高中數(shù)學(xué)推理與證明 213 推理案例賞析習(xí)題 蘇教版選修22

1、2.1.3推理案例賞析明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.通過對具體的數(shù)學(xué)思維過程的考察，進(jìn)一步認(rèn)識合情推理和演繹推理的作用、特點(diǎn)以及兩者之間的聯(lián)系.2.嘗試用合情推理和演繹推理研究某些數(shù)學(xué)問題，提高分析問題、探究問題的能力1數(shù)學(xué)活動與探索數(shù)學(xué)活動是一個(gè)探索創(chuàng)造的過程，是一個(gè)不斷地提出猜想、驗(yàn)證猜想的過程2合情推理和演繹推理的聯(lián)系在數(shù)學(xué)活動中，合情推理具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用，演繹推理為合情推理提供了前提，對猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動提供依據(jù)情境導(dǎo)學(xué)合情推理和演繹推理之間具有怎樣的聯(lián)系和差別？合情推理和演繹推理是怎樣推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展活動的？下面通過幾個(gè)案例進(jìn)一步來熟悉探究點(diǎn)一運(yùn)用歸納推

2、理探求結(jié)論思考1在數(shù)學(xué)活動中，歸納推理一般有幾個(gè)步驟？答(1)實(shí)驗(yàn)、觀察：列舉幾個(gè)特別的例子，并推演出相應(yīng)的結(jié)論(2)概括、推廣：分析上述實(shí)驗(yàn)的共性，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，找出通性(3)猜測一般性結(jié)論：由上述概括出的通性，推廣出一般情形下的結(jié)論，此結(jié)論就涵蓋所有特例的結(jié)論思考2歸納推理的結(jié)論是否正確？它在數(shù)學(xué)活動中有什么作用？答歸納推理的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論不一定正確；它可以為數(shù)學(xué)活動的結(jié)論提供目標(biāo)和方向例1已知數(shù)列的前4項(xiàng)為，1，試寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式解把已知4項(xiàng)改寫為，記此數(shù)列的第n項(xiàng)為an，則有a1；a2；a3，a4，.據(jù)此猜測an.反思與感悟運(yùn)用歸納推理猜測一般結(jié)論

3、，關(guān)鍵在于挖掘事物的變化規(guī)律和相互關(guān)系，可以對式子或命題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，使其中的規(guī)律明晰化跟蹤訓(xùn)練1下列各圖均由全等的小等邊三角形組成，觀察規(guī)律，歸納出第n個(gè)圖形中小等邊三角形的個(gè)數(shù)為_答案n2解析前4個(gè)圖中小三角形個(gè)數(shù)分別為1,4,9,16.猜測：第n個(gè)圖形中小等邊三角形的個(gè)數(shù)為n2.探究點(diǎn)二運(yùn)用類比推理探求結(jié)論思考1在數(shù)學(xué)活動中，類比推理一般有幾個(gè)步驟？答(1)觀察、比較：對比兩類對象，挖掘它們之間的相似(同)點(diǎn)和不同點(diǎn)(2)聯(lián)想、類推：提煉出兩類對象的本質(zhì)的共同的屬性，并根據(jù)一類對象所具有的性質(zhì)推測另一類對象也具有某種類似的性質(zhì)(3)猜測新的結(jié)論：把猜測的某種結(jié)論用相關(guān)語言確切地表述出來思

4、考2類比推理的結(jié)論是否一定正確？答從類比推理的思維過程可以看出：類比的前提是觀察、比較和聯(lián)想，其結(jié)論只是一種直覺的、經(jīng)驗(yàn)式的推測，它還只是一種猜想，結(jié)論的正確與否，有待于進(jìn)一步論證例2RtABC中，C90°，CDAB于D，則BC2BD·BA.(如圖甲)類比這一定理，在三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐PABC(如圖乙)中，可得到什么結(jié)論？解如圖在三棱錐PABC中，作PO平面ABC，連結(jié)OB、OC猜想下列結(jié)論：SSOBC·SABC.證明：連結(jié)AO，并延長交BC于D，連結(jié)PD.PAPB，PAPCPA平面PBC.PD平面PBC，BC平面PBC，PAPD，PABC.PO平面ABC，

5、AD平面ABC，BC平面ABC，POAD，POBC.BC平面PAD.BCAD，BCPD.S2BC2·PD2SOBC·SABCBC·OD·BC·ADBC2·OD·AD.PD2OD·AD，SSOBC·SABC.反思與感悟在類比推理中，要提煉兩類事物的共同屬性一般而言，提煉的共同屬性越本質(zhì)，則猜想的結(jié)論越可靠跟蹤訓(xùn)練2如圖，設(shè)ABC中，BCa，ACb，ABc，BC邊上的高ADh.扇形A1B1C1中，l，半徑為R，ABC的面積可通過下列公式計(jì)算：(1)Sah；(2)SbcsinBAC.運(yùn)用類比的方法，猜想扇形A1

6、B1C1的面積公式，并指出其真假(1)_；(2)_答案(1)SlR真命題(2)SR2sin A1假命題探究點(diǎn)三運(yùn)用演繹推理證明結(jié)論的正確性思考1合情推理與演繹推理有何異同之處？答合情推理是從特殊到一般，思維開放，富于創(chuàng)造性，但結(jié)論不一定正確，是一種或然推理演繹推理是從一般到特殊，思維收斂，較少創(chuàng)造性，當(dāng)前提和推理形式都正確時(shí)，結(jié)論一定正確，是一種必然推理合情推理為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，而演繹推理又論證了合情推理結(jié)論的正誤，二者相輔相成，相互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進(jìn)程思考2應(yīng)用三段論推理時(shí)，一定要嚴(yán)格按三段論格式書寫嗎？答在實(shí)際應(yīng)用三段論推理時(shí)，常常采用省略大前提或小前提的表述方式前一個(gè)

7、三段論的結(jié)論往往作為下一個(gè)三段論的前提例3在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)求證數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(3)求證不等式Sn14Sn恒成立(nN*)(1)證明由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.4 (nN*)數(shù)列ann是以a11，即211為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可知ann4n1，ann4n1.Sna1a2an(140)(241)(n4n1)(12n)(144n1)·4n.(3)證明由(2)知，Sn14Sn·4n142n(n1)10，Sn14Sn恒成立(nN*)反思與感悟演繹推理的

8、一般形式是三段論，證題時(shí)要明確三段論的大前提、小前提和結(jié)論，寫步驟時(shí)常省略大前提或小前提跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)對任意的x，yR都有f(xy)f(x)f(y)求證：f(x)是奇函數(shù)證明對任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)當(dāng)xy0時(shí)，f(0)2f(0)，f(0)0.又令yx，則f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)1一個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)到第4項(xiàng)分別是3，據(jù)此可以猜想這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是_答案解析a2，a3，a4，猜想a1.2在平面中，圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形運(yùn)用類比，可猜想在空間有如下命題：_.答案球內(nèi)接平行六面體一定是長方體3設(shè)xi>0 (iN*)，有下列不

9、等式成立，x1x22；x1x2x33，類比上述結(jié)論，對于n個(gè)正數(shù)x1，x2，xn，猜想有下述結(jié)論_答案x1x2xnn4已知a、bN*，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，則_.答案4 024解析令b1，則f(a1)f(a)f(1)，f(1)2.2222×2 0124 024.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1數(shù)學(xué)活動中，合情推理和演繹推理相輔相成，共同推動發(fā)現(xiàn)活動的進(jìn)程2合情推理中要對已有事實(shí)進(jìn)行分析，作出猜想，猜想的結(jié)論為演繹推理提供了目標(biāo)和方向.一、基礎(chǔ)過關(guān)1有兩種花色的正六邊形地板磚，按下面的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第6個(gè)圖案中有底紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是_答案31解析有底紋的正六邊形的個(gè)數(shù)組成等

10、差數(shù)列a16，d5，a66(61)×531.2觀察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2,1>，由此猜測第n個(gè)等式為_(nN*)答案1>3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn21.則此數(shù)列的前4項(xiàng)分別為a1_，a2_，a3_，a4_.據(jù)此猜測，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.答案23574正方形ABCD中，對角線ACBD.運(yùn)用類比的方法，猜想正方體ABCDA1B1C1D1中，相關(guān)結(jié)論：_.答案對角面AA1C1CBB1D1D5如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，那么f(0)0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)0.這段演繹推理錯誤的原因是_答案大前提錯誤6已

11、知ABC中，ADBC于D，三邊是a，b，c，則有accos Bbcos C；類比上述推理結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面積分別是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度數(shù)分別是，則S_.答案S1cos S2cos S3cos 7已知等式：(tan 5°1)(tan 40°1)2；(tan 15°1)(tan 30°1)2；(tan 25°1)(tan 20°1)2；據(jù)此可猜想出一個(gè)一般性命題：_.答案(tan 1)tan(45°)12二、能力提升8仔細(xì)觀察下

12、面和的排列規(guī)律： 若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的和，那么在前120個(gè)和中，的個(gè)數(shù)是_答案14解析進(jìn)行分組|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.9設(shè)M是具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：對于任意s>0，t>0，都有f(s)f(t)<f(st)給出函數(shù)f1(x)log2x，f2(x)2x1.下列判斷正確的是_f1(x)M；f1(x)M；f2(x)M；f2(x)M.答案解析對于f1(x)log2x；log22log24>log2(24)，所以f1(x)M.對于f2(x)2x1：2s12t1(2st1)(2s1)(

13、2t1)<0，f2(x)M.10已知命題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC的頂點(diǎn)A(p,0)和C(p,0)，頂點(diǎn)B在橢圓1 (m>n>0，p)上，橢圓的離心率是e，則.將該命題類比到雙曲線中，給出一個(gè)命題：_.答案平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC的頂點(diǎn)A(p,0)和C(p,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線1 (m，n>0，p)上，雙曲線的離心率為e，則11已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an>0，則數(shù)列bn(nN*)也是等比數(shù)列”類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論解類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn

14、也是等差數(shù)列證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則bna1(n1)，所以數(shù)列bn是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列12在平面中有命題：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高把此結(jié)論類比到空間的正三棱錐，猜想并證明相關(guān)結(jié)論解猜想結(jié)論：正三棱錐底面上任一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離之和等于以側(cè)面為底時(shí)三棱錐的高證明如下：設(shè)P為正三棱錐ABCD底面上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ABC、ACD、ABD的距離分別為h1、h2、h3，以側(cè)面ABC為底時(shí)對應(yīng)的高為h，則：VPABCVPACDVPABDVDABC.即：SABC·h1SACD·h2SABD·h3SABC·h.SABCSACDSABDh1h2h3h，此即要證的結(jié)論三、探究與拓展13記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，給出兩個(gè)數(shù)列：()5,3,1，1，3，5，7，()14，10，6，2,2,6,10,14,18，(1)對于數(shù)列()，計(jì)算S1，S2，S4，S5；對于數(shù)列()，計(jì)算S1，S3，S5，S7；(2)根據(jù)上述結(jié)果，對于