(jì),那么最后的估計(jì)顯然不具有線性也不具有 原來(lái)估計(jì)的某些其它性質(zhì)。4-L2置信區(qū)間和檢驗(yàn)獲得位置和尺度參數(shù)的置信區(qū)間的一般方法是眾所周知的, 然而當(dāng)分布不同于正態(tài)分布時(shí),數(shù)學(xué)上和計(jì)算上難于處理是常常 遇到的問(wèn)題。這些問(wèn)題在附錄G中已進(jìn)行了討論。但為了敘述方 便,仍把這些內(nèi)容在應(yīng)用到極值分布之前在4.1.2a節(jié)中作回 顧。顯著性檢驗(yàn)不作詳細(xì)的討論,但它很
15、容易從構(gòu)造置信區(qū)間的 樞軸量得到。給出s b和心的置信區(qū)間的幾個(gè)方法將在4b 2b, c和d等節(jié)中討論,生存函數(shù)的估計(jì)將在4l2e節(jié)中討論。4l2a位置和尺度參數(shù)的置信區(qū)間考察具有位置參數(shù)«(-<w<oo)和尺度參數(shù)b (6>0)的 分布族,其密度函數(shù)形式為(8<久 <8)(4110)X Ub生存函數(shù)為G3f/$,其中G(y) = gMdz丿y設(shè)是一個(gè)I型截尾樣本,它就是來(lái)自(41W)的容量為九的樣本的前廠個(gè)最小觀察值。命五=五5心)和方=(勸,乙)是"和方的估計(jì),且具有如下同變性質(zhì)五(/乂+“皿27 +刃=的(文|,(41. )1)bdx +
16、 ce>dxT + c)=勿(,皿)(4 1. 12) 147 其中C (一和/ W0)是任意實(shí)常數(shù)。這樣的估計(jì)常 命名為“同變的=要求(4【11)和(41- 12)成立只是由于對(duì) 數(shù)據(jù)施行位置和尺度轉(zhuǎn)換將對(duì)S誘導(dǎo)出相同的位置和尺度轉(zhuǎn)換. 而對(duì)石只誘導(dǎo)出相同的尺度變換。這些對(duì)位置和尺度參數(shù)的估計(jì) 來(lái)說(shuō)都是自然的要求。在411節(jié)中討論的所有點(diǎn)估計(jì)都可以證 明滿足4- hll和(4.1- 12)(見(jiàn)問(wèn)題42。下面的定理在附錄G中給出證明見(jiàn)定理G2):定理4. 11假如往和乙是基于來(lái)自(410)的I型截尾樣 本心£=斗的同變估計(jì),那么(i) Zj = (u u)/b, Z2 = h/
17、b 和 Z3 = (S u)/b 是樞軸量。 (“)諸量心=a征)/E是一組輔助統(tǒng)計(jì)量(即是這樣的統(tǒng) 計(jì)量,它的分布不依賴于"或6),其中只有廠一2個(gè)是西數(shù)獨(dú)立的?;谝粚?duì)特別的同變估計(jì)的樞軸量乙和乙可以用來(lái)構(gòu)造比 和b的置信區(qū)間。譬如,若人和僉是這樣的量,它們使PrUi W Z、 £/=廠,那么,S-Z16)是“的丫置信區(qū)間,類似地, 假如,Pr (f 1WZ2WZ2=丁,那么(萬(wàn)/血,呂2是力的y置信區(qū)間。 對(duì)分布的分位數(shù)的置信區(qū)間亦可得到。(4. L10)的p分位數(shù)是 旳 = “+3,其中s滿足G (wp =1一,樞軸量(413)刁(2u) Wpb_ uxz尸b=r可
18、以用來(lái)給出®的置信區(qū)間,因?yàn)樨?孑意味著 Pr (五一冷M燈冬莎一厶刃=兒它給岀叭的F置信區(qū)間(證一妙, 狂一Z#)。而乙,是樞軸量,這可從Zp = Z-uZi'中看岀。雖然趙或可的置信區(qū)間原則上可以從樞軸量Zi,z2和乙 得到但實(shí)際的困難在于它們的分布是非常復(fù)雜的。下面的定理 在附錄G中給出(見(jiàn)定理G3)°定理4- 1.2命五和3是在定理411條件下的“和&的同 變估計(jì).那么Z2, 5,2的聯(lián)合密度函數(shù)有如下形式 148 +巧乞)Ga2 +釣之2)"(4114)其中k(a.r,n)僅是5,,a, 2廠和氏的函數(shù)。在給定*=(5 ,g)下(Z“乙)
19、的條件密度函數(shù)同樣冇4114)形式。表達(dá)式(4打4)是任一模型中乙,Z2, ” 皿"的聯(lián)合 密度甌數(shù)形式。不幸地,除正態(tài)分布的無(wú)截尾樣本情況之外, (4114)中的諸/不可能被積掉,這表明不能獲得乙和乙分布 的解析表達(dá)式。極值分布場(chǎng)合下的這項(xiàng)結(jié)果將在4l2c節(jié)中討 論。還有一點(diǎn)需要指岀,除正態(tài)分布的無(wú)截尾樣本外,畏有一對(duì) 估計(jì)五和0是形如(4-1.10)的模型中羿和方的充分統(tǒng)計(jì)量。這一 點(diǎn)已在4- 1. 1節(jié)中對(duì)極值分布作了注釋。然而有r-2維輔助統(tǒng)計(jì) 量,嚴(yán)格地說(shuō),我們應(yīng)在給定獨(dú)的觀察值的條件下作推斷(見(jiàn)附錄 G),即置信區(qū)間可以從給定R時(shí),乙,乙或乙的條件分布得到。 譬如,為了給
20、出弐的置信區(qū)間,我們需找這樣的右和厶,使得Pr (ZjZj/Ja) =/(415)雖然這看上去似乎在推斷中增加了復(fù)雜性,但它使得(41-15)的 概率計(jì)算要比無(wú)條件概率Pr (AWZWQ的計(jì)算容易很多。這種得到置信區(qū)間的條件方法將在4b 2b節(jié)中討論,其它方 法將在412c和d中給出° 一般位置一尺度參數(shù)模型中的條件方 法進(jìn)-步的討論在附錄G和本書(shū)所引的文獻(xiàn)中。Lawless (1 978)綜述了這個(gè)領(lǐng)域的研究工作和有關(guān)極值分布的專門(mén)文獻(xiàn)。對(duì)極值分布來(lái)說(shuō),條件方法有在任何給定情況下都能夠獲得置信區(qū)間的優(yōu)點(diǎn),當(dāng)然,要做到這一點(diǎn)需要有一臺(tái)計(jì)算機(jī)。對(duì)某 些問(wèn)題可用一些更簡(jiǎn)單的方法,這些方法
21、將敘述在4;2c和d節(jié) 中。4l2f節(jié)將對(duì)方法的選擇作出某些評(píng)論。42b用條件方法獲得的置信區(qū)間命狂和乙是基于I型截尾樣本的“和b的同變估計(jì)。極值分布(1. 0. 2)有形如<1. b )0)的密度函數(shù),其中g(shù)(y) -cxp(v- e-y)和 G(.y) = exp(- )。從定理 4- 1< 2 可推得,7 u - u)/b 和ZH在給足a時(shí)的密度函數(shù)有如下形式y(tǒng)Tk1 (atr,n)z2r_Texp 丫 (atz2 卜2冋)一工 '卅2"旬f = 1"(4 b 16) 這電我們?cè)?次采用在41-1節(jié)中引岀的記號(hào)沙7>=)i= IWf + (n
22、 - r)wr # 從(4. b 16)我們可以在條件a下推得Z】,Zp和乙中枉個(gè)的邊緣分布。下面定理中的結(jié)果是Lawless (1972, 1975)給出的(也 nJ*見(jiàn) Lawless、 1978)。定理 4- L 3 命乙=(2心)/5=(uu wfib)/b 和乙=b/b 其中s嚴(yán)log C-log (1-/>),玄和厶是基于I型截尾樣本4冬 竝的蛀和b的同變估計(jì),這個(gè)截尾樣本是來(lái)自極值分布 (402), at(工匚一五)/人t- 1 f.廠9那末(i)紿定獨(dú)下,N的條件密度函數(shù)冇如下形式h2z ja)=(a,r它exp (z 1);°J>=i # # (4.1.
23、17(ii)在給定R下彳7農(nóng)的條件分布函數(shù)是Pt(乙 < /|a)= # # (4. b 18)其中1 (n 5)是不完全珈瑪函數(shù)(£12。在給定&下,Z|的分布數(shù)可在(4】18)式中命3戶=0給出。 # # 證明 (O為得(4117)我們對(duì)(41. 16)求場(chǎng)的積分 # 可得<x>如(|a z(a,roc+ rzxz2 &嚴(yán)2嚴(yán)坷 dz/-1,=|可得frA2(z2|a) = _kf (a,rtn)exp(工Jz廠/(另 K勺門(mén)八廠) e = i 1這實(shí)質(zhì)上就是(4117),為以后數(shù)值計(jì)算方便這里把幾項(xiàng)合并為一個(gè)新的常數(shù)<ii)對(duì)(4116)
24、求勺的積分不可能有解析式,于是我們?cè)?給定«下求Zp的分布函數(shù)。在給定3下,Z2和Z嚴(yán)乙一w?Z2-的 聯(lián)合密度函數(shù)容易從(4J.16)得到(另(a樣2 + z2zp + wr)* (=】一*exp(2 + z2zp + U7)其中引>0,一在給定a下,Z”的分布函數(shù)是Pr(ZpQ|Qh(zf>2)dzpciz2cr. 151 # 作變量替換夕=£補(bǔ)勺£“嚴(yán)"“r I可得Pr(乙 £ /|a)=(a,r2exp(;_ia乂2 + r7Vp)(2=1$吧®)yr xeydy dz2 a其中t" (5?嚴(yán)勺)exp稍
25、作整理就可給出5118)1:1“為構(gòu)造s b或的置信區(qū)間,必需獲得ZirZ2或S的分位 點(diǎn)。這些容易從定理413的結(jié)果中算出,不過(guò)對(duì)(4li7)求 積分和計(jì)算(4b 18)的值都需要數(shù)值積分。這些將在例4L 2中 敘述??梢钥闯?見(jiàn)附錄G),不同的同變估計(jì)對(duì)給定的樣本可產(chǎn) 生相同的置信區(qū)間。因此用什么樣的估計(jì)去構(gòu)造樞軸量和氏是不 重要的。由于計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)值積分是必需的,因此還是獲猖和使用 mH.e.為好盡管任一個(gè)同變估計(jì)也都能滿足需要。要指出,雖 然A(z2a)含有未知常數(shù)&3、廠"),這是可以用九(訃)的積分 為1算出的。這個(gè)方法的操作將在下面例子中清楚地看岀。例412 下述
26、數(shù)據(jù)由lawless (1975, p. 258)給出.其 九= 40.廠=28, 極值形式的諸觀察值益是一2 982,2 849, N 546,_2 350,-1 983, 一1 492, 1 443 一 1394,-1386,-1 269,7 195, 】 174, 0 845,-0. 620 一0576. 0548,0 247,-0- 195,-0.056,0 013,-0. 006 0.033,0.037,0.046,0084,0221,0245。0.296我們將在mJ. e的基礎(chǔ)上作出樞軸量和輔助統(tǒng)計(jì)量。m1巴 算岀為 = 0.1563和& = 0.9104.然后輔助統(tǒng)計(jì)量被
27、定義為 么=3 01563)/0. 9104山=1.28。在計(jì)算幾個(gè)置信區(qū)間前讓 我們先考慮以后計(jì)算需要的量。所有的Q,都可算得,而在 (4L17)中的常數(shù)缸a*曲)是可知道的。這可以從下式中算岀f ft2(z |a)rfz = 1J 0它意味著i(a,r,n) = J z'-】exp( (z I)(4 b 19) 在(41.19)中的被積函數(shù)是性質(zhì)很好的函數(shù),它的積分很容易在 數(shù)值上計(jì)算岀來(lái)。一個(gè)簡(jiǎn)單方法是檢查被積函數(shù),確定一個(gè)區(qū)域 心埶,使得位于右和d2之外的累計(jì)值可以忽略不計(jì)。然后 一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值方法,如辛普森法,可用來(lái)計(jì)算這個(gè)積分當(dāng)在這 里釆用n 1.巳時(shí),就兒乎沒(méi)有必要考慮在
28、0到10之外區(qū)域上的 被積函數(shù)。在獲得Ka>r<n)之后,利用(4 L20)Pr(Zz < Z|a) = hz(z)dz0我們很容易地確定Z2的百分點(diǎn)。使(4.1.20)等于y的精確百分 點(diǎn)Z=Z"可以用重復(fù)試算的方法獲得。得到乙的百分點(diǎn)要對(duì)(4-1.18)進(jìn)行類似的計(jì)算。這個(gè)積分 在很多方面與積分(4.1.20)相同。因?yàn)?DM 1 ,積分 (4118)永遠(yuǎn)小于或等于積分(4120).不完全珈瑪函數(shù)/ (廠. $)的計(jì)算在附錄B中有討論。最后指岀,假如對(duì)”或6的某個(gè)特 定值希望進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),那就只需要對(duì)Z2或Zp計(jì)算單個(gè)概率 即可?,F(xiàn)讓我們冋到我們的數(shù)值例子上來(lái)
29、。很快會(huì)看到,在這個(gè)問(wèn) 題中.在(4.1.19)中的被積函數(shù)之下與在區(qū)域(0, 3)之外的 面稅是可以忽略不計(jì)的,用數(shù)值積分方法,位于被積函數(shù)之下的 .總面積為0.4355,于是& (給廠,n) =22961?,F(xiàn)我們有個(gè)完 整的密度函數(shù)h2(z»),干是可對(duì)Z2,Z|或乙計(jì)算任何一個(gè)想要 得到的概率。譬如我們想要得到6的0. 90的雙側(cè)置信區(qū)間,可用 數(shù)值方法對(duì)屁(?。┻M(jìn)行積分,可以確定Pr(Z2<0.713|a)= 0. 05 和 Pr(Z2 < 1.257|a) = O 95 ,于是Pr(O 713 冬刃6 冬 1 257 |a) = 0 90從觀察值&
30、;=09104可得0724冬燉277,這就是6的090置 信區(qū)亂假如我們還想得到r的095置信下限。從(4.1.18)找到 153 Pr(Zal0<3- 153|a) = 0 95這里不.尸 3-畑J /從于是xo.w>u-1536是想要得到的 置信區(qū)間,它給出心我孑一2.714,這就是算得的區(qū)間。條件方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可用來(lái)獲得或可的置信區(qū)間,而 不管D型截尾樣本的大小。它也可以獲得其它特征量的置信區(qū)間 如生存函數(shù)(見(jiàn)4. 12e節(jié)),也可用來(lái)處理逐步增多的H型截尾數(shù) 據(jù)。這個(gè)方法是直接的.但因它要求數(shù)值積分,這必須在計(jì)算機(jī) 上進(jìn)行這里所要求的計(jì)算在-臺(tái)交換計(jì)算設(shè)備上進(jìn)行是很方便
31、的.Lawless (1978)對(duì)此有幾點(diǎn)附加的忠告并提及一個(gè)FORTRAN 程序使用者用此程序只要給岀很少的輸入就可算岀置信 區(qū)間。在某些場(chǎng)合,需要比條件方法計(jì)算更少的方法。在下面二卩 將討論這些方法。4- 12c荻得精確置信區(qū)間的其它方法 基于樞軸量條件分布(給定Q下)的置信區(qū)間可以用基于樞軸的同變估計(jì)來(lái)構(gòu)造樞軸量是不重要的,但在無(wú)條件方法中則不然, 它要優(yōu)先利用具有好性質(zhì)的估計(jì)量。也就是用這樣的估計(jì)量,它 的抽樣分布愈集中在參數(shù)周圍愈好。對(duì)待估的極值參數(shù)M和6已提出幾種方法。阪rm (196%)和Mann和Fertig (1S73)考慮基于m和6的b> L L e的樞軸量。Thom
32、an等人(1969)和McCool (1970)提出基于m. 1e的樞軸量。困難是在這二種場(chǎng)合F2】,乙和乙的分布在數(shù)學(xué)上難于處 理,于是就不可能用解析形式去表示精確的百分點(diǎn)。而可能的是 用蒙得卡羅方法去產(chǎn)生各百分點(diǎn)近似估計(jì)。在這方面就需要構(gòu)造 (近似)百分點(diǎn)的表。這個(gè)基本思想如下所述:因?yàn)閆?和乙 是樞軸量,它們的分布(對(duì)給定的廠和小對(duì)極值分布的“和6的 無(wú)論什么值都是相同的。當(dāng)比=0,和6=1時(shí),樞軸量成為E_log _log (1 />) b臂如.?的分布町以用計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)極值分布(" = 0, b =1)的樣本作出估計(jì)。這樣的樣本可以產(chǎn)生很多(在這里可用40000
33、 個(gè)樣本),對(duì)每個(gè)樣本計(jì)算五和人然后得到Z,=u/b的值。這樣 我們町以得到Z的分布的個(gè)很好的估計(jì)。Z?和乙的分布可以 類似地估計(jì)岀來(lái)。下面的百分點(diǎn)表是用蒙得卡羅方法產(chǎn)生的,所用的樞軸量是基于bL ie或mL efl1-基于b.LLe的樞軸量:Mann等人(1971)對(duì)3冬廠態(tài)斤冬 25的樣本給岀了久乙和Zp "=0010.05, 0.10)的百分點(diǎn) 表.這樣的表也在Mann &. Fertig (1973)和Mun等人(1974, 第5章)中給岀,不過(guò)僅對(duì)3WrM“gl3的樣本,而對(duì)乙僅為 />=6 05 和 0 10。2基于mle的樞軸量:Thoman等人(1969
34、)對(duì)樣本量n£120的完全樣本給岀Z】和乙的百分點(diǎn)表。Thoman等人 (1970)對(duì)樣本量100的完全樣本給出生存函數(shù)的置信區(qū)間,對(duì) 于截尾樣本,Billmann等人(1972)給出了類似的表,但這些表 相當(dāng)稀疏,只含有力=40. 60, 80, 100, 120和廠=O75“ 050n的樣本,但用插值法可以一定的精度得到一些附加值。最后9 McCool (1970, 1974)對(duì)Z, Z2 和 ZP (/»=0-0b 0.10, 0- 50)給 岀廠和刀的17種組合的表。這些(廠,兀)組合是” =5 (廠=3, 5).刀=10 (r3» 5, 10),用=15
35、 6=5,10, 15), x = 20,(廠= 5, 10, 15. 20)和“ =30 &=5, 10, 15, 20, 30)。造出這樣的表是很昂貴的,因?yàn)榈谝粋€(gè)廠和值的組合都必 須分開(kāi)處理。因此沒(méi)有亠張表能包含實(shí)際中可能出現(xiàn)的所有樣本 量。此外這些表要占據(jù)相當(dāng)大的空間,且不能集中于一頁(yè)上。雖 然如此,使用它們還是很方便的誰(shuí)大量使用威布爾分布,誰(shuí)就 應(yīng)設(shè)法得到它們的拷貝。155F面二個(gè)例子將說(shuō)明如何使用這些表。例413例4h 1再考察在例411中給出的數(shù)據(jù)是飛 行器零件的失效時(shí)間,它們是死=13和廠=10的D型截尾樣本。它 們的對(duì)數(shù)壽命假設(shè)有極值分布。我們希望得到“和0的090雙
36、側(cè) 置信區(qū)間和工.0的095冒信卜限。在上而所列的表中由Mann &. FeMg給出的表含有n-13和 廠二0的樣本。這些表是基丁乜和的bJ.i.c和乙構(gòu)造岀來(lái)的° 從Mann等人(1974)的表575&和510中我們可以找到(l)Pr(O< 52<Z?< K4O) = 0. 90 ,<2) Pr(- 0. 72 W Zi £ 0- 58) = 0 90 ,(3) Pr(Z01<J M 4 37) = 095 °其中 = (2- w) /b9 Z2=b/b 和 Zai嚴(yán)U 這些式 子給出的置信區(qū)間是(1) 6/l<
37、;40S/0. 52 <2) a-0.586<w5 + 0. lib. u-4- 375jr0 l0以觀察值2 = 0-873和宀0715代入,可順次得到0.5110=1- 375, 0. 458冬388 和_2 252W如.叭這些置信區(qū)間可以轉(zhuǎn)換到柑應(yīng)威布爾分布參數(shù)和特征量的置 信區(qū)間。譬如威布爾分布(或壽命)的0J0分位數(shù)是心山=expso、于是".io的 0. 95 置信下限是exp(2252) = 0.105。例4 1.4作為第二個(gè)例子,我們考察從極值分布來(lái)的八=20 和廠=10的B型截尾樣本:357, 255. 2O2, L 66» L 36 115,
38、 -095, -077, 0 61 今一0.45。在這個(gè)場(chǎng)合,為得到置信區(qū)間我們可用下面二個(gè)表中任一個(gè):基 于m.l.e,并由McCool(1974)給出的表和基于h Li. e,并由 Mann等人(1971)給岀的表。讓我們對(duì)每一種情況都計(jì)算各自的 估計(jì),并且為了進(jìn)一步比較也讓我們用41.2b節(jié)的條件方法給岀 156 置信區(qū)間。從給定數(shù)據(jù)可算得e為K _0M2和兒0907. 其b.I.i.e.為五一 0- 048 和&0.915.利用Mann 等人(1971)和 McCool (1974)給出的ZZ?和Zo.w的分位數(shù)表,對(duì)n 2Q和廠 一】0我們叩得幾"和航衛(wèi)的09。的雙
39、側(cè)置信區(qū)間,結(jié)果列于表沒(méi)有實(shí)質(zhì)上的差別。表4 11411中。用條件方法所得的置信區(qū)間同樣可以獲得。為了進(jìn)行比 較,各種置信限都僅給出二位小數(shù),因?yàn)檫@些表的精度不能支持 更精確的比較??汕宄乜闯觯谶@個(gè)例子中的三種方法的結(jié)果Bic樞軸量MJ.e.樞軸量條件方法0-64<Kh82()89-376航我冬一151064總©81一 05禺0903. 74如|忑一1490 65W6W1.83050總90 一376丸加 151三種方法得到的090雙側(cè)置信區(qū)間在很多場(chǎng)合,基于b丄i匕和m丄e.的樞軸量的無(wú)條件分布 所得的結(jié)果間只有很小的差別,而它與用條件方法得到的結(jié)果間 也只有很小的差別.差
40、別發(fā)生在小樣本或重截尾樣本等情形。但 對(duì)幾乎所有的實(shí)用目的這些方法是大致相同的,4.1.2/節(jié)含有贊 成和反對(duì)使用這些方法的些評(píng)論。4 12d樞軸分布的近似因?yàn)橛妹傻每_方法對(duì)所有實(shí)際重要問(wèn)題獲得ZH Z2ffJ zfi 的分位點(diǎn)是不易辦到的。因此研究轉(zhuǎn)人尋找這些分布的近似。某 些簡(jiǎn)單的近似及其應(yīng)用和隨后出現(xiàn)的專題討論在此-并考慮。對(duì)刃D的分布的F近似對(duì)Zblb(厶是b的m丄匕)可以找到一很簡(jiǎn)單的近似。這個(gè)近似就是/分布,它對(duì)幾乎所有的實(shí)際場(chǎng)合都是適用的。該近 似除了能得到b的置信區(qū)間的簡(jiǎn)單方法外,亦可用來(lái)比較二個(gè)或 更多個(gè)威布爾和極值分布(見(jiàn)4.3,1節(jié)中的討論)。 157 (4. 1<
41、;21)從經(jīng)臉中發(fā)展起來(lái)的這個(gè)近似有如下形式g(萬(wàn)畑其中Z是的m丄亡,所用樣本是和個(gè)觀察值中前廠個(gè)組成的It 型截尾樣本舟亠g(r.n)和去=hgn)是常數(shù)。McCool(1975b), Lawless和Mann (1976)和其它人都建議用這個(gè)方法去近似厶”的分布。常常這樣來(lái)選擇&和H使得<4.h21)兩邊的 均值和方差相等"這就給出二個(gè)方程齟左卜h于Var(彳=2h由此可得g = 2E(b/b) /Var (b/b) 原文為g 2/V ar (6/b)t有課譯者注。 158 和 h gE(b/b) 0 困難在于 E Cb/b)和Var (i/6)對(duì)所有的(r C不是
42、都知道的。不過(guò),H沖心 和Moore1968)曾用模擬就睨=10或20的截尾樣本進(jìn)行了估計(jì), 而 McCool (19756)和 Lawless 和 Mann (1976)討論了估計(jì) E(b/b) 和Var(6/)的其它方法。表 4 1 2 是由 Harter 和 Moore (1968,McCool (1975b)和 Lawless和Mann (1976)分別得到的結(jié)果組合而成的。它對(duì)各種(廠,并)組合給出了 hG、n)的值。g(d 由g(廠皿)=肛廠/) + 2給出。把用(4121)和育"的這些值得到的bib的百分點(diǎn)與McCool (1974, 1975b)和Billmann等人
43、(1972)給出的精確百分點(diǎn) 進(jìn)行比較表明,這個(gè)近似在兒乎所有場(chǎng)合都是適用的。一般說(shuō)來(lái), 這個(gè)近似是隨著n或廠/力增大而有改善。當(dāng)刃->oo和r/n為固定 時(shí),這個(gè)近似在極限狀態(tài)是精確的。對(duì)沒(méi)有包含在表412中的死和廠/九的值,A的值可用線性 內(nèi)插法獲得。對(duì)廠大約大于10的樣本,這個(gè)近似是很精確的,分 布的下尾部要比上尾部略高一些。這個(gè)近似的精度的個(gè)例子在后面給出。要指岀,在4121)中的F自由度參數(shù)可能不是整數(shù)。對(duì)小的h值;的概率和百分點(diǎn)可用Z2累積分布函數(shù)和不完全伽瑪函數(shù)之間的關(guān)系(見(jiàn)附錄直接計(jì)算,也可用整數(shù)自由度的X2表進(jìn)行內(nèi)播來(lái)確定(見(jiàn)Pearson和Hartley (1966)
44、; Mardia表4.2近似(4】21)中所用的去(c n)值151020406080100OQ 12.06.010.014. 118. 10. 205刃22.06214.623.031.539. 90 420n3 4310.924. 037.050.16320.652«4226715.833851. 869. 987.9» 899h 5 r/n 63. 59. 120. 744067. 390. 6113-9I. 165m4- 711.425. 854783. 5112. 314L 11 457” 76.014. 832.66&1103. 8139. 5175.
45、01782丹81. 818. 540.08331264169.5212. 52. 155”910. 323.049. 0100.9153. 0204. 9256.92- 607并1.012.929.362. 412& 2194. 8257. 6325.53. 295n) hr 9 n)+ 2."2 r( ;燈丿和Zemroch (1978)。對(duì)大概大于10的力,於概率和分位數(shù)的很 精確的近似可從Wilson-Hilferty變換見(jiàn)附錄B的(B14)和 (B15)得到。對(duì)概率有如下近似.1/32-1(4 b 22)(4123)(1 十窈一 1 N (0 1)對(duì)來(lái)&的分位
46、數(shù)有如下近似公式9/!? 1 2=3總,宀口-麗+川韻.其中g(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)。這些近似對(duì)表4. 12中所 159 161列的很多情況計(jì)算概率和分位數(shù)是容易的也是精確的。例41-5作為/近似的例子,考慮一個(gè)兀=20和廠=2的 衛(wèi)型截尾樣本。以介=20和廠加=05可從表4.1.2中得到勺 207和g = 227。于是近似(4121)是人227(彳)也.廠表4. 1, 3給岀了乙“的分布的某些百分點(diǎn),它是用這個(gè)近似計(jì)算 的,另一些是來(lái)自McCool (1975b)表而實(shí)際上是禰6的精確百分 點(diǎn)。除去在99%分位點(diǎn)上有相當(dāng)小的偏羌外這個(gè)近似是非常精 確的。表43 b/b的精確和近似的百分點(diǎn)百
47、分點(diǎn)151050909599精確值0.38 0- 500- 580 881.291 421.67(4.;. 21)近似值0- 380- 500.570.881.291- 42h 70基于線性估計(jì)的樞軸的近似有兒個(gè)近似是在基于線性估計(jì)的樞軸量的分布上而建立起來(lái) 的,其中兩個(gè)將在這里討論。它們都是很有用的,尤其是在與下 面介紹的"和b的二個(gè)簡(jiǎn)單線性估計(jì)連結(jié)在一起時(shí)更是這樣。這 些近似要用到"和6的無(wú)偏線性估計(jì)。這不是一個(gè)限制,因?yàn)槠渌?估計(jì),譬如b. 1. ie,也可以用無(wú)偏估計(jì)形式表示。令五和呂是坯和b的無(wú)偏線性估計(jì),它們是基于容量為力的Bt機(jī)樣本中前廠個(gè)最小觀察值組成的I型
48、截尾樣本。于是E(u) =“和E (?)二"此外,命 對(duì)任一個(gè)特定的估計(jì)量諸值A(chǔ) 八B (八Q和(:(r. «)原 則上是容易得到的。因?yàn)樗鼈兪莵?lái)自標(biāo)準(zhǔn)極值分布次序統(tǒng)計(jì)量的 均值、方差和協(xié)方差的兩數(shù)。然而在實(shí)際中,它們是很難獲得的, 以至于對(duì)九25的樣本這些量還沒(méi)有列出表來(lái)。cmVar(6)b2F面二個(gè)近似方法是分別用X Mann 等人(1974, p. 241)和 Mann (1977)導(dǎo)出用 F 分布去近似乙的分布。命log log (1 />)是極值 分布的P分位數(shù)。再命才=u - B(r,n)5/C(r,n).于是這個(gè)近 似是分布和F分布去近似樞軸量的分布使得
49、它們的某些矩相等,具體如下:Z2=b/b的分布??捎蒄分布很好地近似。其做法與厶的分布用(4121)去近似相同,Engelhardt (1975), Lawless和 Mann (1976)和其他人使用這個(gè)方法。這里E(b/b) - Var (恥)=C (廠,這個(gè)近似是氣£|尬)(4124)其中g(shù) = g(S)和為=力(")依賴于r和札使(4. L24)兩邊 的前二階矩相等,可得&(廠)=h(rn)2C(r)#(4.1.25)163#其中 Wp = log log(l 一 />),dzB(廠C(r.n)A")B(r9n)2C(rn) I2C(rfn)
50、#當(dāng)采用最好線性無(wú)偏估計(jì)(B-Lu-eJ時(shí),這個(gè)近似僅對(duì)一些 情況是令人滿意的,然而它們已包含了多數(shù)重要的實(shí)際場(chǎng)合。細(xì)節(jié)在Mann (1977)中給出。可概括地說(shuō),只要心5且紐V <18-50,該近似對(duì)p025是適用的。要指出,在 (4.1. 25中的dx和dz常是非整數(shù)。在這種情況下確定F的概率 將在附錄B. 43節(jié)和在例4L 6中討論。這些近似是與bk u. c一起使用,當(dāng)然這并不是必須的,因 為Mann-Fertig(1973)的表是基于b. L L匕(它與b】 u.e.有關(guān)) 的樞軸量的分布,其樣本量最多為 =20。對(duì)"25的樣本還沒(méi)有 為所有AS d B(r, n)和
51、CS n)制成表。于是這些近似就 不能使用。由于這一點(diǎn),就有很大興趣去尋找具有好性質(zhì)的簡(jiǎn)單 線性估計(jì)。這方面研究的文獻(xiàn)已被Marm&Fertig (1977)和Em gelhardt和Bain (1977a)給岀。具有很好好統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的一對(duì)估計(jì) 量瘠在這里給岀。當(dāng)利用近似(4.1.24)和(4.1.25)時(shí),它們 也提供構(gòu)造檢驗(yàn)和置信區(qū)間的簡(jiǎn)單方法。簡(jiǎn)單線性估計(jì)這里所考察的估計(jì)和結(jié)果是由Bain (1972), EngelhardtBain (1973, 1974), Engelhardt ( 1975 )和 Mann 和 Fertig(1975a)建立的。所給的估計(jì)有:種形式,這要看樣
52、本是B型截尾GO)還是全樣本。具體如下:1對(duì)于截尾樣本(r<«)j = y 旦 一(4.1.26)' i=i 廉(s) u = xr w(rn)b其中文伍是口型截尾極值樣本M(s)是常數(shù),它是這樣 選出的,使得E=w(r,n)是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)極值分布的樣本容量 為的第廠個(gè)最小觀察值的期望值。取自Engelhardt (1975)的表 414提供了若干系數(shù),用它們可算得和(廠曲幾用表 4L4所得到的值是較為精確的近似值。它的最大誤差僅在小數(shù)第4位上相差1。(表415給出了 (4.1.26)的方差和協(xié)方養(yǎng)4(”)")和C(r),這些在使用近似(4124)和(4125)時(shí)
53、也是需要#哀4! 4用來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單線性估計(jì)因子的系數(shù)* 1.2 34.5 6 7 8 9竝0 102650.211290. 327230. 452340 58937。 742740. 92026b 13821 14436局1- 02711. 06221. 10601 16341 24151 35401. 83131. 85672. 6929k?0. 00 0300540 0800. 1456 2420. 4330 9062. 7962 25041.4999 1-0309-0. 67173366510. 087420. 185630.475890. 83403切5- 57433 0740-22859k 93011. 76191.7114-L 77272- 0110Z. 7 737- 8481.886一 0. 7670. 3550. 0910U110.
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