高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第16講)等比數(shù)列

1、題目 第三章數(shù)列等比數(shù)列高考要求 理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡單的實(shí)際問題.知識點(diǎn)歸納 1等比數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（）2等比中項(xiàng)：如果在與之間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)也就是，如果是的等比中項(xiàng)，那么，即3等比數(shù)列的判定方法：定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列 等比中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列4等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為或著5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和： 當(dāng)時，

2、當(dāng)時，前n項(xiàng)和必須具備形式6等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有 對于等比數(shù)列，若，則也就是：如圖所示：若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么只有當(dāng)公比且k為偶數(shù)時,，不成等比數(shù)列如下圖所示：題型講解 例1等比數(shù)列中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且，求解：設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為q，則另法：， 將兩式相加得 又因?yàn)閿?shù)列中，各項(xiàng)均為正數(shù)，所以7.例2一個等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列；如果再把這個等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列解：設(shè)所求的等比數(shù)列為a ,aq ,aq2,則

3、2(aq+4)=a+aq2 且(aq+4)2=a(aq2+32) 解得a=2 ，q=3 或a=，q=-5故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，-，例3設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q解：設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn依題意設(shè)：a10，Sn=80 ，S2n=6560 S2n2Sn , q1從而 =80且=6560兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81a1=q-10 即q1,從而等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)a1qn-1=54,從而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54 qn-1=81-5

4、4=27 q=3 a1=q-1=2故此數(shù)列的首為2，公比為3例4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+1,求a1+a3+a2n-1 .解：當(dāng)n=1時，a1=s1=a1+1即a1=； 當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=an-an-1 即數(shù)列an是以為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列an=(-)n-1 ,a2n-1=(-)2n-2=()n-1a1+a3+a2n-1=例5 在和之間插入n個正數(shù)，使這個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個數(shù)之積；解法1：設(shè)插入的n個數(shù)為，且公比為q則解法2：設(shè)插入的n個數(shù)為，說明：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單

5、、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到；例6設(shè)數(shù)列an前n的項(xiàng)和為 Sn，且其中m為常數(shù)， （1）求證：an是等比數(shù)列； （2）若數(shù)列an的公比滿足q=f(m)且為等差數(shù)列，并求解：（1）由，得兩式相減，得 是等比數(shù)列 點(diǎn)評：為了求數(shù)列的通項(xiàng)，用取倒數(shù)的技巧，得出數(shù)列的遞推公式，從而將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題例7設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若是首項(xiàng)為S1各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用S1和q表示）； （）試比較的大小，并證明你的結(jié)論.解：（）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，當(dāng)n=1時，a1=S1； 當(dāng)（）當(dāng)n=

6、1時， 當(dāng)q=1時，當(dāng)當(dāng)綜上可知：當(dāng)n=1時，當(dāng)若 若點(diǎn)評數(shù)列與比較大小的綜合是高考命題的一個老話題，我們可以找到較好的高考真題本題求解當(dāng)中用到與之間的關(guān)系式：例8 從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入資金800萬元，以后每年投入資金比上年減少本年度當(dāng)?shù)芈糜萎a(chǎn)業(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元寫出an、bn的表達(dá)式；()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解：()第1年投入800萬元，第2年投入800(1

7、-)萬元，第n年投入800(1-)n-1萬元 所以總投入為an=800+800(1-)+800(1-)n-1=40001-()n第1年的收入400萬元，第2的收入400(1+)萬元，第n年的收入為400(1+)n-1萬元所以總收入bn=400+400(1+)+400(1+)n-1=1600()n-1()要使旅游業(yè)的總收入超過總投入，即bn-an0由()得1600()n-1-4001-()n0化簡得，5()n+2()n-70設(shè)x=()n，則5x2-7x+20 x或x1(舍) 即()n，故n5故至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入說明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識，考

8、查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答小結(jié)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式涉及五個基本量：a1、q、n、an、Sn，“知三求二”是最基本的運(yùn)算，用待定系數(shù)法建立方程是重要的處理策略學(xué)生練習(xí) 1數(shù)列1，37，314，321，中，398是這個數(shù)列的（ ）（A）第13項(xiàng) （B）第14項(xiàng) （C）第15項(xiàng) （D）不在此數(shù)列中2在公比q1的等比數(shù)列an中

9、，若am=p,則am+n的值為（ ）（A）pqn+1 （B）pqn-1 （C）pqn （D）pqm+n-13.若數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為q，則下列命題中是真命題的是（ ）（A）若q1,則an+1an （B）若0q1,則an+1an（C）若q=1,則sn+1=Sn （D）若-1q0,b0,a在a與b之間插入n個正數(shù)x1,x2,xn，使a,x1,x2,xn,b成等比數(shù)列，則= 24在正數(shù)項(xiàng)列an中，a2n+3=an+1,an+5,且a3=2,a11=8,則a7= 25已知首項(xiàng)為，公比為q(q0)的等比數(shù)列的第m,n,k項(xiàng)順次為M，N，K，則(n-k)logM+(k-m)logN+(m-n)log

10、K= 26若數(shù)列an為等比數(shù)列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的兩根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,則實(shí)數(shù)k= 27若2，a,b,c,d,18六個數(shù)成等比數(shù)列，則log9= 28.2+(2+22)+(2+22+23)+（2+22+23+210）= 29數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足loga(Sn+a)=n+1(a0,a1),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 30某工廠在某年度之初借款A(yù)元，從該年度末開始，每年度償還一定的金額，恰在n年內(nèi)還清，年利率為r,則每次償還的金額為 元31.已知等比數(shù)列an，公比為-2，它的第n項(xiàng)為48，第2n-3項(xiàng)為192，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式32.數(shù)列an是正項(xiàng)等比數(shù)

11、列，它的前n項(xiàng)和為80，其中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，前2n項(xiàng)的和為6560，求它的前100項(xiàng)的和33.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比數(shù)列，且公比為q,求證：（1）q3+ q 2+q=1,（2）q=34.已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=-,從第二項(xiàng)起，an是以為公比的等比數(shù)列，an的前n項(xiàng)和為Sn，試問：S1,S2,S3,Sn,能否構(gòu)成等比數(shù)列？為什么？35.求Sn=(x+)+(x2+)+(xn+)(y)36.某企業(yè)年初有資金1000萬元，如果該企業(yè)經(jīng)過生產(chǎn)經(jīng)營，每年資金增長率為50%，但每年年底都要扣除消費(fèi)基金x萬元，余下資金投入再生產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過五年，資金達(dá)到2000萬

12、元（扣除消費(fèi)基金后），那么每年扣除的消費(fèi)資金應(yīng)是多少萬元（精確到萬元）37.陳老師購買安居工程集資房7m2,單價為1000/ m2，一次性國家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個人負(fù)擔(dān)，房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實(shí)行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個人負(fù)擔(dān)的購房余款的現(xiàn)價以及這個余款現(xiàn)價到最后一次付款時所生利息之和，每期為一年，等額付款，簽訂購房合同后一年付款一次，再過一年又付款一次等等，若付10次，10年后付清如果按年利率的7.5%每年復(fù)利一次計(jì)算(即本年利息計(jì)入次年的本金生息),那么每年應(yīng)付款多少元?(參考數(shù)據(jù):1.0759 1.92

13、1,1.075102.065,1.075112.221) 參考答案：題號12345678910答案CCDACABDCA題號11121314151617181920答案DBDACBABDB13若q=1,Sn=na1 若q=-1,Sn=當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=014.a4 a5 a6=4, a5=log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1a2a8a9)=log3a45=4log33=18.an+1+2=2(an+1) , an+2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an+2=42n-1=2n+1 an=2n+1-220a1an=a2an-1=a3an-2=ana1 21.1

14、22.50，10，2或2,10,50 23. 24.4 25.0 26.9 a3+a9=-a3a9=a5a7=- (-)2=3+2 k=927.- 28.212-24 29.an=(a-1)an 30.31 解得a1=3 an=a1qn-1=3(-2)n-1 32 S2nSn, q1 /,得qn=81 q1,故前n項(xiàng)中an最大代入，得a1=q-1又由an=a1qn-1=54,得81a1=54q a1=2,q=3 S100=33（1）q3+q2+q=(2)q=由合分比定理，可得q=34.當(dāng)n2時，an=a2qn-2=-()n-2=-()n-1 an= 當(dāng)n=1時，S1=a1=1當(dāng)n2時，Sn=a1+a2+an=1-()2-()n-1=1-+()2+()n-1=1-Sn=()n-1 Sn可以構(gòu)成等比數(shù)列35.當(dāng)x1,y1時，Sn=(x+x2+xn)+(+)=當(dāng)x=1,y1時 Sn=n+當(dāng)x1,y=1時 Sn=當(dāng)x=y=1時 Sn=2n36.設(shè)an表示第n年年底扣除消費(fèi)基金后的資金a1=1000(1+)-xa2=1000(1+)-x(1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-xa3=1000(1+)2-x(1+)-x(1+)-x=1000(1+)3-x(1+)2-x(1+)-x類推所得a5=1000(1+)5-x(1+)4-x(1+)3-x(1+)2-