一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1、編輯ppt第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)(14)(14) 一一 . 以以2 l 為周期的函數(shù)的為周期的函數(shù)的傅里葉展開式傅里葉展開式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十二章 二二 . 定義在任意有限區(qū)間上定義在任意有限區(qū)間上 函數(shù)的傅里葉展開式函數(shù)的傅里葉展開式 編輯ppt一一. 以以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為 2l 函數(shù) f (x)周期為 2 函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅里葉展開 f (x) 的傅里葉展開式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt設(shè)周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理條

2、件,則在函數(shù)的連續(xù)點處其傅里葉展開式為:10sincos2)(nnnlxnblxnaaxfnaxlxnxflbllndsin)(1其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt證明證明: 令lxz, 則,llx,z令)(zF, )(z lf則)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它滿足收斂定理條件, 將它展成傅里葉級數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的連續(xù)點處 )(xf變成是以 2 為周期的周期函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯p

3、ptzznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 連續(xù)點處 )xlxnxflldcos)(證畢. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt說明說明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的連續(xù)點處)lxnsinl20l如果 f (x) 為偶函數(shù)偶函數(shù), 則有(在 f (x) 的連續(xù)點處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)

4、(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 無論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的間斷點 x 處, 傅里葉級數(shù)收斂于l20l如果 f (x) 為奇函數(shù)奇函數(shù), 則有 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt例例1. 把展開成)20()(xxxf(1) 正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù).解解: (1) 將 f (x) 作奇奇周期延拓, 則有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 處級數(shù)收斂于

5、何值?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt2oyx(2) 將 作偶偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k則有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt說明說明: 此式對0 x也成立,8) 12(1212kk由此還可導出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x

6、12) 12(1kk據(jù)此有2oyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt二二. 定義在任意有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開法定義在任意有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開法方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里葉級數(shù))(zF周期延拓將2abxz)(xf在,ba代入展開式上的傅里葉級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦正弦或余弦余弦級數(shù))(zF奇奇或偶偶式周期延拓將 代入展開式axz)(xf

7、在,ba即axz上的正弦正弦或余弦余弦級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt)(zFz55例例3. 將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里葉級數(shù).解解: 令,10 xz設(shè))55( )10()()(zzzfxfzF將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理條件.由于F(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt為正弦 級數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當f (x)為奇 函數(shù)時,(偶偶)(余弦余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 編輯ppt思考與練習思考與練習1. 將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答答: 易看出奇偶性及間斷點, 2. 計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算 ?答答: 用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子nk作業(yè)