重點(diǎn)高中空間立體幾何典型例題

1、重點(diǎn)高中空間立體幾何典型例 題作者:日期:1如下圖，正方體ABCABGD中，側(cè)面對(duì)角線AB, BG上分別有兩點(diǎn)E, F,且BiE=CiF.求證：EF/平面ABCD證明 方法一 分別過(guò)E, F作EML AB于M FN丄BC于 N,連接MNv BB丄平面ABCD BB丄AB BB丄 BC EM/ BB, FN/ BB, EM/ FN又 v BE二CF, EM=FN故四邊形MNFE平行四邊形，二EF/ MN又MN平面ABCD EF平面ABCD所以EF/平面ABCD方法二過(guò)E作EG/ AB交BB于G, 連接GF，那么蕓誥，AlClv BE二GF, BA二GB,CiEC1BBiGB1B FG/ BiC

2、/ BC又 EGH FG=G, ABA BC=B ,平面 EFGI平面 ABCD而EF平面EFG EF/平面 ABCD2PABC所在平面外一點(diǎn)，G、G、G分別是 PAB PCB PAC勺重心.(1) 求證：平面GG2G/平面ABC(2) 求 Sa GG2G3 : Sa ABC(1)證明 如下圖，連接PG、PG、PG并延長(zhǎng)分別與邊AB BGAC交于點(diǎn)D E、F,連接 DE EF FD,貝卩有 PG : PD=2 : 3,PG : PE=2 : 3,二 GG/ DE又GG不在平面ABC內(nèi),GG2 /平面ABC同理GG /平面ABC又因?yàn)镚GQ GG二G,平面GGG/平面ABC解由知器罟=2， GG

3、=3DE又 D鬥AC GGAC同理3=抨，GG=3bc GGGsACAB其相似比為1 : 3, Sa g,g2g3 : Saab(=1 : 9.3如下圖，S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA=SB=SCsga sab上 的高,D E、F分別是AC BC SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明4解 SG/平面DEF證明如下: 方法一連接CG交DE于點(diǎn)H, 如下圖.V DE> ABC的中位線，DE/ AB在厶ACG中D是AC的中點(diǎn)，且 DH/ AG H為CG的中點(diǎn).B尸日是厶SCG的中位線， FH/ SG又SG平面DEF FH平面DEF SG/平面 DEF方法二 vS

4、BC的中位線，二EF/ SBV EF平面SAB SB平面SAB EF/平面 SAB同理可證，DF/平面SAB EFA DF=F ,平面SAB/平面DEF又SG平面SAB SG/平面 DEF.5如下圖，在正方體 ABCABCD中，E、F、G H 分別是 BG CC、CD、AA的中點(diǎn).求證：(1) BF/ HD;(2) EG/平面 BBDD;(3) 平面BDF/平面BDH證明 (1)如下圖，取BB的中點(diǎn)M易證四邊形HMC1是平行四邊形，二HD/ MG.又 v MC/ BF, BF/ HD.(2)取BD的中點(diǎn)Q連接EQ DO,貝卩OE 1DC2又 DG 1DC OE DG,四邊形QEGD是平行四邊形

5、, GE DO又 DO 平面 BBDD,. EG/平面 BBDD(3)由(1)知 DH/ BF,又 BD/ BD, BD、BD 平面 BDF 且 BD Q HD=D,DBH BF=B,a 平面 BDF/ 平面 BDH.GHHD 平面 HBD, BF、6如下圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD勺一個(gè)截面，假設(shè)截面為平行四邊形.求證：AB/平面EFGH CD/平面EFGH假設(shè)AB=4, CD=6,求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.證明 T四邊形EFGH為平行四邊形， EF/ HGv HG 平面 ABD 二 EF/ 平面 ABDv EF平面ABC 平面ABD?平面ABCAB, EF/ AB AB/平

6、面 EFGH同理可證，CD/平面EFGH解 設(shè)EF=x Ov x v 4,由于四邊形EFGH為平行四邊形, CFCBx4那么更=6.BF _ BC CFx一 一.BCBC4從而 FG=6- 3x.2二四邊形EFGH勺周長(zhǎng)I =2&+6-卽=12*.又 Ov xv4,那么有 8v I v 12,二四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是8, 127如下圖，在正方體 ABCABQD中，O為底面ABCD勺中心，P是DD的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平cDB/平面 PAO QB/平面 PAO平面D.BQ/平面PAO8正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE BD上各有

7、一點(diǎn)P、Q且 AF=DQ求證：PQ/平面BCE證明 方法一 如下圖，作PM/ AB交BE于M 作QN/ AB交BC于N,連接MN T正方形ABC併口正方形ABEF有公共邊AB,. AE=BD又: AP=DQ 二 PE=QB又 T PM/ AB/ QN.理空 QN 更 PM QN PM QNAB AE ' DC BD ' AB DC，'.四邊形PMN為平行四邊形，二PQ/ MN又MN平面BCE PQ平面BCE.PQ/平面 BCE方法二 如下圖，連接AQ并延長(zhǎng)交BC于 K,連接EKt AE=BD AP=DQ.PE=BQ.AP = DQPE BQ又t AD/ BK .竺二竺B

8、Q QK由得竺二竺,.PQ/ EK PE QK又PQ平面BCE EK平面BCE.PQ/平面 BCE方法三 如下圖，在平面 ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PM/ BE交AB于點(diǎn)M連接QMv PM/ BE PM 平面 BCE即PM/平面BCE AP = AM PE MB又 v AP=DQ PE=BQ AP DQ. PE BQ由得如=D£，二MQ/ AD,MB BQMQ/ BC 又v MQ平面BCE MQ/平面BCE又v PMT MQM 平面PMQ平面BCEPQ平面PMQPQ/平面BCE8如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直 觀圖，它的正視圖和左視圖在下面畫(huà)出(單位:cm).止

9、視圖左覘圖(1) 在正視圖下面，按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出該多面體的俯視圖(2) 按照給出的尺寸，求該多面體的體積；(3)在所給直觀圖中連接BC ,證明：BC /平面EFG(1)解如圖(1)所示.I視朋圖(1)(2)解所求多面體體積V=V 長(zhǎng)方體-V正三棱錐=4X 4X 6- 1 x ( 1 x 2X 2) x 2=284(cm3). 證明 如圖(2),在長(zhǎng)方體ABCB-A B C 連接 AD ,那么 AD / BC .因?yàn)镋,G分別為AA , A D的中點(diǎn)，所以AD又BC/ EG 從而 EG/ BC .平面EFGAfEDf圖(2)所以BC/面 EFG9.如下圖，正四棱錐PABCD勺各棱長(zhǎng)均為13

10、, M N分別為PABD上的點(diǎn)，且 PM： MA=BN： ND=5 : 8.(1) 求證：直線MN/平面PBC(2) 求線段MN的長(zhǎng).(1)證明 連接AN并延長(zhǎng)交BC于 Q連接PQ如下圖.Pv AD/ BQAND QNB AN DN AD 8. ,NQ NB BQ 5又PM = BN =5IMA "ND 8，.A = AN =8. min/ PQMP NQ 5 '又T PQ平面PBC MN平面PBCMIN/平面PBC(2)解 在等邊 PBC中 , / PB(=60° ,在厶PBC中由余弦定理知pQ=pW+bQ2PB BCCos / PBQ2=13"+ 65

11、 -2 x 13X 65 x 1 二口?！,88264't MIN/ PQ MN P&8 : 13, MN：91 x 2=7.81310在四棱錐P-ABC中，底面ABC是平行四邊形，M N分別是 中點(diǎn)，求證：MN/平面PAD證明：方法一，取PD中點(diǎn)E,連接AE, NE底面ABCD是平行四邊形，M N分別是AB, PC的中點(diǎn),1 MA/ CD MA CD.2t E是PD的中點(diǎn)，1 NE/ CD NE 1 CD.2 MA/ NE 且 MA= NEAENMH平行四邊形, MN/ AE又AE平面PAD MN 平面PAD MN/ 平面 PAD方法二取CD中點(diǎn)F,連接MF, NF./ MF

12、/ AD NF/ PD平面MN/平面PAD MN/ 平面 PAD11在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,AA= AC AB丄 AC 求證：AC丄 BC.【分析】要證明“線線垂直，可通過(guò)“線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證 明AiC垂直于經(jīng)過(guò)BG的平面即可.證明：連接AC. ABC- ABC是直三棱柱, AA丄平面ABC AB丄 AA.又AB丄AC AB丄平面AACC, AC丄AB.又 AA= AC側(cè)面AACC是正方形, AC丄AG.由，得AC丄平面ABC, AiCX BC1.12在三棱錐 P- ABC中 ,平面PABL平面 ABC AB丄BC, API PB,求證：平 面PAg平面PBC【分析】要

13、證明“面面垂直，可通過(guò)“線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂 直又可以通過(guò)“線線垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明：平面PABL平面ABC 平面PABH平面 ABC= AB,且AB丄BC, BC丄平面PAB API BC又 API PB, AP丄平面PBC又AP平面PAC平面PAC平面PBC13如圖,在斜三棱柱ABO A1B1C1中，側(cè)面AABB是菱形,且垂直于底面ABC / AA吐60°，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn).(I )求證：直線EF/平面AACC；(II)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFGL平面ABC并給出證明. 證明：(I )連接AC, AiE.側(cè)面AABB是菱形,E是AB的中點(diǎn), E也是Ai

14、B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，二EF/ ACAiC 平面 AiACC, EF 平面 AiACC,直線EF/平面AACC.解：當(dāng)匹-時(shí)，平面EFGL平面ABC證明如下：GA 3連接EG FG.側(cè)面AABB是菱形，且/ A-AB= 60°,仏AAB是等邊三角形. E是 A-B 的中點(diǎn)，匹-,二 EGLAB.GA 3平面A-ABB丄平面 ABC且平面 A-ABBG平面ABGAB, EGL平面 ABC又EG平面EFG二平面EFGL平面ABC14 如圖，正三棱柱 ABO A-BiC-中，E是AC的中點(diǎn).(I )求證：平面BEC丄平面ACCAi；(n )求證：AB /平面BEC.證明：(I ) t

15、 ABC-ABiC是正三棱柱，二AA丄平面ABC BE丄 AA. ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，二BE! AC,： BE!平面ACCA，又BE 平面BEC，平面BEC丄平面ACCA.(n)證明：連接 BiC,設(shè) BC n BiC= D. BCCB 是矩形，D是 BC 的中點(diǎn)， DE/ AB.又DE平面BEC, AB 平面BEC, AB/平面 BEC.15在四棱錐P ABC沖，平面PADL平面ABCD AB/ DC PAD是等邊三角形， BD- 2AD-8，AB 2DC 4,5 .(I )設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面 MBL平面PAD(n )求四棱錐P ABCD勺體積. 證明：(I )在厶

16、ABD中,由于 AD-4, BD-8, AB 4,5 ,所以 AD + BD- Ab.故 adl BD又平面PADL平面ABCD平面PAtn平面 ABC- AD, BD 平面ABCD 所以BDL平面PAD又BD 平面MBD故平面 MBL平面PAD(n )解：過(guò)P作POL AD交AD于O,由于平面PADL平面 ABCD所以POL平面ABCD因此PO為四棱錐P ABCD勺高，3又 PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此PO -2i 42.3在底面四邊形ABCD中, AB/ DC, A吐2DC,所以四邊形ABCD是梯形，在Rt AD盯，斜邊AB邊上的高為4 8 冬5 ,455即為梯形ABCD勺高，所以四邊

17、形ABCD勺面積為S 2篤4 5 855 24.故1Vp abcd24 2“；: 3 16 3.316如圖，三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，M N分別為 PA BC的中點(diǎn).(I )求MN的長(zhǎng)；(II)求證：PAL BC.(I )解：連接MB MC三棱錐P- ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形， MB MC ，且底面厶ABC也是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形. N為 BC的中點(diǎn)， MNLBC在 Rt MNB中 MN . MB2 BN2 乓(I)證明：M是PA的中點(diǎn)， PAL MB 同理 PAL MC/ MBH MG M PAL平面 MBC又 BC 平面 MBC： PAL BC17

18、.如圖，在四面體ABCD中, CB= CD ADL BD,且E、F分別是AB BD的中點(diǎn).求 證：(I )直線EF/平面ACD(n )平面EFCL平面BCD證明：(I ) t E、F分別是AB BD的中點(diǎn)， EF是厶ABD的中位線，二EF/ AD.又EF 平面ACD AD 平面ACD二直線EF/平面ACD (n ) V EF/ AD ADL BD 二 EF± BD.t CB= CD F是 BD的中點(diǎn)，二 CFLBD/ CFA EF= F,.BDL平面 CEFv BD平面BCD二平面EFCL平面BCD四邊形BCH是平行四邊形；F, E四點(diǎn)是否共面？為什么？18如圖，平面ABEFL平面ABCD四邊形ABEF與 ABCDfE是直角梯形，/ BA11/ FA吐 90°, B