求解海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的幾種Sturm變換方法

1、求解海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的幾種Sturm變換方法基金項目：國家自然科學基金資助項目（50179024） 作者簡介：葉春生，1976，男，博士，講師主要從事物理海洋學及水力學的研究Email: smileyshark; Tel: 133 9371 9089葉春生1 蔣晶晶1 沈國光2 （1.鄭州大學水利與環(huán)境學院，鄭州，450001；2.天津大學建筑工程學院，天津，300072）摘 要：海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的求解是研究海洋內(nèi)波的基礎，利用Sturm變換求解垂向結(jié)構(gòu)是一種行之有效的方法。首先，分析了二階線性變系數(shù)常微分特征值方程轉(zhuǎn)化為Sturm-Liouville標準型的一般方法。其次，利用一般方法，給出

2、了將海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為標準型的一次Sturm變換及其標準型。隨后，給出了另外兩種形式的一次Sturm變換及其標準型。然后，給出了二次Sturm變換的方法及其標準型。通過Sturm-Liouville理論的研究，獲得了用于海洋內(nèi)波研究的四種形式的Sturm變換，以及相應的標準型。一次Sturm變換的三種形式可用于低頻內(nèi)波的求解，二次Sturm變換的形式可用于高頻內(nèi)波的求解。根據(jù)Sturm-Liouville理論，各種形式標準型的數(shù)值解構(gòu)成Hilbert空間，從而實測海洋內(nèi)波數(shù)據(jù)可以表示成解向量的廣義Fourier級數(shù)。關鍵詞：海洋內(nèi)波；垂向結(jié)構(gòu)；特征值方程；Sturm-Liouville標準

3、型；Sturm變換；低頻內(nèi)波；高頻內(nèi)波；廣義Fourier級數(shù)中圖分類號:O 35312 文獻標識碼: ASeveral Methods of Sturm Transformation in Solving the Vertical Structure of Ocean Internal WavesYe Chunsheng1 Jiang Jingjing1 Shen Guoguang2 （1. Zhengzhou University, School of Water Conservancy and Environment Engineering, Zhengzhou 450001; 2. T

4、ianjin University, School of Civil Engineering, Tianjin,300072）Abstract: Its a basis of solving the vertical structure to study the ocean internal waves, and Sturm transformation is an effective method in use. First, it analyses the general method of how to transfer a second order ordinary different

5、ial eigenvalue equation with variable coefficients into Sturm-Liouville standard type. Second, applying the general method, it gives one-time Sturm transformation which is used to transfer control equation of internal waves into its standard type. Third, it gives another two types of Sturm transform

6、ation and their standard types respectively. Later, it gives two-time Sturm transformation and its relative standard type. Through the study of Sturm-Liouville theory, it obtains four types of Sturm transformation and gives their standard types respectively. Three types of one-time Sturm transformat

7、ion could be used in solving lower frequency internal waves, while the type of two-time Sturm transformation could be used in solving higher frequency ones. According to Sturm-Liouville theory, numerical results of each standard type of vertical structure compose Hilbert space, hence field data of o

8、cean internal waves could be expand into general Fourier series based on solution vectors.Key Words: Ocean Internal Waves; Vertical Structure; Eigenvalue Equation; Sturm-Liouville Standard Forms; Sturm transformation; Lower Frequency Internal Waves; Higher Frequency Internal Waves; General Fourier S

9、eries1. SturmLiouville理論基礎通常，二階線性變系數(shù)常微分特征值方程可以寫為如下形式 （1）式中，。由數(shù)理方程可知，對于任意一個二階線性變系數(shù)常微分特征值方程，乘以適當?shù)暮瘮?shù)后總可以化為下面的形式1 （2）上式稱為Sturm-Liouville方程，以下簡記為SL。為自變量，稱為權(quán)重函數(shù)。為與密度函數(shù)區(qū)分，此處的權(quán)重函數(shù)記為，與文獻1有所不同。若令，則（2）式變?yōu)?（3）這是特殊情況下的SL方程，與（2）式相比，（3）式不存在未知函數(shù)的一階導數(shù)項。SL方程又可寫成如下形式 （4）微分算符為 （5）時，若且僅在有限個點上成立，則有如下結(jié)論：(1) 存在可數(shù)多個實的特征值，以及

10、與特征值相對應的特征函數(shù)系，；(2) 所有特征值非負，即；(3) 特征函數(shù)系是關于權(quán)函數(shù)的完全正交系，即： （6）(4) 若在上有連續(xù)的一階導數(shù)及分段連續(xù)的二階導數(shù)，且在邊界上是第一、第二、三類齊次邊界條件或自然邊界條件，則關于的廣義Fourier級數(shù)在上絕對且一致收斂于。其中，各項的Fourier系數(shù)由下式?jīng)Q定 （7）2. 海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)2海洋內(nèi)波是發(fā)生在密度穩(wěn)定層化的海水內(nèi)部的一種波動，其最大振幅出現(xiàn)在海洋內(nèi)部，波動頻率介于慣性頻率和浮力頻率之間，其恢復力在頻率較高時主要是重力與浮力的合力。海洋內(nèi)波與表面波最顯著的區(qū)別在于內(nèi)波最大的振幅發(fā)生在海面以下，存在垂向波數(shù)，且內(nèi)波的控制方程決定

11、了在其傳播的深度范圍內(nèi)，會有不同的內(nèi)波模態(tài)。內(nèi)波控制方程整理簡化后為如下形式 （8）式中：為海洋內(nèi)波垂向速度幅值，深度的函數(shù)；、分別為關于深度的一階、二階導數(shù)；為浮力頻率，深度的函數(shù)，可表示為；為重力加速度；為海洋內(nèi)波的圓頻率；為海洋內(nèi)波的水平波數(shù)；為地轉(zhuǎn)慣性頻率。（8）式的特征方程為 （9）其判別式為 （10）對于實際海洋，是個小量，可以不予考慮。由于地轉(zhuǎn)頻率相對于海洋內(nèi)波圓頻率小得多，亦可以忽略不計。從而，判別式的符號完全由與的大小關系決定。判別式的正負決定了解的特性，即在垂向上是否存在波動。典型的海洋密度分層與浮力頻率分布如圖1所示3。-HZXNZ00G2G1圖1 典型海洋密度及浮力頻率

12、分布示意圖Fig.1 Density and Blunt frequency distribution of typical ocean areas圖1中，、是選定的內(nèi)波圓頻率與浮力頻率曲線的兩個交點。設交點的縱坐標分別為、。由于內(nèi)波圓頻率不可能比來得更大，僅當時，才可能有內(nèi)波的存在。由實際海洋浮力頻率的分布特性，決定了某一圓頻率為的內(nèi)波只能在一定的深度范圍內(nèi)傳播，即存在波導，內(nèi)波的傳播限于波導內(nèi)而不會穿越。從圖1中可以看到，圓頻率為的內(nèi)波僅存在于與的兩個交點、所限定的區(qū)間內(nèi)。海洋內(nèi)波控制方程為二階線性變系數(shù)常微分特征值方程，因此可以歸結(jié)為SL問題。考慮到某一頻率的內(nèi)波，在整個水深范圍內(nèi)方程具

13、有分層特性，可以利用兩次變換及一般二階方程的通用變換方法，將內(nèi)波控制方程轉(zhuǎn)化為SL標準型。3. 獲取SL標準型的幾種方法3.1 獲取SL標準型的一般方法獲取SL標準型的一般方法，不妨稱之為一次Sturm變換。設，簡記為，則 （11） （12）將微分算符（5）式代入（4）式有 （13）將代入原始微分方程（1）整理可得 （14）比較（13）、（14）兩式得 （15）方程組中，、和是未知函數(shù)。由該方程組的前兩式可得 （16）對（16）式兩邊同時積分得 （17）求得之后，分別代入（15）式中的一、三、四式，相應地可以求解、和。對于任意二階線性變系數(shù)常微分特征值方程，只須令 （18）即可將原方程轉(zhuǎn)化為形

14、如的SL標準型。3.2 海洋內(nèi)波控制方程的一次Sturm變換對于海洋內(nèi)波問題，其控制方程為（8）式。顯然，該式屬于自變量為的二階線性變系數(shù)常微分特征值方程。比較（1）式可得，注意到，由一次Sturm變換可得 （19）從而有 （20） （21）將（20）、（21）兩式代入（8）式整理可得 （22）與（13）式相比可知 （23）于是，（22）式可以整理為 （24）由公式（4）可知，上式為SL標準型。數(shù)值求解上式，需要給出的邊界條件。的邊界條件可以由變換（19）式及下文的邊界條件給出。3.3 一次Sturm變換的第二種形式3在（8）式兩邊同時乘以密度函數(shù)，整理后不難得到 （25）顯然，上式為SL標準

15、型，未知量以而不是來表述。這一點具有較為重要的實用價值，因為從形式上看，（25）式比（24）式簡單。（24）、（25）兩式為一次Sturm變換之后的海洋內(nèi)波控制方程，但是僅對于低頻內(nèi)波的求解有實際意義，下面通過正交性的證明來說明這個問題。3.3 解函數(shù)正交性的證明4以（25）式為例。設固有函數(shù)和分別滿足方程（25）式，即 （26） （27）將式（26）×、（27）×，相減可得 （28）對（28）式從到積分得（29）所以有（30）參照圖1，對于低頻海洋內(nèi)波，表面邊界條件可以采用剛蓋近似，即 （31）在海底，由于水質(zhì)點不可穿越，邊界條件可以表述為 （32）將（31）、（32）兩

16、式代入（30）式右端，不難得到（30）式右端為零，故 （33）由SL理論，當時，所以有 （34）因此，SL型方程（25）式，其解函數(shù)關于權(quán)函數(shù)是正交的。通過證明過程可知，低頻內(nèi)波滿足邊界條件（31）式和（32）式，此時（25）式才具有實用價值。當時，將式（26）×得 （35）從到積分得 （36）由（31）式和（32）式，不難知道上式右端第一項為0。由于第二項被積函數(shù)非負，并且存在內(nèi)波的區(qū)域滿足，由（36）式可得 （37） 上式說明，對于（25）式，其特征值。3.4 一次Sturm變換的第三種形式5根據(jù)SL理論，對SL標準型方程，如果，此時一階導數(shù)項為零。由（3）式的導出及其描述，對于

17、海洋內(nèi)波的控制方程，可以尋求某種變換，如果一階導數(shù)項的系數(shù)為零，則獲得的方程為SL標準型。不妨設，則 （38）（39）將式（38）、（39）代入內(nèi)波控制方程（8）式，不難得到一階導數(shù)項的系數(shù)，令其等于零可得 （40）將代入上式，兩邊同時積分可得 （41）因此，變換可以取為，將其代入（8）式可得 （42）式中，該式即欲求的SL標準型。4. 獲取SL標準型的兩次Sturm變換364.1 一次Sturm變換利用上述一次Sturm變換的另一種形式，得到（42）式。4.2 二次Sturm變換整理（42）式可得 （43）參照圖1，對于分布而言，在整個坐標軸上，將其分成上、中、下三個區(qū)域，分別記為、區(qū)。由分

18、布知，在、區(qū)，；在區(qū)，。故（43）式是對應的、區(qū)Sturm-liouville微分方程；在區(qū)，因為<0，所以對應的SL型微分方程應為下式 （44）因為僅當時，才可能有內(nèi)波的存在。以下討論將內(nèi)波方程在區(qū)轉(zhuǎn)化為SL標準型的情形。由數(shù)理方程，對于區(qū)的微分方程（44）式，如果設，并做第二次Sturm變換，則變換的結(jié)果仍為SL標準型6。由變換關系，不難求得 （45）對二次Sturm變換求一階導數(shù)可得 （46）對（46）式求二階導數(shù)可得 （47）考慮到，將（46）、（47）式整理可得 （48） （49）下面計算項。由（48）、（49）式消去可得 （50）從而， （51）將（51）式代入（44）式，將

19、替換成，等式兩邊再同時乘以，整理可得 （52）上式便是海洋內(nèi)波控制方程在區(qū)時的SL標準型。4.3 邊界條件由圖1可以看出，在、點處，有，即，故不難得出如下邊界條件 （53） （54）需要提到的一點是，當內(nèi)波的圓頻率較低的時候（如半日潮頻），可以預見理論上的與兩點會超出水深范圍，此時內(nèi)波存在的區(qū)間為，而不是。菲利普斯曾經(jīng)就該問題提出過一個判別準則7，即如果下式成立 （55）則剛蓋條件仍可以使用。在水面，可以驗證該式是可以得到滿足的。從而在兩次變換之后，仍滿足齊次邊界條件。4.4 解函數(shù)的正交性及一個重要結(jié)論類似于一般通用變換方法中正交性的證明，對于二次Sturm變換，正交性表示為 （56）將二次

20、Sturm變換代入（56）式得 （57）由此可見，（56）、（57）兩式是等價的。由于（57）式僅適用于低頻海洋內(nèi)波的求解，而（56）式對于求解波導內(nèi)的高頻內(nèi)波也是可行的，因此前者更具有普遍意義。5. 結(jié)論以上給出了求解海洋內(nèi)波控制方程的四種Sturm變換方法。利用Sturm變換，可以求解海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)，具體的數(shù)值解過可以參考文獻3、6，此處不再給出數(shù)值結(jié)果。通過理論分析，可以得到如下一些結(jié)論：（1） 文中一次Sturm變換的三種形式，以及兩次Sturm變換，都可以將海洋內(nèi)波控制方程轉(zhuǎn)化為SL標準型；（2） 由SL方程的性質(zhì)，其解向量構(gòu)成完備的Hilbert內(nèi)積空間，從而實際測量的海洋內(nèi)波

21、可以表示成解向量的廣義Fourier級數(shù)；（3） 由一般二階線性變系數(shù)常微分特征值方程的通用變換方法給出的一次Sturm變換，以及另外兩種形式的Sturm變換，僅適用于低頻海洋內(nèi)波的情形，即全水深范圍內(nèi)存在海洋內(nèi)波的情形；（4） 采用兩次Sturm變換的方法，可以獲得波導處的邊界條件，從而可以僅針對波導區(qū)域求解具有垂向波動性質(zhì)的海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)。根據(jù)各層的邊界銜接條件，進而給出全水深的結(jié)果。參考文獻1 吳崇試.數(shù)學物理方法M.北京：北京大學出版社，2004.Wu Chongshi. Methods of Mathematical PhysicsM. Beijing:Beijing University Press,2004.2 方欣華，杜濤.海洋內(nèi)波基礎和中國海內(nèi)波M.青島：中國海洋大學出版社，2004.Fang Xinhua, Du Tao. Fundamentals of Oceanic Internal Waves and Internal Waves in the China SeasM. Qingdao:Ocean University of Chin