九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題突破講練解決仰角、俯角問題試題青島版

1、解決仰角、俯角問題【重點(diǎn)難宜易佶點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)精通】仰角、俯角1.鉛垂線：重力線方向的直線；2.水平線：垂直于鉛垂線的直線；3.仰角：視線在水平線上方的角叫做仰角;4.俯角：視線在水平線下方的角叫做俯角。方法歸納：（1）仰角和俯角是視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧 記為“上仰下俯”；（2）實(shí)際問題中遇到仰角或俯角時(shí)，要放在直角三角形或轉(zhuǎn)化到直角三角形中運(yùn)用， 注意確定水平線。總結(jié)：1.能夠分清仰角和俯角，正確解答與仰角和俯角有關(guān)的三角函數(shù)問題。2.在測量物體的高時(shí)，要善于將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題?！菊骟犾后犆ｎ}議豊經(jīng)典】例題 我國為了維護(hù)對(duì)釣魚島（點(diǎn) P）的主權(quán)，決定對(duì)釣魚

2、島進(jìn)行常態(tài)化的立體巡航。在一次巡航中，輪船和飛機(jī)的航向相同（AP/ BD ，當(dāng)輪船航行到距釣魚島20km 的 A 處時(shí),飛機(jī)在 B 處測得輪船的俯角是 45;當(dāng)輪船航行到 C 處時(shí)，飛機(jī)在輪船正上方的E 處，此時(shí) EC= 5000m。輪船到達(dá)釣魚島 P 時(shí)，測得 D 處的飛機(jī)的仰角為 30。試求飛機(jī)的飛行距離 BD （結(jié)果保留根號(hào)）。解析：作 AF 丄 BD PGL BD 在 Rt ABF 和厶 PDG 中分別求出 BF、GD 的值，由 BF+ FG + DG求 BD 的長。鉛垂線o2答案：作 AF 丄 BD PGL BD 垂足分別為 F、G,由題意得：AF= PG= CE= 5000m, F

3、G= AP =20km ,在 Rt AFB 中,/ B= 45,則/ BAF= 45, / BF= AF= 5。GP5/ AP/ BDD=ZDPHk30，在 Rt PGD 中，tan / =即卩 tan30 ,GDGD GD= 5 . 3,貝 U BD= BF+ FG+ DG= 5+ 20+ 5 .3 = 25+ 5 .3 ( km)。3答：飛機(jī)的飛行距離 BD 為 25+ 5.3km。% ,_Jc20kmp點(diǎn)撥：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，然后解直角三角形，雖然難度一般，但非常具有代表性。用三角函數(shù)測量建筑物的高度，常見類型如下: h(1)=

4、I , h = I tana;tana根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅娴膯栴}：(1) 計(jì)算:sin 15 ;(2) 烏蒙鐵塔是六盤水市的標(biāo)志性建筑物之一(圖 1),小華想用所學(xué)知識(shí)來測量該鐵塔的高度，如圖 2，小華站在離塔底 A 距離 7 米的 C 處，測得塔頂?shù)难鼋菫?75,小華的眼 睛離地面的距離 DC 為 1.62 米，請(qǐng)幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度。(精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：3 = 1.732 ,2 = 1.414 )?！就卣巩?dāng)結(jié)+提升茹分譽(yù)讀】(2)htanahtan3h=tan3 tanatana tan3(3)hhtanatan3h=tana +tan3tana t

5、an3滿分訓(xùn)練閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式:sin(a 3 )=sinacos3 cosasin3 ；tan(a3)=tanatan3。1+tana tan3利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值。例:tan15=tan(45 30) =tan45 tan30 1 + tan45 tan301 + 1 + 3Io4解析：(1)把 15化為 4530以后，再利用公式 sin( a3 )=sinacos3 cosasin3計(jì)算，即可求出 sin15 的值；(2)先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求 出 BE 的長，再根據(jù) AB= AE+ BE 計(jì)算塔高。答案：(1)

6、sin15 = sin(45 30) = sin45 cos30 cos45 sin30 = 虐 1_6犬樂-迄Tx2=TT =4 ；(2)在 Rt BDE 中，/ BED= 90,/ BD= 75, DE= AC= 7 米, BE= DE?tan/ BDE= DE?tan75/tan75 = tan (45+ 30) BE=7(2+3)= 14+7 3, AB= AE+ BE= 1.62 +14+73 27.7(米)。答：烏蒙鐵塔的高度約為 27.7 米。點(diǎn)撥：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角、俯角問題，以及特殊角的三角函數(shù)值的 應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的

7、三角函數(shù)值來求解。(答題時(shí)間：30 分鐘)一、選擇題1.如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A 看一棟高樓頂部 B 的仰角為 30,看這棟高樓底部 C 的俯角為 60,熱氣球 A 與高樓的水平距離為 210m這棟高樓 BC 的高度為()A. 70 _3mB. 2103mC. 280 3mD. 1603mtan45 + tan30 1 tan45=2+ .3 ,圖1圖25*4.如圖，在一個(gè)房間內(nèi)，有一把梯子MC 斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時(shí)梯子的傾斜角為75,如果梯子的底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距地面的垂直距離NB 為b米，梯子的傾斜角為 45，則這間房子的

8、寬 AB 為（ ）二、填空題5. 九年級(jí)三班的小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測量物體的高度”這節(jié)課后，他為了測得如圖所放風(fēng) 箏的高度，進(jìn)行了如下操作：（1）在放風(fēng)箏的點(diǎn) A 處安置測傾器，測得風(fēng)箏 C 的仰角/ CBD= 60;*2.如圖，測量隊(duì)為了測量某地區(qū)山頂P 的海拔高度，選 M 點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，從M 點(diǎn)測量山頂 P 的仰角（視線在水平線上方，與水平線所夾的角）為30,在比例尺為 1: 50000該地區(qū)的等高線地形圖上，量得這兩點(diǎn)的圖上距離為6 厘米，則山頂 P 的海拔高度為（A.1732 米B.1982*3的墻角如圖， 在兩建筑物之間有一旗桿, C點(diǎn)，且俯角a為 600,又從BC高 15 米，從 A

9、點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮建筑物 A點(diǎn)測得 D 點(diǎn)的俯角3為 30o,若旗桿底點(diǎn) G 為的中點(diǎn)，則矮建筑物的高A. 20 米B.A.學(xué)米B.耳米C.b米D.a米2 26(2)根據(jù)手中剩余的線的長度求出風(fēng)箏線BC 的長度為 70 米；3)量出測傾器的高度AB= 1.5 米。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏的高度CE 約為6.如圖 1 所示，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，另一端系一個(gè)小重物，制成簡單的測角儀，若細(xì)線正好和 60重合，則此時(shí)的仰角 a 是_ 。，若細(xì)線所在位*7.某校研究性學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿AB 的高度，如圖在教學(xué)樓一樓C 處測得旗桿頂部的仰角為 ，在教學(xué)樓三樓 D 處測得旗桿頂部的

10、仰角為禮 I ，旗桿底部與教學(xué)樓一樓在*8.如圖，在小山的東側(cè) A 點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30 米/分的速度沿與地面成 75角的方向飛行， 25 分鐘后到達(dá) C 處， 此時(shí)熱氣球上的人測得小山西側(cè) B 點(diǎn)的 俯角為 30,則小山東西兩側(cè)AB 兩點(diǎn)間的距離為 _ 米。置刻度模糊，請(qǐng)?jiān)趫D 2 中添加一條直線，就能求出此時(shí)的仰角(X。7三、解答題89.國家海洋局將中國釣魚島的最高峰命名為“高華峰”，并對(duì)釣魚島進(jìn)行常態(tài)化立體巡 航。如圖 1，在一次巡航過程中，巡航飛機(jī)的飛行高度為2001 米，在點(diǎn) A 測得高華峰頂 F點(diǎn)的俯角為 30,保持方向不變前進(jìn) 1200 米到達(dá) B 點(diǎn)后測得 F

11、 點(diǎn)的俯角為 45,如圖 2。請(qǐng)據(jù)此計(jì)算釣魚島的最高海拔高度為多少米。（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：.3 - 1.732 , 21.414 ）*10.（舟山中考）某學(xué)校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20 個(gè),每個(gè)菱形邊長為 30 厘米。校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為 60 （如圖 2）;校門打開時(shí), 每個(gè)菱形的銳角度數(shù)從 60縮小為 10（如圖 3）。問：校門打開了多少米？（結(jié)果精確0.0872 , cos5 0.9962 , sin 10 0.1736 , cos10 0.9848）。*11.小強(qiáng)在教學(xué)樓的點(diǎn) P 處觀察對(duì)面的辦公大樓。為了測量點(diǎn) P 到對(duì)面辦公大樓上部 AD

12、的距離，小強(qiáng)測得辦公大樓頂部點(diǎn)A 的仰角為 45,測得辦公大樓底部點(diǎn) B 的俯角為 60,已知辦公大樓高 46 米，CD= 10 米。求點(diǎn) P 到 AD 的距離（用含根號(hào)的式子表示）。*12.小亮和小紅在公園放風(fēng)箏，不小心讓風(fēng)箏掛在樹梢上，風(fēng)箏固定在 為測量此時(shí)風(fēng)箏的高度，他倆按如下步驟操作：第一步：小亮在測點(diǎn) D 處用測角儀測得仰角/ ACB3。第二步：小紅量得測點(diǎn) D 處到樹底部 B的水平距離 BD= a。 第三步：量出測角儀的高度 CD= bo之后，他倆又將每個(gè)步驟都測量了三次，把三次測得的數(shù)據(jù)繪制成如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖。到 1 米，參考數(shù)據(jù)：sin5 A 處（如圖），圖 1圖

13、2圖 39請(qǐng)你根據(jù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答下列問題。(1 )把統(tǒng)計(jì)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)填入相應(yīng)的表格中:ab3第一次第二次第三次平均值(2)根據(jù)表 中得到的樣本平均值計(jì)算出風(fēng)箏的高度 AB (參考數(shù)據(jù)：匕 1.732 ,2疋1.414，結(jié)果保留 3 個(gè)有效數(shù)字)。101. C 解析：過 A 作 ADL BC,垂足為 D。在 Rt ABD 中，BAD= 30, AD= 210m二 BD= AD?tan30=210 x=70J3m在 Rt ACD 中,CAD= 60, AD= 210m, / CD= AD?tan60= 210/3 = 210 孕m, / BC= BD+ CD= 7/3 + 210 西=

14、28m故選 C。2. B 解析：T兩點(diǎn)的圖上距離為6 厘米，比例尺為 1: 50000 ,兩點(diǎn)間的實(shí)際距離為：16-= 3000 米，T從 M 點(diǎn)測量山頂 P 的仰角（視線在水平線上方，與水平線所夾的角）50000為 30,二 MP= 3000Xtan30 = 3000X苛=1732 米，T點(diǎn) M 的海拔為 250 米，山頂 P3的海拔高度為=1732 + 250 = 1982 米。故選 B。3. A 解析：根據(jù)題意可知： GE/ AB/ CD, BC= 2GC GE= 15 米，AB= 2GE= 30 米。過點(diǎn) D 作 DF垂直于過 A 點(diǎn)的水平線于點(diǎn) F,貝UAF= BC= AB- tan

15、 / ACB= 30 - 3 = 10 3 米，DF=AF?ta n30o=103xf=10 米，CD= AB DF=30-10=20 米。34. D 解析：過 N 點(diǎn)作 MA 的垂線，垂足為點(diǎn) D,連接 NMT/ MCN= 180 / MCA-ZNCB=180 75 45= 60 , MC= NC MNC 是等邊三角形， MN= MC / MN= 60。/ MND=/ MN/ DNC 而/ DNC=/ NCB= 45， / MN= 60 45= 15。在 Rt MND中，DN= MNcosZ MN= MNcos15。在 Rt MCA 中,T/ MCA= 75， / AMC= 15,. AM解

16、析：在 Rt CBD 中, DC= BC? -60.55oTAB= 1.5 ,60.55 + 1.562.1 （米）。6. 30。，如圖所示：作線段 BA 關(guān)于 BC 的對(duì)稱線段，對(duì)稱線段所在的直線即是需要添加1=MCcos15oAB=5. 62.111的直線，讀出/ ABF 的度數(shù)，a= 90 / ABFO（也可過點(diǎn) B 作 AC 的平行線）127. 9 解析：過 B 作 BE! CD 于點(diǎn) E,設(shè)旗桿 AB 的高度為x,在 Rt ABC 中，tan / ACB= AC,所以x= 9,故旗桿的高度為 9 米。8. 750 2 解析：如圖（略），過點(diǎn) A 作 AD 丄 BC,垂足為 D,在 R

17、t ACD 中,ZAC= 7530= 45, AC= 30X25= 750 （米），二 AD= AC?sin45 = 375 2 （米）。在 Rt ABD 中，TZ B= 30,. AB= 2AD- 750 2 （米）。9.解：設(shè) CF=x，在 Rt ACF 和 Rt BCF 中，：ZBAF= 30,ZCBF= 45,. BC= CF=x,CF= tan30。，即卩 AC= . 3x,vAC- BC= 1200,. _ 3xx= 1200，解得：x= 600 （ , 3 AC+ 1），貝 U DF=h-x= 2001 - 600 C 3 + 1） 362 （米）。答：釣魚島的最高海拔高度約36

18、2米。10.解：如題圖，校門關(guān)閉時(shí)，取其中一個(gè)菱形ABCD 根據(jù)題意，得ZBAD- 60, AB= 0.3 米。T在菱形 ABCD 中, AB= AD, BAD 是等邊三角形， 二 BD= AB= 0.3 米， .大門的 寬是 0.3X206（米） ； 校門打開時(shí)， 取其中一個(gè)菱形 ABGD。根據(jù)題意，得ZB1A1D = 10, AB1=0.3 米。在菱形 A1B1GD 中，AG 丄BQ,設(shè) AQ 與 BDi 相交于點(diǎn)O,則ZB1AO=5,在 RtA1BO 中，B1O = sinZB1AO?AB1= sin5 X0.3 = 0.02616 （米），/-B1D = 2B1O =0.05232 米，.伸縮門的寬是：0.052 32X20= 1.0464 米。.校門打開的寬度為：6- 1.0464=4.95365 （米）。故校門打開了 5 米。11.解：延長 BC