離散數(shù)學古天龍章答案

1、P201. 用枚舉法寫出下列集合。大于5小于13的所有偶數(shù)。A=6,8,10,1220的所有因數(shù)A=1,2,4,5,10,20小于20的6的正倍數(shù)A=6,12,182. 用描述法寫出下列集合能被5整除的整數(shù)集合A5x|x是整數(shù)平面直角坐標系中單位圓內(nèi)的點集A|x2+y214. 求下列集合的基數(shù) 9 1 3 2 16. 求下列集合的冪集1，2解：空集，1，2，1，2 解：空集，空集，a，空集，a 解：空集，1，2，2，1，2，215. 設(shè)全集U=1，2，3,4,5，集合A=1，4，B=1，2，5，C=2，4，確定下列集合。 1，3,5 1，4, 5 空集，1，2，4，1，4，2，418. 對任意

2、集合A，B和C，證明下列各式（A-(BUC)）=(A-B)-C)證：（A-(BUC)）=A(BUC)=A(BC) (A-B)-C)=(AB)C=ABC所以 （A-(BUC)）=(A-B)-C)（A-(BUC)）=(A-C)-B證：（A-(BUC)）=A(BUC)=ABC(A-C)-B)=(AC)B所以 （A-(BUC)）=(A-C)-BP(A)UP(B)P(AUB) 原題有錯 （注這里中的“”代表包含于符號）證：任取CP（A）UP(B)由定義CP（A）或CP（B）若CP（A），則CA,則CAUB若CP(B)，則CB,則CAUB故CAUB，即CP(AUB) 證畢P(A)P(B)=P(AB)證：先

3、證P(A)P(B)P(AB)任取 CP(A)P(B)，且CP(A), CP(B)由定義CA且CB,得CAB,即CP(AB)所以 P(A)P(B)P(AB)再證P(AB)P(A)P(B)任取CP(AB),即C=ABCA,且CB,CP(A)且CP(B)所以CP(A)P(B) 得證21. 用集合表示圖1.7中各陰影部分。a. (BC)-(ABC) ; b. b.(AB) -(ABC) ;c. U-(AUBUC) ; d .B-(AB)U(BC); e .ABC27. 某班有25個學生，其中14人會打籃球，12 人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網(wǎng)球，還有2人會打這三種球。已知6個會打網(wǎng)球

4、的人都會打籃球或排球，求該班同學中不會打球的人數(shù)。解：設(shè) A=x|x會打籃球，B=x|x會打排球，C=x|x會打網(wǎng)球 由題意知 |A|=14 ,|B|=12，|C|=6 ,|AB|=6，|AC|=5， |ABC|=2，|C(AUB)|=6， |C(AUB)|=|(CA)U(CB)|=|CA|+|CB|-|C(AUB)|=6, |BC|=6+|ABC|-|AC|=3, 所以 |AUBUC|=|A|+|B+|C|-|AB|-|BC|-(|BC|+|ABC| =14+12+6-6-3-5+2=20 所以 該班同學中不會打球的人有25-20+5人。30. 假設(shè)在“離散數(shù)學”課程的第一次考試中14個學生

5、得優(yōu)，第二次考試中18個學生得優(yōu)。如果22個學生在第一次或第二次考試得優(yōu)，問有多少學生兩次考試都得優(yōu)。解：設(shè) A=x|x第一次得優(yōu)的同學，B=x|x第二次得優(yōu)的同學由已知：|A|=14，|B|=18,|AUB|=22，由 |AUB|=|A|+|B|-|AB|=22所以 |AB|=32-22=10兩次考試都得優(yōu)的有10人。3. 設(shè)集合A=1,23，B=1,3,5和C=a,b。求如下笛兒卡積。、（AC）（BC） （AC）(BC)，, 、(AB)C,4. 對于集合A和B,證明。（AB）C(AC)(BC)證： 對任意(AB)C,由笛兒卡積定義，有x(AB),yC.那么xA且xB，由笛兒卡積定義，故 A

6、C (x,y)BC (AC)(BC)故 （AB）C (AC)(BC)對任意(AC)(BC)由交集知，AC,且BC，由笛兒卡積定義，xA,yC,且xB,yCxAB,yC. 由笛兒卡積定義知，(AB)故 （AC(BC) (AB)C, 證畢(AB)C(AC)(BC)證： 任取 (AB)C,由笛兒卡積定義知， xAB, yC, 故AC或BC(AC(BC),(AB)C(AC)(BC)任取(AC)(BC),由笛兒卡積定義知，AC或BC,由笛兒卡積定義知，xA或xB, yC,xAB,yC,由笛兒卡積定義知，(AB)C(AC)(BC)(AB)C證畢 5. 對于集合A=1,2,3和B=2,3,4,6，求從A到B

7、的整除關(guān)系R=,R=|xA, yB, x能整除y從B到A的整除關(guān)系R=,R=|xB, yA, x能整除y 6. 對于集合A=1,2,3,4,6,8,12， 求 A上的小于等于關(guān)系R=, ,A上的不等于關(guān)系R=|xA, yA , xyR=, 7. 對于集合A=a,b,c和B=a,a,b,a,c,b,c, 求從P(A)到B的包含關(guān)系R|xP(A) xB, xy P(A),a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,cR=,8. 對于集合A=3,5,7,9和B=2,3,4,6,8,10，求關(guān)系矩陣、從A到B的整除關(guān)系 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 MR 0 0 0 0 0 0 0

8、0 0 0 0 0 9. 對于集合A=2,3,4,6,7,8,10，求如下關(guān)系的關(guān)系矩陣A上的大于關(guān)系 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 MR 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 14. 設(shè)A=a,b,c,d,e,f,g,其中a,b,c,d,e,f和g分別表示7人，且a,b和c都是18歲，d和e都是21歲，f,和g都是23歲，試給出A上的同齡關(guān)系，并用關(guān)系矩陣和關(guān)系圖表示解：R, 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 c 1 1 1 0 0 0 0 e

9、MR 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 a b f 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 g gP6915. 判斷集合A=a,b,c上的如下關(guān)系所具有的性質(zhì)。 R1=, 自反性、反對稱性、傳遞性 R4=, 自反性、對稱性、傳遞性 R5=AA 對稱性、自反性、傳遞性 R6= 自反性、對稱性、傳遞性16. 判斷集合A=3,5,6，7,10,12上的如下關(guān)系所具有的性質(zhì)。 A上的小于等于關(guān)系 自反性、反對稱性、傳遞性 A上的恒等關(guān)系 自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性19. 對于圖2.16中給出的集合A=1，2,3上的關(guān)系，寫出相應(yīng)的關(guān)系表達式和關(guān)系矩陣，并分析

10、他們各自具有的性質(zhì)。R2=, 1 1 1 1 MR2= 1 0 1 1 1 1 2 （對稱性） 3 R2 R11=, 1 1 1 0 MR11= 1 1 1 0 1 1 2 3 （自反性、對稱性 ）25. 對于集合A=a,b,c到集合B=1,2的關(guān)系；R=,和S=,求RS,RS,RS,SR,R和S。解： RS=,; RS=,; RS=; SR=; R=ABR=,; S=ABS=,.27. 對于集合A=1,2,3,4,5,6上的關(guān)系R=|(x-y)A，S=|y是x的倍數(shù)和 T=|x整除y，y是素數(shù)，試寫出各關(guān)系中的元素，各關(guān)系的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖， 并計算下列各式。 解：R=, , ,;S=, ,

11、 , ,;T=, , 0 1 1 0 0 0 R的關(guān)系圖： 1 0 1 1 0 0 1 2 MR= 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 6 0 0 0 1 1 0 4 3 5其余略； RS=, , , , , , (RT)S RT=, (RT)S=,32. 對于集合A=a,b,c上的如下關(guān)系，求各個關(guān)系的各次冪。 R1=, R1=, 1 0 0 MR1= 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 MR1= 1 0 0 MR1=MR1MR1= 1 0 0 = 1 0 0 =MR1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 （

12、n=0） 0 0 1 MR1的n次方= 1 0 0 1 0 0 (n1) 0 0 0 R3=,; 1 0 0 0 1 1 MR3= 0 1 0 MR3= 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 MR3=MR3MR3= 0 0 1 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 MR3=MR3MR3= 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 MR3的4次方=MR3MR3= 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13、 0 33. 對于題29中的關(guān)系R和S，求下列各式，并給出所得關(guān)系的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖。解： 題29中的關(guān)系R和S如下：R=,;S=,;IA=,;r(R)=RIA=, ,;S(R)=RR的負一次方=, ,;t(R)=RRR(R的4次方） 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 MR= 1 0 1 0 MR=MRMR= 1 0 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 MR=MRMR= 0 1 0

14、1 1 0 1 0 = 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 (MR的4次方）=MRMR= 1 0 1 0 0 0 0 1 = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Mt(R)= 1 1 1 1 =AA. 1 1 1 1 37. 對于集合0,1,2,3上的如下關(guān)系，判定哪些關(guān)系式等價關(guān)系。 ,; 是等價關(guān)系。 ,; 自反性、對稱性成立； 傳遞性不成立，因為R,R,但R.

15、38. 對于人類集合上的如下關(guān)系，判定哪些是等價關(guān)系。|x與y有相同的父母； 是等價關(guān)系。R,滿足自反性；對稱性：若R，則R,對稱性成立。傳遞性：若RR，則R,傳遞性成立。|x與y有相同的年齡 是等價關(guān)系。39. 設(shè)R和S是集合A上的等價關(guān)系，判定下列各式中哪些是等價關(guān)系。 RS解： RS仍具有自反性和對稱性，但不一定具備傳遞性，故不是等價關(guān)系。任意xA,有R,S,RS. 自反性成立。對任意RS,則R或S.由于RS是等價關(guān)系，R或S,則R 對稱性成立。傳遞性不成立，反例：A1,2,3R=,S=, RS 自反性：因為任意xA,有R,且S, 所以RS,自反性成立。對稱性：任取RS,故R,且S,由于

16、R和S是等價關(guān)系， 故R且S,所以RS。傳遞性：任取RS，RS，即R且S，R且S， 由于R和S是等價關(guān)系，所以R,且S, 所以RS,傳遞性成立。綜上所述，RS是等價關(guān)系。41. 對于正整數(shù)集合上的關(guān)系R=,|ab=cd，試證明R是等價關(guān)系。自反性：任取aZ,bZ+， ab=ab， ,R，自反性成立。對稱性：任取,R，即ab=cd，cd=ab，故,R， 對稱性成立。傳遞性：任取,R，,R， ab=cd，cd=ef，ab=ef， ,R,傳遞性成立。 45.對于題37中的等價關(guān)系R，求集合A中各元素的等價類和A的商集解：0R=01R=12R=23R=3A/R=0123不是等價關(guān)系47.對于集合A=a

17、,b,c,d,e,f,g的劃分S=a,c,eb,d,f,g求劃分S所對應(yīng)的等價關(guān)系解：R=a,c,ea,c,eUb,db,dUf,gf,g=,52. 畫出如下集合A上整除關(guān)系的哈斯圖解：A=1,2,3,4,5,6,7,8 R=| x,yA,且x能被y整除8 4 6 2 3 5 7 1 A=1,2,3,5,7,11,132357 1113153. 對于題52中關(guān)系和，求子集1,2,3,5和子集2,3,7的上界，下界，上確界和下確界解：集合上界下界上確界下確界1,2,3,5無1無12,3,7無無無無集合上界下界上確界下確界1,2,3,5無1無12,3,7無無無無56.對于如圖所示的集合A上的偏序關(guān)

18、系所對應(yīng)的哈斯圖，求集合A的極大值，極小值，最大值和最小值解：heg f cba極大值極小值最大值最小值bababgfedbcak極大值極小值最大值最小值ha,kh無P861.對于集合A=x,y,z和B=1,2,3,判斷下列A到B的關(guān)系哪些構(gòu)成函數(shù),解：不是函數(shù),解：是函數(shù),解：是函數(shù),解：不是函數(shù),解：是函數(shù),解：不是函數(shù)2. 判斷下列哪些是函數(shù)|xR是函數(shù)|xZ,yZ,x=y+1是函數(shù)3.對于集合A=a,b,c,A到A可以定義多少個不同的函數(shù) =274. 對于集合A=x,y,z,AA到A可以定義多少個不同的函數(shù)|AA|=33所以5. 對于集合A=1,2,3，A到AA可以定義多少個不同的函數(shù)

19、|AA|=9所以8. 下列哪些是單射函數(shù)，滿射函數(shù)或雙射函數(shù)f:(是正整數(shù)集合)，f(x)=3x;所以是單射函數(shù)，不是滿射，不是雙射f:,f(x)=|x|;所以不是單射函數(shù)，不是滿射，不是雙射集合A=0,1,2,3到B=0,1,2,3,4的函數(shù)f,f(x)=;所以不是函數(shù)；f:,f(x)=x+1所以是單射函數(shù)，是滿射，是雙射f:,f(x)=所以是單射函數(shù)，不是滿射，不是雙射f:,f(x)=|2x|+1所以不是單射函數(shù)，不是滿射，不是雙射9. 對于集合A和B，且|A|=m，|B|=n,問A到B可以定義多少個不同的函數(shù)？A到B可以定義多少個不同的單射函數(shù)（mn）A到B可以定義多少個不同的滿射函數(shù)A

20、到B可以定義多少個不同的雙射函數(shù)（m=n）14. 對于集合A=a,b,c,d,B=1,2,3和C=a,b,c計算如下函數(shù)f：和g：的復(fù)合函數(shù)f=,g=,=,f=,g=,=,f=,g=,=,f=,g=,=,16. 對于集合A=a,b,c,d和B=1,2,3,4,判斷如下函數(shù)f:A的逆關(guān)系是否為函數(shù)f=,逆關(guān)系是函數(shù)f=,逆關(guān)系不是函數(shù)f=,逆關(guān)系是函數(shù)f=,逆關(guān)系是函數(shù)18. 對于函數(shù)f:,f()=,證f是單射函數(shù)，滿射函數(shù)證明：單射性，任取 若，則有x1x2或y1y2又f()= f()=若f()= f()，即=即x1+y1=x2+y2可求得 x1=x2且y1=y2x1-y1=x2-y2若x1x

21、2或y1y2 f()f()即單射性成立滿射性，對任意的令f()=,即=有x+y=u x-y=v所以x= y= 不是滿射19.對于函數(shù)f:,f()=,求逆函數(shù)解：f=,|xZ,yZ =,|xZ,yZ令=即 x+2=ux=u-2所以 x-y=v y=u-v-2所以（）=所以=,|uZ,vZP1401 判斷下列語句哪些是命題，并給出是命題的語句的真假第28屆奧林匹克運動會開幕式在北京舉行 是命題，真值為真大于2的偶數(shù)均可分解為兩個指數(shù)的和 是命題，真值不確定藍色和黑色可以調(diào)配成綠色 是命題，真值為假明天我去上海 是命題，真值不確定今天天氣真舒服啊 不是命題X+Y sp思路:即證 (pr)(qs)(r

22、(ps)(sp)是否為重言式證: (pr)(qs)(r(ps)(sp) (pr)(qs)(r(ps)(sp) (pr)(qs)(rp)(rs)(sp) (pr)(qs)(rp)(rs)(sp) (pr)(qs)(rp)(rs)sp (pr)(rp)sp (pr)sp prs 非永真 所以，上述推理不是有效推理39.用真值表證明題38中的推理 真值表解:將(pr)(qs)(r(ps)(sp)的真值表列出，非永真，所以推理不正確40.用主析取范式證明題38中的推理 證: (pr)(qs)(r(ps)(sp) M0M2M3M4M6M7M8M9M10M11M12M13M14M1551.符號化下述推理并證明其有效性:如果今天下大雨，則馬路上不好行走； 如果馬路難走，則我不去逛書店；如果我不去逛書店，則在家學習，所以 如果今天下大雨，則我在家學習。 p:今天下大雨 q:馬路上不好走 s:我不去逛書店 r:我在家學習 前提:pq, qs, sr 結(jié)論:pr 證明: pq 前提引入 qs 前提引