一次函數(shù)恒過點(diǎn)問題

1、一次函數(shù)恒過點(diǎn)問題1.假設(shè)(2k-1)x-(k-3)y-(k-4)=0是y關(guān)于x的一次函數(shù).(1)求k的取值范圍；(2)在k滿足第(1)問的前提下,試證實(shí)：不管k為何值,此一次函數(shù)恒過一定點(diǎn),并求此定點(diǎn)的坐標(biāo).A,3 .(2021?浙江自主招生)假設(shè)二次函數(shù)y=x2-(2b+2)x+b2+2b的圖象與x軸交于B兩點(diǎn),一次函數(shù)y=ax+2(a+1)的圖象恒過定點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及|AB|的值；(2)假設(shè)ABC為等腰三角形,求b的值.(x>0)4 .(2021?黃石模擬)：直線11：y=-x+n過點(diǎn)A(-1,3),雙曲線Cy=-過點(diǎn)B(1,2),動(dòng)直線12：y=kx-2k+2(常數(shù)k&

2、lt;0)恒過定點(diǎn)F.(1)求直線1i,雙曲線C的解析式,定點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)在雙曲線C上取一點(diǎn)P(x,y),過P作x軸的平行線交直線1i于M,連接PF.求證：PF=PM.5 .(2021?武漢模擬)拋物線y=x2+(2m-1)x-2m(m>0.5)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一4.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,D為拋物線上的一點(diǎn),BD平分四邊形ABCD的面積,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2,平移拋物線y=x2+(2m-1)x-2m,使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-2上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作兩條直線,分別與拋物線有唯一的公共點(diǎn)E、F(

3、直線PE、PF不與y軸平行),求證：直線EF恒過某一定點(diǎn).卸6 .在平面直角坐標(biāo)系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根,比方對(duì)于方程x2-5x+2=0,操作步驟是：第一步：根據(jù)方程系數(shù)特征,確定一對(duì)固定點(diǎn)A(0,1),B(5,2);第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板,使一條直角邊恒過點(diǎn)A,另一條直角邊恒過點(diǎn)B;x軸上點(diǎn)C處時(shí),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)mx軸上另一點(diǎn)D處時(shí),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)第三步：在移動(dòng)過程中,當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖1);第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置,當(dāng)它落在為n即為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根；(1)在圖2中,根據(jù)“第四步的操作方法作出點(diǎn)D(請保存作出點(diǎn)D

4、時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕跡)；(2)結(jié)合圖1,請證實(shí)“第三步操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根.7 .以滿足|x|+|y|=1的所有的對(duì)數(shù)(x,y)為坐標(biāo)原點(diǎn),構(gòu)成了一個(gè)正方形MNPQ(如圖所示),這個(gè)正方形被直線l：y=ax-a-1分成了兩局部.(1)求證：無論a為何值,直線l恒過點(diǎn)A,求A點(diǎn)的坐標(biāo),并用a表示l與MQ的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)a在什么范圍時(shí),l分別與MN,PN,PQ有交點(diǎn)(只要求結(jié)論)；(3)當(dāng)l與PN交于D點(diǎn)時(shí),設(shè)四邊形CMND的面積為S,求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.8 .定義：假設(shè)直線(不與y軸平行)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),那么稱該直線為物線的切線,其公共點(diǎn)

5、稱為切點(diǎn).點(diǎn)P是直線l:y=-1上一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線y=x2的切線.4(1)假設(shè)P的橫坐標(biāo)為0,求切線的函數(shù)解析式.(2)求證：過直線l上任意給定的一點(diǎn)P,都存在兩條拋物線的切線.(3)設(shè)(2)中的兩個(gè)切點(diǎn)分別為M,N.問：直線MN是否恒過某一定點(diǎn)？假設(shè)是,求該定點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不是,說明理由.【解答】解：(1)(2k-1)x-(k-3)y-(k-4)=0,2k-1v_k-4k-3k3,至,解得kw1且H3;k-302(2).原式可化為(1二=57y=T2x-y-1)k+(4-x+3y)=0,f2i£-y-l=0解得I.4-x+3y=0.此函數(shù)恒過定點(diǎn)(-【解答】解：一次函數(shù)y=(2-

6、k)x+3k可化為y=2x-(x-3)k,一次函數(shù)與k無關(guān),.x-3=0,即x=3,當(dāng)x=3時(shí),y=6,:一次函數(shù)y=(2-k)x+3k恒過點(diǎn)(3,6).故答案為：(3,6).【解答】解：(1);二次函數(shù)y=x2-(2b+2)x+b2+2b的圖象與x軸交于A,B兩占八、,"0=x2-(2b+2)x+b2+2b=(x-b)(x-b-2)xi=b,x2=b+2,/.|AB|=|b-(b+2)|=2,.一次函數(shù)y=ax+2(a+1)的圖象恒過定點(diǎn)C.y=(x+2)a+2.當(dāng)x=-2時(shí),y=-2a+2a+2=2,:點(diǎn)C(-2,2);(2)假設(shè)點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)為(b,0),(b+2,0),.AB

7、C為等腰三角形,CA=AB=2或CB=AB=2或CA=CB,假設(shè)CA=AB=2,CA2=AB2=4WJ(-2-b)2+(2-0)2=4,解得b=-2,假設(shè)CB=AB=2,CB2=AB2=4那么(-2-b-2)2+(2-0)2=4,解得b=-4,假設(shè)CA=CB,ca2=cb2,那么(2b)2+(2-0)2=(-2-b-2)2+(2-0)2,解得b=3,b=-2或-4或-3.【解答】解：(1).直線直線11：y=-x+n過點(diǎn)A(-1,3),_(-1)+n=3,解得：n=2,直線"的解析式為y=-x+2;雙曲線C:y=B(x>0)過點(diǎn)B(1,2),x.亞=2,1解得：m=2,即雙曲線

8、C的解析式為：y=2,x動(dòng)直線動(dòng)直線12：y=kx-2k+2=(k-2)x+2,：不管k為任何負(fù)數(shù)時(shí),當(dāng)*=2時(shí),那么丫=2,即動(dòng)直線12：y=kx-2k+2恒過定點(diǎn)F(2,2);(2)如圖1,在雙曲線C上任取一點(diǎn)P(x,y),過P作x軸的平行線交直線li于M(xo,y),連結(jié)PF.貝UPF=x-xo,又M(xo,y)在直線11±,xo+2=y,xo=2-y=2,2PM=x+互-2,>2/2-2>0)PM=PF;【解答】解：(1),y=x2+(2m-1)x-2m=(x+m-0.5)2-m2-m-0.25,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0.5-m,-m2-m-0.25)最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4,

9、-m2-m_0.25=-4,即4m2+4m_15=0,m=1.5或-2.5,m>0.5,m=1.5.拋物線的解析式為y=x2+2x-3;(2)ynK+Zx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).如圖1,連AC交BD于巳過A作AMLBD于M,過C作CNLBD于N,BD平分四邊形ABCD的面積,SaaBD=S/LCBD,BDxAM=BDxCN,22AM=CN,且/AEM=ZCMN,ZAME=ZCNE=90.AEMACEN(AAS),AE=CE,E(1.5,1.5),且B(1,0),直線BE的解析式為y=0.6x-0.6.1-

10、0.6x-0.6=x2+2x-3,解得xi=-工x2=1,5D(-處,-,525(3)由題意可得平移后解析式為y=x2,設(shè)E(t,t2),F(n,n2),設(shè)直線PE為y=k1(x-t)+t2,由題意可得x2-k1x+k1t-t2=0,=k/-4(k1tt2)=(k12t)2=0,1-k1=2t.直線PE為y=2t(xt)+t2,即y=2tx-t2.人/口t2-2令y=-2,得xp=,2t同理,設(shè)直線PF為y=k2(x-n)+n2,twn,tn=-2.設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b,得x2-kx-b=0,xE?xF=-b,即tn=-b,b=2.直線£5為丫=卜*+2,過定點(diǎn)0,2【解

11、答】解：1點(diǎn)D如下圖.2如圖1中,作BD,x軸于D.Si /AOC=ZACB=ZCDB=90°, .ZACO+ZBCD=90°,/BCD+/CBD=90 ./ACO=/CBD,ACOACBD,-A0_0d.CDBD=5-m2整理得：m2-5m+2=0,.m是方程x2-5x+2=0的實(shí)數(shù)根.【解答】解：(1)y=ax-a1=a(x1)1,不管a取何值,當(dāng)x=1時(shí),y=-1,那么一定過點(diǎn)1,-1設(shè)MQ的解析式是y=kx+b,貝UJ°一一1Ik十b=0解得：L:那么MQ的解析式是y=x-1.根據(jù)題意得：F"nT:y=5£-l那么c的坐標(biāo)是一,一；a-

12、la-l(2)當(dāng)y=ax-a-1經(jīng)過點(diǎn)M(1,0)時(shí),a-a-1=0,不成立,當(dāng)丫=2*-a-1經(jīng)過點(diǎn)N0,1時(shí),-a-1=1,解得：a=-2,當(dāng)丫=2*a1經(jīng)過點(diǎn)1,0時(shí),aa1=0,解得：a=一白,當(dāng)丫=2*-a-1經(jīng)過點(diǎn)0,-1時(shí),a-1=-1,解得a=0.那么直線于MN有交點(diǎn)時(shí),-2vav0,當(dāng)直線與PN有交點(diǎn)時(shí),-2Wav-1；2當(dāng)直線與PQ有交點(diǎn)時(shí)-<a<0;23設(shè)直線PN的解析式是y=mx+n,根據(jù)題意得:三Qtn=l解得:mEn-1那么直線PN的解析式是y=x+1.nrtIy=az-a-l那么,1卜普解得：,隔那么D的坐標(biāo)是曳±2,2Ala-1a-1那么D

13、N=卜+2四+L工V良.1'丁1a-1CNW1告那么S=DN+CN?MN=/xV【解答】解：1點(diǎn)P0,1將直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立并整=k2-1=0,解得：k=±1,石?|:|=答,l-a1-a叼xM/2+返城第1-a1-al-a11-a,設(shè)過點(diǎn)P的直線表達(dá)式為：y=kx-1,理得：x2-kx+1=0,4故切線的函數(shù)解析式為：y=x-1或y=x+1;(2)設(shè)點(diǎn)P(m,-1),同理可得過點(diǎn)P的直線表達(dá)式為：y=kx-1-km,將直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立并整理得：Lx2-kx+1+km=0,=卜2-1-km=0,'=m2+4>0,故存在兩個(gè)k值,故過直線l上

14、任意給定的一點(diǎn)P,都存在兩條拋物線的切線;(3)二點(diǎn)M、點(diǎn)N為拋物線y=Lx2上的點(diǎn),設(shè)M(2a,a2),N(2b,b2),設(shè)直線PM的解析式為y=kx+n,.直線PM過點(diǎn)M,.a2=2ak+n,.n=a2-2ak,直線PM的解析式為y=kx2ak+a2,即y=k(x2a)+a2,(y-k0-2a)整理得x2-4kx+8ak-a2=0,直線PM(不與y軸平行)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),=16k24(8aka2)=0,解得k=a,.直線PM為y=ax-a2,同理證得直線PN為：y=bx-b2,nfc-b2把P(m,-2)分別代入直線PM和直線PN的解析式得1m解得m=a-b=-L,ab=_2,ab設(shè)直線MN的解析式為y=mx+k,M(2a,aQ(m,n)是直線L上的點(diǎn),1-2m-1=n,即2m-n=1,二原式=(1+3)2=16.故直線MN恒過(0,1)點(diǎn).),N(2b,b2),2-2a"k二/,?7、2bm匕,直線MN的解析式