一平面向量基本概念及線性運算

1、第一節(jié) 平面向量的基本概念及線性運算【最新考綱】1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示2掌握向量加法、減法的 運算，理解其幾何意義3掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩 個向量共線的含義4.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.禽蓋礁 1%實雙基I找冊歸I固杠盤基礎梳理1. 向量的有關概念(1) 向量：既有 大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).(2) 零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長度等于1個單位的向量.(4) 平行向量：方向 相同或相反的非零向量.平行向量又叫 共線 向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

2、(5) 相等向量：長度 相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：長度 相等且方向相反的向量.2. 向量的線性運算向量 運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算a三角形法則a平行四邊形 法則(1) 交換律： a + b=b + a.(2) 結合律：(a + b) +c= a + (b+c )數(shù)乘求實數(shù)久與向 量G的積的 運算 | & | = | A ；(2)當 A > 0 時，加的方向 與4的方向相 同；當A < 0 時,Ao的方向 與a的方向相 反，當入=0 時 »Ao = 0A(/xi) =A/Xi; (入+ jtz) a Aa+訊;b) = Xa

3、+肋3. 共線向量定理向量a( aJ)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)人使得b=入aI學情自測1. (質疑夯基)判斷下列結論的正誤.(正確的打“"”，錯誤的 打 “X” )(1) 向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()(2) 若 a/b, b/ c,則 a/c()(3) a/b是b(QR)的充要條件.()(£ ABC 中，D 是 BC 的中點，貝S AD = (AC + AB).()答案： X (2)X (3)X (4)V2. D是厶ABC的邊AB上的中點，則向量CD等于（）1 1a. - BC+2BAb. BC-2BA1 1C.BC - qBAD.

4、BC + qBA解析：V D是厶ABC的邊AB上的中點，CD = cB+?ba = bC + ?ba .答案：A3. （2014課標全國I卷）設D, E, F分別為 ABC的三邊BC,CA , AB 的中點，貝S EB + FC =（）a.ADB.qADc.bCD.2BC解析：由于D, E, F分別是BC, CA, AB的中點，所以EB + FC1 1 111 =2（BA + BC） 2（cA + CB） = 2（BA + CA）= 2（AB + AC） = 2x 2AD = AD.答案：A4. 如右圖，已知 D, E, F分別是 ABC的邊BC, AB, ACa. AE = aFb. eF=

5、CDc. eF = bDd. dB = DC解析：向量eF與向量bD方向相同，且模相等, eF = BD.答案：c5. （2015課標全國II卷）設向量a, b不平行，向量入a4b與a +2b平行，則實數(shù)匸,解析：v Xa+ b 與 a+ 2b 平行，入 a+ b= t( a+ 2b),則入a+ b = t a+ 2tb,入=t,11 = 2t.解得X= t =；1答案：；名師微博通法領悟一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量.三個結論1. 若P為線段AB的中點，0為平面內任一點，則OP = 2（oA +oB）.2.0A = ?0B + QC（

6、 , 為實數(shù)），若點A, B, C共線，則入+1.3.若A, B, C是平面內不共線的三點，則PA+PB+ PC = 0?PABC的重心.三個防范1.向量共線的充要條件中要注意“az 0”，否則入可能不存在, 也可能有無數(shù)個.2. 進行向量減法運算時，一定將向量平移至同一起點.3. 證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.一、選擇題1.把平面上所有的單位向量平移到相同的起點上，那么它們的 終點所構成的圖形是（）A .一條線段B. 段圓弧C .兩個孤立點D .一個圓解析：由單位向量的定義可知，如果把平面上所有的單位

7、向量平移到相同的起點上，貝y所有的終點到這個起點的距離都等于1所有的終點構成的圖形是一個圓.答案：D2. 設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使|0"=齋成立的充 分條件是（）A .a= bB .a/bC. a=2bD .a/b 且|cj = |b|解析：i：表示與c同向的單位向量，表示與b同向的單位向量, |a |b|只要c與b同向，就有|aj=備，觀察選項易知c滿足題意.答案：C3. （2015佛山一中期中考試）如下圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB、AD分別交于E、F兩點，且交其對角線AC于K,其中，aE = 7AB, aF = 1AD, aK = A，貝y 入的值

8、為（）22B7A92i解析：aE=5AB, aF = ?aD ,則 AB=5aE , aD = 2AF ,V AC = aB + aD，二 aK = AC =入AB + ad)=入AE + 2金,52由E, F, K三點共線可得，2入+ 2X= 1,解得 入=9答案：A4.設P是厶ABC所在平面內的一點，BC + BA = 2BP,則（）a.pA+ pB= 0b.pB+pC=0c.pC + PA= 0D.PA+PB+ PC=0解析：由向量加法的平行四邊形法則易知，BA與BC的和向量過AC邊中點，長度是AC邊中線長的2倍.結合已知條件可知 P為AC邊中點，做PA+ PC = 0.答案：C5.設a

9、是已知的平面向量且aO關于向量a的分解，有如下四個 命題： 給定向量b,總存在向量5使0=3 + c; 給定向量b和c,總存在實數(shù)入和卩，a=入bc 給定單位向量b和正數(shù)卩，總存在單位向量c和實數(shù) 人使0=入+卩c給定正數(shù) 入和卩，總存在單位向量b和單位向量c,使a=b+ a c.上述命題中的向量b, c和a在同一平面內且兩兩不共線，則真 命題的個數(shù)是（）A. 1B. 2 C. 3 D. 4解析：顯然命題，正確.對于，給定向量b,則入b可以 確定方向，不妨設如圖所示，作AB丄入b, B為垂足.當正數(shù)a<|AB| =gsina, b時，不存在單位向量c,使a=入t+ a c因此錯.對 于，

10、根據(jù)向量的三角形法則，必有|入+| ac|入+ a> 14若匸a= 1, ia> 2時，與a=|b + c|< |b|+ |c|= 2矛盾，則不正確.答案：B二、填空題6.在？ABCD 中，AB =a, AD = b, AN = 3NC , M 為 BC 的中 點，則MN =(用a,b表示).1 解析：由AN = 3NC，得 4AN = 3AC = 3( a+ b), AM = a+ 2b 所 31、 1 1以 MN = 4( a+ b) 一?b 戶 一 4 a+ 4b.答案：- 4 ab7. （2015 北京卷），在 ABC 中，點 M , N 滿足AM = 2MC , B

11、N =NC 若 mN = xAB+yAC，貝y x=； y=.解析：v AM = 2mC，二 AM = ；ACV BN = NC，二 AN = 1（AB + AC）, mN = aN - aM = 2（ab+AC）-3aC=；AB- ：AC11又MN = xAB + yAC，二 x=y=-26答案:12,8.設a,b是兩個不共線向量，AB = 2a+pb, BC=a+b, CD = a-2b,若A, B, D三點共線，則實數(shù)p的值為.解析：V BD = BC + CD = 2a b,又 A, B, D 三點共線，2= 2 入存在實數(shù)人使AB = ?BD，即 p=- 1.、P=人答案：1三、解答

12、題9.設兩個非零向量e1和e2不共線.（1）如果 AB = & e2, BC = 3& + 2e2 , CD = 8e“一 2e2,求證：A , C , D三點共線；（2）如果 AB = eq + 僉,BC = 2q 3e? , CD = 2© ke?,且 A , C ,D三點共線，求k的值.(1)證明：tAB = ei e2, bC = 3ei + 2®,CD = 8ei 2e2,ii-AC = AB + BC = 4ei + e = 2( 8ei 2e?) = ?CD，AC 與CD共線.又:AC與CD有公共點C,A A, C, D三點共線.解：(2)AC = AB + BC = (e + e2)+ (2ei 3e2)= 3e 2e2,t A, C, D三點共線， AC與CD共線，從而存在實數(shù) 入使得AC = ?CD ,貝y 3ei 2僉=入(2p- kej) = 2 入 e 入 ke3= 2人34得2= “解得 X= 2, k=3，4 所以k= 3.10 .如右圖所示，在 ABC中，D, F分別是BC, AC的中點，2aE = 3AD , AB =a,AC = b.(1) 用a,b 表示向量 AD , AE, AF, BE, BF;(2) 求證：B, E, F三點共線.(i)解：延長AD到G,使AD = 2AG，連接BG ,