第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題

1、第三十五講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題一課標要求：1由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練；2通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；3了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用。二命題走向近年來圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運算能力，考察學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。但圓錐曲線在新課標中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計2007年高考對本講的考察，仍將以以下三類題型為主。1求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標系，以考察學(xué)生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力

2、；2與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問題、靈活運用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。預(yù)測2010年高考：1出現(xiàn)1道復(fù)合其它知識的圓錐曲線綜合題；2可能出現(xiàn)1道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出現(xiàn)在解答題中間的小問。三要點精講1曲線方程（1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明1、“建”：建立坐標系；“設(shè)”：設(shè)動點坐標。建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x,y)表示曲線上任意一點M的坐標。(1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設(shè)點。(2) 沒有給出坐標系，首

3、先要選取適當?shù)淖鴺讼怠?、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確。3、“代”：代換用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式。要注意同解變形。5、證明證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點?；喌倪^程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”（2）求曲線方程的常見方法：直接法

4、：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個方法又叫相關(guān)點法或坐標代換法。即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。2圓錐曲線綜合問題（1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題通常有兩類：一類是有關(guān)長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾

5、何知識，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。解題時要注意函數(shù)思想的運用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。圓錐曲線的弦長求法：設(shè)圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍。（2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明

6、方法，以及定點、定值問題的判斷方法。（3）實際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實際應(yīng)用問題，如橋梁的設(shè)計、探照燈反光鏡的設(shè)計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運行軌道的計算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問題的解決關(guān)鍵是建立坐標系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：（4）知識交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強區(qū)分度的綜合題。四典例解析題型1：求軌跡方程例1（1）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。

7、（2）雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程。解析：（1）（法一）設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，當與相切時，有當與相切時，有將兩式的兩邊分別相加，得，即移項再兩邊分別平方得：兩邊再平方得：，整理得，所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，所以點的軌跡是焦點為、，長軸長等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，圓心軌跡方程為。（2）如圖，設(shè)點坐標各為，在已知雙曲線方程中，已知雙曲線兩焦點為，存在，由三角形重心坐標公式有，即 。，。已知點在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線

8、方程，有即所求重心的軌跡方程為：。點評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。例2（2001上海，3）設(shè)P為雙曲線y21上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是。解析：（1）答案：x24y21設(shè)P（x0，y0） M（x，y）2xx0，2yy04y21x24y21 點評：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。題型2：圓錐曲線中最值和范圍問題例3（1）設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點為，則F1AB的面積最大為（） A. B. C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是

9、（） A. B. C. 2D. （3）已知A（3，2）、B（4，0），P是橢圓上一點，則|PA|PB|的最大值為（） A. 10B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對稱性知道O為AB的中點，則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。點評：抓住F1AB中為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。（2）解析：由雙曲線的定義，得：，又，所以，從而由雙曲線的第二定義可得，所以。又，從而。故選B。點評：“點P在雙曲線的右支上”是銜接兩個定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，

10、從而得出e的取值范圍。（3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（4，0）是橢圓的左焦點（如圖），則右焦點為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知：，所以。由平面幾何知識，即，而，所以。點評：由PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。例4（1）（06全國1文，21）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.求該橢圓的標準方程；若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。（3）（06山東文，21）已知橢圓的中心

11、在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為l。()求橢圓的方程；()直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當AOB面積取得最大值時，求直線l的方程。解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因為Q在橢圓上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y )2+1+a2 。因為|y|1,a>1, 若a, 則|1, 當y=時, |PQ|取最大值，若1<a<,則當y=1時, |PQ|取最大值2。（2）由已知得橢圓的半長軸a=2,

12、半焦距c=,則半短軸b=1， 又橢圓的焦點在x軸上, 橢圓的標準方程為。設(shè)線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0)，由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點P在橢圓上,得，線段PA中點M的軌跡方程是。當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此ABC的面積SABC=1。當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,)，則,又點A到直線BC的距離d=，ABC的面積SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,當k=時,等號成立。SABC的最大值是。（3）解：設(shè)橢圓方程為（）由已知得所求橢圓方程為。（）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由

13、，消去y得關(guān)于x的方程：，由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得。又由韋達定理得，。原點到直線的距離。.解法1：對兩邊平方整理得：（*），整理得：。又，從而的最大值為，此時代入方程（*）得，。所以，所求直線方程為：。解法2：令，則。當且僅當即時，此時。所以，所求直線方程為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點，由解法一知且，解法1： =.下同解法一.解法2：。下同解法一。點評：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問題，主要是三角形的面積、弦長問題。處理韋達定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。題型3：證明問題和對稱問題例5（1）（06浙江理，19）如圖，橢圓

14、1（ab0）與過點A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程；()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF的中點，求證：ATM=AFT。（2）（06湖北理，20）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。（3）（06上海理，20）在平面直角坐標系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點。求證：“如果直線過點T（3，0），那么3”是真命題；寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由解析：

15、（1）（I）過點、的直線方程為因為由題意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因為 即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為（II）由（I）得 故從而由，解得所以 因為又得因此點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。（2）（）依題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點在橢圓上，y0（4x02）. 又點M異于頂點A、B，2<x0<2，由P、A、M三點共線可以得P（4，）.從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x024

16、3y02）. 將代入，化簡得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點Q的坐標為（，），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點兩直線AP與BP的交點P在準線x4上，即y2又點M在橢圓上，則，即于是將、代入，化簡后可得.從而，點B在以MN為直徑的

17、圓內(nèi)。點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。（3）證明：設(shè)過點T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x12,y2). 當直線l的鈄率下存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,)，=3。 當直線l的鈄率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x3),其中k0.當y2=2x得ky22y6k=0,則y1y2=6.y=k(x3) 又x1=y, x2=y,=x1x2+y1y2=3.綜上所述, 命題“如果直線l過點T(3,0),那么=3”是真命題.逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y

18、2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.點評：由拋物線y2=2x上的點A(x1,y1)、B(x12,y2)滿足=3,可得y1y2=6?；騳1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2, 可證得直線AB過點(1,0),而不過點(3,0)。例6（1）（06北京文，19）橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于兩點，且A、B關(guān)于

19、點M對稱，求直線l的方程。（2）（06江蘇，17）已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；O（）設(shè)點P、關(guān)于直線yx的對稱點分別為、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。解析：（1）解法一：()因為點P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=，從而b2=a2c2=4，所以橢圓C的方程為1。()設(shè)A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）。 已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18

20、k)x+36k2+36k27=0. 因為A，B關(guān)于點M對稱. 所以 解得， 所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且由得：因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+ x2=4，y1+ y2=2。代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0。(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)（2）由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2

21、-c2=9。所以所求橢圓的標準方程為點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。設(shè)所求雙曲線的標準方程為。由題意知，半焦距c1=6，。,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標準方程為。點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力。題型4：知識交匯題例7（06遼寧,20）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。解析：(I)證

22、明1:整理得:設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則即整理得:故線段是圓的直徑證明2:整理得:.(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得:點滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3:整理得:(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當y=p時,d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因為x-2y+2=0與無公共點,所

23、以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當時,d有最小值,由題設(shè)得.點評：本小題考查了平面向量的基本運算,圓與拋物線的方程.點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。例8（06重慶文，22）如圖，對每個正整數(shù)，是拋物線上的點，過焦點的直線角拋物線于另一點。（）試證：；（）取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點。試證：；證明：（）對任意固定的因為焦點F（0,1），所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方

24、程根與系數(shù)的關(guān)系得（）對任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，類似地，可求得在處的切線的方程為：，由得：，將代入并注意得交點的坐標為由兩點間的距離公式得：現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：點評：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識交匯的題目。五思維總結(jié)1注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)；2復(fù)習(xí)時要突出“曲線與方程”這一重點內(nèi)容曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì).這兩方面的問題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題.因此復(fù)習(xí)時要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標系后，根據(jù)曲線上點適合的共同條件找出動點P（x，y