簡單的軸對稱及利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計(基礎(chǔ))—知識講解

1、簡單的軸對稱及利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解軸對稱變換，能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)軸對稱后的圖形；能利用軸對稱變換，設(shè)計一些圖案，解決簡單的實際問題2 .探索等腰三角形的性質(zhì)定理以及判定定理，能熟練運用它們進(jìn)行推理和計算.3 .會作線段的垂直平分線和角的平分線，探索線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理與判定定理，能用它們解決幾何計算與證明題4積累探究圖形性質(zhì)的活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念，同時能運用軸對稱的性質(zhì)，解決簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題，提高分析問題和解決問題的能力.【要點梳理】要點一、作軸對稱圖形和對稱軸1做軸對稱圖形可以根據(jù)兩個圖形成軸對稱的性質(zhì)，先確定圖形關(guān)鍵點關(guān)于已知

2、直線的對稱點，然后依順序連接點即可得已知圖形關(guān)系直線的對稱圖形要點詮釋：已知一點和直線確定其對稱點的作法如下：過這一點作已知直線的垂線，得垂線段，再以垂足為起點，在直線的另一旁截取一點，使這條線段的長與垂線段等長，截取的這點就是已知點關(guān)于直線的對稱點2.對稱軸的作法若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.因此只要找到一對對應(yīng)點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸.軸對稱圖形的對稱軸作法相同.要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個

3、圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱要點二、等腰三角形的性質(zhì)及判定1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角“）.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.要點詮釋：（1）性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù).（2）性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.（3）等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸.4 .等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“

4、等角對等邊“）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理要點三、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理線段垂直平分線（也稱中垂線）的性質(zhì)定理是：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點詮釋：性質(zhì)定理的前提條件是線段已經(jīng)有了中垂線，從而可以得到線段相等；逆定理則是在結(jié)論中確定線段被垂直平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個定理時不要混淆了要點四、角平分線性質(zhì)定理及其逆定理角平分線性質(zhì)定理是：角平分線上的任

5、意一點，到角兩邊的距離相等；逆定理：在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角平分線上要點詮釋：性質(zhì)定理的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；逆定理則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個定理時不要混淆了要點五、利用軸對稱性質(zhì)進(jìn)行簡單設(shè)計欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，能利用軸對稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計，體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用和豐富的文化價值，感受生活中的數(shù)學(xué)美【典型例題】類型一、作軸對稱圖形及對稱軸1、已知如下圖，求作ABC關(guān)于對稱軸I的軸對稱圖形A'B'C'.BI【思路點撥】分別作出點B與點C關(guān)于直線I的對稱點，然后連接力8,AC,B'

6、C.即可得到ABC關(guān)于對稱軸I的軸對稱圖形A&C【答案與解析】解：【總結(jié)升華】作一個圖形的對稱圖形就是作各個頂點關(guān)于對稱軸的對稱點，把作對稱圖形的問題可以轉(zhuǎn)化為作點的對稱點的問題.02、畫出如圖中的各圖的對稱軸.Aoo連接對稱圖形的兩個對應(yīng)【思路點撥】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，找到圖形中的一組對應(yīng)點，點，作這個線段的垂直平分線就是這個圖形的對稱軸.【答案與解析】解：如圖所示：對稱軸是任【總結(jié)升華】本題考查了對稱軸的畫法.解答此題要明確對稱軸所具有的性質(zhì)：意一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.舉一反三：【變式】在下圖中，畫出ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形.【答案】/A'B'C

7、9;為所求類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定3、（2015秋？廣西期末）已知：如圖所示，在/ABC中，AB=AD=DC，/BAD=26°求/B和/C的度數(shù).【思路點撥】由題意，在/ABC中，AB=AD=DC，/BAD=26。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角/C.【答案與解析】解:在ABC中，AB=AD=DC,/AB=AD，在三角形ABD中，/B=/ADB=(180°-26°Q=77°2又-AD=DC，在三角形ADC中，上0=U=77。=38.5°【總結(jié)升華】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等腰三角形兩底角相等

8、，還考查了三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系.利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法，要熟練掌握.舉一反三：【變式】如圖，已知人。是AABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE二EF.求證：AOBF.【答案】證明：延長AD至點G使DG= AD,連接BG.VAD為中線，二BD=CD.在AACD和ZaGBD中，AD二DG,ADC二GDB,CD=BD,ACD©AGBD(SAS).二BG=AC,G=CAD.vAE=EF,CAD"AFE.又vBFD“AFE,G=BFD.二BF二BG=AC.類型三、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理C4、如圖，乙ABC中，/BAC=110&#

9、176;DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足.（1）求/DAF的度數(shù)；（2）如果BC=10cm，求DAF的周長.BDFC【思路點撥】1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求/B+/C;根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，DA=BD,FA=FC，則/EAD=/B,/FAC=/C,得出/DAF=/BAG/EAD/FAC=110°（/B+/C）求出即可.（2）由（1）中得出，AD=BD,AF=FC，即可得出ZDAF的周長為BD+FC+DF=BC，即可得出答案.【答案與解析】解：（1）設(shè)/B=x»/C=y. ,/BAC+/B+/C=180 110°+/B+/C=180°

10、 x+y=70° AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G,DA=BD,FA=FC, ,/EAD=/B，/FAC=/C. /DAF=/BAG-（x+y）=110°-70°=40>（2）TAB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G,DA=BD,FA=FC, DAF的周長為：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）.【總結(jié)升華】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì).注意掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用.舉一反三【變式】（2015?徐州）如圖，在

11、/ABC中，/C=31°/ABC的平分線BD交AC于點D,如果DE垂直平分BC,那么/A=【答案】87.解：在/ABC中»/C=31/ABC的平分線BD交AC于點D, /DBE=/ABC=(180°-31°-/A)=(149./A),222 /DE垂直平分BC,BD=DC,/DBE=/C,/DBE=Ji/ABC=±(149°-±A)=ZC=31°,22/A=87°故答案為：87.5、如圖，ABC中，/ACB=90,AD平分/BAGDELAB于E.求證：直線AD是線段CE的垂直平分線.【思路點撥】由于DEL

12、AB易得/AED=90=ZACB而AD平分/BAC易知/DAE八DAC又因為AD=AD利用AAS可證AEDAAACD那么AE=AC而AD平分/BAC利用等腰三角形三線合一定理可知ADLCE即得證.【答案與解析】證明：DELAB /AED=90=ZACB又*AD平分/BAC /DAEMDAC /AD=AD AEDAAACDAE=AC/AD平分/BAC ADLCE即直線AD是線段CE的垂直平分線.【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理，解題的關(guān)鍵是證明AE=AC舉一反三【變式】如圖，已知ABC求作一點P,使P到/A的兩邊的距離相等，且PA=PB下列

13、確定P點的方法正確的是（）A. P是/A與/B兩角平分線的交點B. P為/A的角平分線與AB的垂直平分線的交點C. P為ACAB兩邊上的高的交點D. P為ACAB兩邊的垂直平分線的交點【答案】B;類型四、角平分線性質(zhì)定理及其逆定理CA6、如圖，ABC的角平分線BMCN相交于0.求證：點0到三邊ABBCCA的距離相等.【思路點撥】作ODOEOF分別垂直于三邊ABBCCADE、F為垂足，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得OD=OEOF=OE-OD=OEOF.【答案與解析】證明：作ODOEOF分別垂直于三邊ABBCCADE、F為垂足，BMmABC的角平分線，ODLABOELBCOD=O（角平分線上的點到這個角兩邊

14、的距離相等）同理可證：OF=OEOD=OE=OF即點O到三邊ABBCCA的距離相等.【總結(jié)升華】此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.正確作出輔助線是解答本題的笑鍵.舉一反三【變式】如圖：ABC的兩個外角平分線交于點P,則下列結(jié)論正確的是（）PA=PCBP平分/ABCP至UAB,BC的距離相等BP平分/APCA.B.C.D.【答案】C;7、已知如圖：ADBE是aABC的兩條角平分線，相交于P點求證：P點在/C的平分線上.【思路點撥】首先過點P作PMLABPNLBCPQLAC垂足分別為MNQ然后證明PQ=PN即可.【答案與解析】證明：如圖，過點P作PM_LAB，PNLBC，PQLAC，垂足分別為M、N、Q, /P在/BAG的平分線AD上， PM=PQ,P在/ABC的平分線BE上， PM=PN,PQ=PN,點P在/C的平分線上.【總結(jié)升華】本題主要考查了角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì).用此性質(zhì)證