大學(xué)物理機(jī)械振動(dòng)ppt

1、第二篇第二篇 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波第四章第四章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)(6.5.1)一、機(jī)械振動(dòng)一、機(jī)械振動(dòng)物體在平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)物體在平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)mo（a）單擺）單擺 mo（b）扭擺）扭擺 （d）浮體）浮體 二、研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的意義二、研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的意義（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單的振動(dòng)，容易研究。）簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單的振動(dòng)，容易研究。（2）復(fù)雜的振動(dòng)是由簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。）復(fù)雜的振動(dòng)是由簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。(1)、回復(fù)力、回復(fù)力(2)、慣性、慣性(1)、周期性、周期性(2)、有一個(gè)平衡位置、有一個(gè)平衡位置振動(dòng)振動(dòng)某物理量在定值上下往復(fù)變化某物理量在定值上下往復(fù)變化xxmo22

2、dtxdmkxFtAxcos022xmkdtxd2 mk令0222xdtxd彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球所在處彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球所在處(平衡位置平衡位置)為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,與外界無(wú)關(guān)。與外界無(wú)關(guān)。振動(dòng)方程振動(dòng)方程F 要定義或證明一個(gè)運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以從要定義或證明一個(gè)運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以從是否滿足下面三個(gè)方程之一為依據(jù)。是否滿足下面三個(gè)方程之一為依據(jù)。kxF0222xdtxdtAxcos動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn) 某物理量如果滿足后兩個(gè)方程，那么這個(gè)物理量某物理量如果滿足后兩個(gè)方程，那么這個(gè)物理量是簡(jiǎn)諧振動(dòng)量。是簡(jiǎn)諧振動(dòng)量。1）周期）周期 ：完成一次全振

3、動(dòng)所需時(shí)間：完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間 T) s ()(cos) cos(TtAtA2 2TT）大大位位移移的的絕絕對(duì)對(duì)值值（振振子子偏偏離離平平衡衡位位置置的的最最mAHz)2動(dòng)的次數(shù)（動(dòng)的次數(shù)（：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成全振：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成全振頻率頻率 , 1 T22T（振幅決定諧振子運(yùn)動(dòng)的范圍）（振幅決定諧振子運(yùn)動(dòng)的范圍）?；蚧蝾l頻率率求求出出周周期期）由由動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)方方程程寫(xiě)寫(xiě)出出（振振動(dòng)動(dòng)。也也就就證證明明了了振振動(dòng)動(dòng)為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧如如果果能能化化為為這這種種形形式式，的的形形式式，）將將動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)方方程程變變?yōu)闉椋▽?xiě)寫(xiě)出出動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)方方程程。或或）分分析析受受力力情情況況，由由（Txdtxd

4、JMmaF ,3 02,1222 確定振動(dòng)系統(tǒng)周期的方法：確定振動(dòng)系統(tǒng)周期的方法：,2 ,:kmTmk對(duì)對(duì)于于彈彈簧簧振振子子mk21)s2 ) 3-1（秒秒內(nèi)內(nèi)完完成成全全振振動(dòng)動(dòng)的的次次數(shù)數(shù)：角角頻頻率率22T（頻率決定諧振動(dòng)的頻繁程度）（頻率決定諧振動(dòng)的頻繁程度） 解解：根根據(jù)據(jù)牛牛頓頓第第二二定定律律22 sindtdmlmg很小時(shí)，很小時(shí)，當(dāng)當(dāng)022lgdtd動(dòng)動(dòng)是是簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧振振動(dòng)動(dòng)單單擺擺的的小小角角擺擺glTlg2 tcos 0微微分分方方程程的的解解為為mlmgtF例例 . 確定單擺固有角頻率確定單擺固有角頻率 及周期及周期T。te22sindtdmlmgFtoC*例例: :

5、確定確定復(fù)擺復(fù)擺 的的固有周期固有周期T。mglmglMsin22ddtJmgl,2Jmgl令令)cos(mt)5(mg（ 點(diǎn)為質(zhì)心）點(diǎn)為質(zhì)心）CmglJT22轉(zhuǎn)動(dòng)正向轉(zhuǎn)動(dòng)正向0dd22JmgltlJmglxxmo1k2k勁勁度度系系數(shù)數(shù)。求求兩兩彈彈簧簧串串聯(lián)聯(lián)后后的的等等效效，和和討討論論：已已知知 21kkPF2222dtxdmxkF212211xxxxkxk222121dtxdmxkkkk022xmkdtxd2121kkkkk2121kkkk，則則若若1212kkkk，則，則若若21kkk兩彈簧并聯(lián)兩彈簧并聯(lián)xkkkx2112 兩彈簧串聯(lián)兩彈簧串聯(lián),mk,串串串串kk并并并并, kk.

6、,0 : )rad(:稱為初相稱為初相時(shí)的相位時(shí)的相位相位，或位相，或相相位，或位相，或相tt即即兩兩個(gè)個(gè)相相位位之之差差。相相位位差差,:1212時(shí)，當(dāng) 12121122ttt 1 1）對(duì)對(duì)同一同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間態(tài)間變化所需的時(shí)間. .)()(12tt12ttt 2 2）對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè)同同頻率頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異. .（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）相位決定諧振子某相位決定諧振子某一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱稱兩兩個(gè)個(gè)振振動(dòng)動(dòng)同同相相。時(shí)時(shí)，若若

7、, 3210 ,2 kk稱稱兩兩個(gè)個(gè)振振動(dòng)動(dòng)反反相相。時(shí)時(shí)，若若, 3210 ,12 kk。超超前前于于振振動(dòng)動(dòng)，稱稱振振動(dòng)動(dòng)若若1212tt。落落后后于于振振動(dòng)動(dòng)，稱稱振振動(dòng)動(dòng)若若1212tt0 xto同相同相txo反相反相xto為其它為其它超前超前落后落后為位移振幅為位移振幅AtAx cos)2cos(sintvtAdtdxvm)cos(cos222tatAdtxdam為為速速度度振振幅幅Avm為加速度振幅為加速度振幅Aam2xa21t2t3t1t2t3t1t2t3tT（a）otxototva（b）（c）圖。圖。便得便得圖，再左移圖，再左移便得便得圖左移圖左移將將taTtvTtx44, 1

8、4 Tt2T2動(dòng)動(dòng)的的振振幅幅和和初初相相。三三、由由初初始始條條件件確確定定振振000vvxxt，時(shí)時(shí)，設(shè)設(shè)范圍內(nèi)范圍內(nèi)或或值在值在確定的確定的由由注注20)4(. 1:(4) sincos00AvAx(3) 22020vxA2.振幅不僅與振子的固有性質(zhì)有關(guān)，還與初始條件有關(guān)。振幅不僅與振子的固有性質(zhì)有關(guān)，還與初始條件有關(guān)。) tan (00 xv)2() 1 (sincos00AvAx則則有有,costAxtAvsin例例. 一輕彈簧的下端掛一重物，上端固定在支架上，一輕彈簧的下端掛一重物，上端固定在支架上，彈簧伸長(zhǎng)量彈簧伸長(zhǎng)量l=9.8cm。如果給物體一個(gè)向下的瞬時(shí)沖擊。如果給物體一個(gè)向

9、下的瞬時(shí)沖擊力，使它具有力，使它具有 的向下的速度，它就上下振動(dòng)起的向下的速度，它就上下振動(dòng)起來(lái)。試證明物體是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出其振動(dòng)方程式。來(lái)。試證明物體是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出其振動(dòng)方程式。11sm:解kmm0vxo0 22xmkdtxd整整理理可可得得動(dòng)動(dòng)。由由此此可可知知物物體體作作簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧振振 0 klmgxo軸軸正正方方向向。向向下下為為，點(diǎn)點(diǎn)取取物物體體的的平平衡衡位位置置為為原原22dtxdmlxkmgx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)物物體體運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)至至某某點(diǎn)點(diǎn))(101sradlgmk100100smvxt，時(shí)時(shí)，初初始始條條件件：mvxA1 . 01010220200sin0Av2 mtx210c

10、os1 . 0物物體體的的振振動(dòng)動(dòng)方方程程為為：0cos0Ax的長(zhǎng)的長(zhǎng)矢量矢量振幅振幅AA度度角角速速矢矢量量逆逆時(shí)時(shí)針針勻勻速速旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的角角頻頻率率 軸軸的的夾夾角角時(shí)時(shí)刻刻矢矢量量與與相相位位xtt )(軸軸的的夾夾角角時(shí)時(shí)矢矢量量與與初初相相xt02TT矢矢量量旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一圈圈所所需需時(shí)時(shí)間間周周期期圈圈數(shù)數(shù)矢矢量量單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的頻頻率率的的夾夾角角兩兩矢矢量量相相位位差差21, AAPoxAPAt0Pt1A2A1A2A1A2A12超超前前于于振振動(dòng)動(dòng)振振動(dòng)動(dòng)同同相相反反相相 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量矢量 的的端點(diǎn)在端點(diǎn)在 軸上的投軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)

11、動(dòng). .xA軸軸上上的的投投影影點(diǎn)點(diǎn)的的加加速速度度在在矢矢量量末末端端加加速速度度xPa 軸軸上上的的投投影影點(diǎn)點(diǎn)的的速速度度在在矢矢量量末末端端速速度度xPv 軸軸上上的的投投影影點(diǎn)點(diǎn)在在矢矢量量末末端端位位移移xPx Amv)sin(tAv)cos(2tAa2mAa)cos(tAxtmvv速度振幅速度振幅vm-矢量末端矢量末端P點(diǎn)的速度的大小點(diǎn)的速度的大小.加速度振幅加速度振幅am-矢量末矢量末端端P點(diǎn)的加速度的大小點(diǎn)的加速度的大小.xy0AtPmaa120 x1p1p.,;,0 :2111相相位位矢矢量量描描述述則則正正向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)如如果果質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)向向相相位位矢矢量量描描述述則則由由負(fù)

12、負(fù)向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)如如果果質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)向向處處質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)位位于于例例poxopxx 位置）位置）（特殊情況下只有一個(gè)（特殊情況下只有一個(gè)的位置。的位置。確定旋轉(zhuǎn)矢量?jī)蓚€(gè)可能確定旋轉(zhuǎn)矢量?jī)蓚€(gè)可能由初始位置由初始位置 10 x 從從而而找找出出初初相相。如如：位位置置確確定定其其初初始始位位置置，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量?jī)蓛蓚€(gè)個(gè)可可能能的的由由初初始始速速度度方方向向、從從旋旋 2（3）將空間分為四個(gè)象限，判斷旋轉(zhuǎn)矢量在哪個(gè)象限。）將空間分為四個(gè)象限，判斷旋轉(zhuǎn)矢量在哪個(gè)象限。20 , 0, 000vx第第一一象象限限2 , 0, 000vx第二象限第二象限2 , 0, 000vx第第三三象象限限02 , 0, 000v

13、x第四象限第四象限0v0 x0v0 x0 x0v0v0 xx2A3A4A01A軸軸正正向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)。處處并并向向）在在（軸軸負(fù)負(fù)向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)；處處并并向向）在在（軸軸正正向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)；）通通過(guò)過(guò)平平衡衡位位置置并并向向（）在在負(fù)負(fù)的的最最大大位位移移處處；（況況如如下下：始始時(shí)時(shí)振振動(dòng)動(dòng)物物體體的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)情情討討論論：判判斷斷初初相相位位，開(kāi)開(kāi)XAXAX242321(4) 由位移由位移時(shí)間曲線時(shí)間曲線(x-t圖圖)判斷初始條件再確定初相判斷初始條件再確定初相.曲線下降，質(zhì)點(diǎn)向曲線下降，質(zhì)點(diǎn)向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)曲線上升，質(zhì)點(diǎn)向曲線上升，質(zhì)點(diǎn)向x軸正向運(yùn)動(dòng)軸正向運(yùn)動(dòng)1xtV0 xmo0dtd

14、xv0dtdxv0 ,1010vAx由由圖圖可可知知01oxo當(dāng)坐標(biāo)軸為當(dāng)坐標(biāo)軸為x2,x3. 時(shí)時(shí):2x3x4x5x221xtoox0 , 02020vx0 ,3030vAx0 , 04040vx0 ,5050vAxoxoxox323402 5或或【例例6-36-3】如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)簧的勁度系數(shù) ，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量 . . 1mN72. 0kg20mm/ xo0.05（1）把物體從平衡位置向右拉到把物體從平衡位置向右拉到 處停下后處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程； m05. 0 x解解 1s0

15、 . 6mkm05. 0022020 xxAv0 ,m05. 000vx0 , 1cos0AxoxA由旋轉(zhuǎn)矢量圖也知由旋轉(zhuǎn)矢量圖也知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t2A （2 2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò) 處時(shí)的處時(shí)的速度；速度；解解 oxA2AA ,2Ax 3t由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知tAsinv1sm26. 0tAxcos ,21cosAxt353或或t解解 m205. 022020vxAoxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在

16、如果物體在 0 0 處時(shí)速度不等于零，處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運(yùn)動(dòng)方程，求其運(yùn)動(dòng)方程. .由旋轉(zhuǎn)矢量圖也知由旋轉(zhuǎn)矢量圖也知4m/ xo0.051sm30. 022cos0Ax4 0sin0Av v (m/s) t (s) O vm mv21 例例 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的曲線如一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的曲線如圖所示若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相圖所示若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相應(yīng)為應(yīng)為 AA /6 (B) 5 /6 (C) -5 /6(D) - /6 (E)2 /3解解：從從圖圖可可知知0,2 000avvtm時(shí)

17、，時(shí)，ox0tmvma6 ,21sin0mvv67 65或或Csin0mvv 例例 如圖所示為質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的如圖所示為質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x-t圖線，則諧振動(dòng)的圖線，則諧振動(dòng)的表達(dá)式為表達(dá)式為 。sTmA2 ,02. 0; 0, 0 000vxt時(shí)時(shí)，,2T解解：從從圖圖可可知知ox0t2m )2cos(020tx.TTTTAtAA125 D. 121 C. 161 B. ;61 . ). (,2,:為為所所需需最最短短時(shí)時(shí)間間處處運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)到到由由平平衡衡位位置置開(kāi)開(kāi)始始向向右右為為作作簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧振振動(dòng)動(dòng)的的小小球球振振幅幅例例C,62tTt2Aox3 ,2112cosAAAxt 解解 T t12

18、1 0 , 000vxtAmmvEK2222sin2121 tAmkxEP2222cos2121 振振動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)能能2222121 kAAmEEEPK總總能能量量tAm2cos1412222cos14122tAm22cos14122tAm彈簧振子振動(dòng)動(dòng)能：彈簧振子振動(dòng)動(dòng)能：mk簡(jiǎn)簡(jiǎn) 諧諧 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21kEpExEBCAApExO簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)能能曲曲線線恒量恒量 212122Ekxmv0dtdxkxdtdvmv0 22xmkdtxd ，

19、其值域?yàn)?，其值域?yàn)橹芷跒橹芷跒殚g周期性變化，間周期性變化，振動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)能均隨時(shí)振動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)能均隨時(shí)2 1T 。勢(shì)勢(shì)能能最最大大時(shí)時(shí)，動(dòng)動(dòng)能能為為零零；動(dòng)動(dòng)能能最最大大時(shí)時(shí)，勢(shì)勢(shì)能能為為零零動(dòng)動(dòng)能能和和勢(shì)勢(shì)能能反反相相變變化化。 2 化化。振振動(dòng)動(dòng)總總能能量量不不隨隨時(shí)時(shí)間間變變3。22221210AmkA202241)(cos211)4(kAdttkATEETpk 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動(dòng)的周期；振動(dòng)的周期； （2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；通過(guò)平衡位置的

20、動(dòng)能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 時(shí)，時(shí)，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 xiAtAx1111cosiAtAx2222cos1x2xxA1A2AOXiAiAAxxx )( 2121兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成合成后仍為后仍為同同頻率的頻率的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)12A1A

21、2AOx1212212221cos2AAAAAAAA2211sinsinsinAAA2211coscoscos22112211coscossinsintanAAAA或或tAxxxcos21111costAx222costAx2同同相相，當(dāng)當(dāng)2102 ) 112kk2121 或或AAA 反反相相，當(dāng)當(dāng) 21012 )212kk)( ,)( ,21221 1,21AAAAAAA)cos(212212221AAAAA 討論討論3)3)一般情況一般情況2121AAAAA相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)相互削弱相互削弱1A2AAO1A2AAO例例：有兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的方程為：有兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的方程

22、為 式中式中x以以m計(jì)，計(jì)，t以以s計(jì)計(jì)。（1）求它們合成振動(dòng)的振幅和初相位。）求它們合成振動(dòng)的振幅和初相位。5310cos05. 01tx5110cos06. 02tx解解m0892. 0)cos(212212221AAAAA m 060 m 05021.AA53152216850. 2arctancoscossinsinarctan22112211AAAA)0sinsin(sin2211AAA 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，合振幅為最大。時(shí)，合振幅為最大。取取 ，則，則k2130k53135623當(dāng)當(dāng) 時(shí)，合振幅為最小。時(shí)，合振幅為最小。取取 ，則，則) 12(23k0k m 12. 013AAA m 01. 023AAA5310cos05. 01tx5110cos06.