對矩陣的秩的有關(guān)理解及其在線性代數(shù)中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上對矩陣的秩的有關(guān)理解及其在線性代數(shù)中的應(yīng)用摘 要：本文敘述了矩陣秩的幾個(gè)等價(jià)定義，并且給出了幾個(gè)相關(guān)秩的解法.通過例子來驗(yàn)證和探討了矩陣秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用，這些知識(shí)對我們理解矩陣的本質(zhì),靈活運(yùn)用矩陣的秩去分析相關(guān)問題有一定的意義和作用.關(guān)鍵詞：矩陣的秩；秩的解法；秩的應(yīng)用On the Rank of Matrix relating to the understanding Extremely in the Application of Linear AlgebraAbstract: This article describes several equivalent

2、definitions of matrix rank, and gives the solution of some rank. Through example to verify that the discussion and application of matrix in linear algebra, this knowledge to our understanding of the nature of the matrix, flexible use of matrix rank to have a certain meaning and analysis of related p

3、roblems.Key words: rank of matrix; rank method; the application of rank0 前言矩陣的理論是線性代數(shù)的理論基礎(chǔ)。而在矩陣的理論中，矩陣的秩是一個(gè)基本的理論概念，也是矩陣最重要的數(shù)量特征之一，他在初等變換下是一個(gè)不變量.它是反應(yīng)矩陣固有特性的一個(gè)重要概念.矩陣作為線性代數(shù)的重要工具，已滲透到各章內(nèi)容之中,并成為行列式、線性代數(shù)方程組、線性空間、歐氏空間和二次型的紐帶,它把線性代數(shù)各章節(jié)貫串成為一個(gè)整體.而矩陣的秩幾乎貫穿矩陣?yán)碚摰氖冀K，是矩陣一個(gè)重要的、本質(zhì)的屬性,在求方陣的逆、判斷線性方程組是否有解以及有多少個(gè)解、判斷向量組

4、的線性相關(guān)性、求矩陣的特征值等方面,矩陣的秩都有著廣泛的應(yīng)用.1 矩陣秩的概念 首先給出矩陣秩的幾個(gè)等價(jià)定義定義1 設(shè)s，矩陣中不為0子式的最高階數(shù)，即有階子式不為0，任何階子式（如果存在的話）全為0，稱為矩陣的秩。記做.從本質(zhì)上說，矩陣的秩就是矩陣中不等于0的姿勢的最高階數(shù)。這個(gè)不為0的子式的最高階數(shù)r反映了矩陣A內(nèi)在的重要特征，在矩陣的理論與應(yīng)用中都有重要意義.定義2 矩陣,行（列）向量組的極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)稱為該矩陣的秩.定義3 矩陣的行向量組的秩稱為的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩.定理1 任何矩陣經(jīng)過矩陣初等變換后其秩不變既初等變換時(shí)，由于求矩陣的秩與求行向量組的秩都是用矩陣的

5、初等行變換來實(shí)現(xiàn)的，矩陣的行秩等于矩陣的秩是顯然的，由矩陣的秩的定義，可得定理2 對于對于任意一個(gè)矩陣，的秩，的行秩和的列秩三者都相等.因此，也可以用矩陣的行秩或列秩作為矩陣秩的定義.例題1 用消元法求下列向量組組的極大線性無關(guān)組和秩：解 作初等變換： 所以的秩為3，而且可以知道是極大線性無關(guān)組.2 矩陣的秩的求法(1)定義法,利用定義尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù);(2)初等變換法,對矩陣實(shí)施初等行變換,將其變成為行階梯形矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩;(3)標(biāo)準(zhǔn)形法,求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,1的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩.例題2 求矩陣的秩解 所以3 矩陣秩的作用和意義3.1 秩與線性方程組的解

6、定理2 設(shè)元線性方程組，其中和分別為階系數(shù)矩階增廣矩陣，則有：（1） 方程組無解當(dāng)且僅當(dāng)（2） 方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)（3） 方程組有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng) 例題3 討論下列各方程組的解的情況 以上三個(gè)不同的線性方程組的增廣矩陣分別為： ， ，對上述3個(gè)矩陣進(jìn)行行的初等變換后分別得到下列三個(gè)矩陣 這時(shí)易讀出上述矩陣的秩和對應(yīng)的系數(shù)矩陣的秩，我們應(yīng)用定理來分析和總結(jié)上述三個(gè)方程組的解如下表：方程組系數(shù)矩陣的秩增廣矩陣的秩未知元的個(gè)數(shù) 解得情況222唯一122不存在112事實(shí)上，用初等變換把矩陣化為階梯形，其階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)的秩就是矩陣的秩.齊次線性方程組，如果用代入齊方程組中，可看出任何齊次方

7、程組都至少有一個(gè)解，即.那么齊次方程組還有其他解嗎？ 定理3 設(shè)為階矩陣，如果一個(gè)齊次線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng),如果(未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù))，那么方程組有無窮多個(gè)解.3.2 秩與向量組的相關(guān)性定義 一組向量是線性無關(guān)的，如果沒有不全為零的數(shù)使，否則稱這組向量是線性相關(guān)的.向量組的秩既該向量組極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，而向量組本身所含向量的個(gè)數(shù)與秩相等，則該向量組線性無關(guān)，所含向量個(gè)數(shù)大于秩，則該向量組線性相關(guān)，用求向量組秩的方法判斷向量組是否線性相關(guān)是判斷相關(guān)性的常用方法。推論 一組列向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的秩.例題4 判斷向量組，的線性相關(guān)性 解 列向量寫成矩陣的形式，對矩陣A

8、進(jìn)行行的初等變換，使之變成階梯形矩陣，既 由此可以看出，矩陣的秩為,因此向量組是線性相關(guān)的. 用初等變換把一個(gè)線性方程組化成階梯型，最后留下來的方程的個(gè)數(shù)與變幻的過程無關(guān)，因?yàn)樗偷扔谠鰪V矩陣的秩.3.3 矩陣的秩在討論方陣的問題中的作用對于一個(gè)方陣,如何判斷它是否可逆,除了根據(jù)它的行列式是否為零,還可以根據(jù)方陣秩的大小來判斷。方陣A可逆的充要條件是,我們又知道方陣A可逆的充要條件是,這與秩為非零子式的最高階數(shù)是吻合的.由初等變換不改變矩陣的秩可得：定理4 是一個(gè)矩陣，如果是可逆矩陣，是可逆矩陣，那么 例題5 設(shè)A,B均為n階方陣，則下列選項(xiàng)正確的是（） A 若與均可逆，則可逆 B 若與均不可

9、逆，則必不可逆 C 若可逆，則均可逆 D 若不可逆，則均不可逆解析 首先回顧教材中的定理：設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)矩陣，那么|AB|=|A|B|,既矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積. 由于可逆，所以，即，因此 且，所以均可逆， 正確答案為.3.4 矩陣的秩在二次型問題中的作用二次型的秩定義為其矩陣的秩,任意二次型總可以經(jīng)非退化線性變換X=CY 化為標(biāo)準(zhǔn)形,而且,還可以經(jīng)過不同的非退化線性變換化為不同的標(biāo)準(zhǔn)形,但這些標(biāo)準(zhǔn)形中所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是相同的,所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就等于二次型的秩。對于正定二次型,其對稱矩陣的順序主子式全為正數(shù),特征值也全為正數(shù),二次型的正慣性指數(shù)等于n。此時(shí),對稱矩陣的行列式大于零,顯然有r(A)=n。反之,若r(A)=n,不能推出二次型為正定二次型,這是因?yàn)榭赡苡胸?fù)特征值出現(xiàn).定義 設(shè)是一實(shí)二次型，如果對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)如果都有，那么稱為半正定的。例題6 證明：二次型是半正定的充要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等.證 必要性：采用反證法.若正慣性指數(shù)秩，則.即 若令 則可得非零解使。這與所給條件矛盾，故.充分性：由，知 故有，即證二次型半正定.參考文獻(xiàn)1 羅雪梅,孟艷