普通高級(jí)中學(xué)選修科目「數(shù)學(xué)」課程綱要

1、普通高級(jí)中學(xué)選修科目數(shù)學(xué)課程綱要壹、課程目標(biāo)選修數(shù)學(xué)提供學(xué)生適才適性的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，針對(duì)不同學(xué)生的需要，選修課程共分四類：標(biāo)準(zhǔn)課程、基礎(chǔ)課程、統(tǒng)整課程和進(jìn)階課程。各類課程的目標(biāo)與對(duì)象如下：一、標(biāo)準(zhǔn)課程：名稱目標(biāo)建議對(duì)象數(shù)學(xué)甲I提供將來要進(jìn)入理、工、醫(yī)、農(nóng)領(lǐng)域?qū)W生所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)自然組學(xué)生數(shù)學(xué)甲II自然組學(xué)生數(shù)學(xué)乙I提供將來要進(jìn)入工商管理領(lǐng)域?qū)W生所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)社會(huì)組學(xué)生數(shù)學(xué)乙II社會(huì)組學(xué)生二、基礎(chǔ)課程名稱目標(biāo)建議對(duì)象基礎(chǔ)數(shù)學(xué)I補(bǔ)救數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足的部份數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足者基礎(chǔ)數(shù)學(xué)II數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足者三、統(tǒng)整課程名稱目標(biāo)建議對(duì)象統(tǒng)整數(shù)學(xué)進(jìn)行不同章節(jié)的連結(jié)以深化學(xué)習(xí)一般學(xué)生數(shù)學(xué)演習(xí)加強(qiáng)練習(xí)，從實(shí)作中掌握學(xué)習(xí)目標(biāo)一般學(xué)

2、生四、進(jìn)階課程名稱目標(biāo)建議對(duì)象微積分I定位為大一微積分，這是順應(yīng)世界潮流，提供學(xué)生提前修習(xí)大學(xué)課程的管道學(xué)習(xí)超前學(xué)生微積分II學(xué)習(xí)超前學(xué)生選修代數(shù)加深加廣代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有興趣的學(xué)生選修幾何加深加廣幾何學(xué)的學(xué)習(xí)有興趣的學(xué)生數(shù)學(xué)軟體學(xué)習(xí)以數(shù)學(xué)軟體解決問題有興趣的學(xué)生數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型解決問題有興趣的學(xué)生註1：微積分I涵蓋數(shù)學(xué)甲II的內(nèi)容，可取代數(shù)學(xué)甲II的選修。註2：微積分I、II可到大學(xué)選修。貳、時(shí)間分配一、標(biāo)準(zhǔn)課程名稱學(xué)分?jǐn)?shù)建議年級(jí)數(shù)學(xué)甲I4三上數(shù)學(xué)甲II4三下數(shù)學(xué)乙I3三上數(shù)學(xué)乙II3三下註：對(duì)學(xué)習(xí)超前的學(xué)生可提前修習(xí)數(shù)學(xué)甲I，以接續(xù)選修微積分I、II。二、基礎(chǔ)課程名稱建議學(xué)分?jǐn)?shù)建議年級(jí)

3、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)I1一上基礎(chǔ)數(shù)學(xué)II1一下三、統(tǒng)整課程名稱建議學(xué)分?jǐn)?shù)建議年級(jí)統(tǒng)整數(shù)學(xué)23三年級(jí)任一學(xué)期數(shù)學(xué)演習(xí)1各學(xué)期四、進(jìn)階課程名稱建議學(xué)分?jǐn)?shù)建議年級(jí)微積分I34三上微積分II34三下選修代數(shù)2一、二年級(jí)任一學(xué)期選修幾何2二、三年級(jí)任一學(xué)期數(shù)學(xué)軟體2二、三年級(jí)任一學(xué)期數(shù)學(xué)建模2二、三年級(jí)任一學(xué)期參、教材綱要本課綱僅規(guī)範(fàn)標(biāo)準(zhǔn)課程的綱要?；A(chǔ)課程、統(tǒng)整課程及進(jìn)階課程的內(nèi)容由各校自訂。但進(jìn)階課程中的微積分I、II應(yīng)等同於大學(xué)的微積分標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)甲I、4學(xué)分主題子題內(nèi)容備註一、機(jī)率統(tǒng)計(jì)1.隨機(jī)的意義1.1 隨機(jī)的意義1.2 期望值、變異數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差2.二項(xiàng)分布2.1 獨(dú)立事件、重複試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)

4、3.抽樣與統(tǒng)計(jì)推論3.1 抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣3.2 亂數(shù)表3.3 常態(tài)分布、信賴區(qū)間與信心水準(zhǔn)的解讀3.1不含系統(tǒng)抽樣、部落抽樣二、三角函數(shù)1.一般三角函數(shù)的性質(zhì)與圖形1.1 弧度、弧長(zhǎng)及扇形面積公式1.2 倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係、平方關(guān)係1.3 三角函數(shù)的定義域、值域、週期性質(zhì)與圖形2.三角函數(shù)的應(yīng)用2.1 波動(dòng)：正餘弦函數(shù)的疊合2.2 圓、橢圓的參數(shù)式2.1 不含不同週期的三角函數(shù)疊合3.複數(shù)的幾何意涵3.1 複數(shù)平面、絕對(duì)值、複數(shù)的極式、複數(shù)乘法的幾何意義3.2 棣美弗定理，複數(shù)的n次方根數(shù)學(xué)甲II、4學(xué)分主題子題內(nèi)容備註一、極限與函數(shù)1.數(shù)列及其極限1.1 兩數(shù)列的比較1.2 數(shù)列的極

5、限及極限的性質(zhì)1.3 無窮等比級(jí)數(shù)、循環(huán)小數(shù)1.4 夾擠定理1.2 以圖形、電腦展示的範(fàn)例建立學(xué)生對(duì)於極限的直觀1.4 可用圖形或面積意涵說明夾擠定理2.函數(shù)的概念2.1 函數(shù)的定義、圖形、四則運(yùn)算與合成函數(shù)3.函數(shù)的極限3.1 函數(shù)的極限3.2 連續(xù)函數(shù)、介值定理二、多項(xiàng)式函數(shù)的微積分1.微分1.1 導(dǎo)數(shù)與切線1.2 微分的加、減、乘運(yùn)算2.函數(shù)性質(zhì)的判定2.1 遞增、遞減、凹凸性、函數(shù)極值的一階與二階檢定法2.2 三次多項(xiàng)式的繪圖3.積分的意義3.1 定積分的意義3.2 微積分基本定理3.3多項(xiàng)式函數(shù)的定積分與不定積分的計(jì)算3.3 不涉及分部積分與變數(shù)變換法4.積分的應(yīng)用4.1 以求圓面積

6、、球體體積、角錐體體積、解自由落體運(yùn)動(dòng)方程式為主附錄牛頓求根法數(shù)學(xué)乙I、3學(xué)分主題子題內(nèi)容備註一、機(jī)率統(tǒng)計(jì)1.隨機(jī)的意義1.1 隨機(jī)的意義2.期望值、變異數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差2.1 期望值、變異數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差3.獨(dú)立事件3.1 獨(dú)立事件4.二項(xiàng)分布4.1 重複試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)5.抽樣與統(tǒng)計(jì)推論5.1 抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣5.2 亂數(shù)表5.3 常態(tài)分布、信賴區(qū)間與信心水準(zhǔn)的解讀5.1不含系統(tǒng)抽樣、部落抽樣二、三角函數(shù)1.弧度、弧長(zhǎng)1.1 弧度、弧長(zhǎng)及扇形面積公式2.一般三角函數(shù)的性質(zhì)與圖形2.1 倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係、平方關(guān)係2.2 三角函數(shù)的定義域、值域、週期性質(zhì)與圖形數(shù)學(xué)乙II、3學(xué)分主題子

7、題內(nèi)容備註一、極限與函數(shù)1.數(shù)列及其極限1.1 兩數(shù)列的比較1.2 數(shù)列的極限及極限的性質(zhì)1.2 以圖形、電腦展示的範(fàn)例建立學(xué)生對(duì)於極限的直觀2.無窮等比級(jí)數(shù)2.1 無窮等比級(jí)數(shù)2.2 循環(huán)小數(shù)2.3 夾擠定理2.3可用圖形或面積意涵說明夾擠定理3.函數(shù)的概念3.1 函數(shù)的定義、圖形、四則運(yùn)算與合成函數(shù)4.函數(shù)的極限4.1 函數(shù)的極限4.2 連續(xù)函數(shù)、介值定理肆、實(shí)施要點(diǎn)一、教材編寫（一）應(yīng)力求掌握本課綱設(shè)計(jì)的精神編寫教材，儘量配合課綱子題設(shè)計(jì)的先後來訂定章節(jié)，但在內(nèi)容上則不必拘泥綱要內(nèi)容編排的順序。為達(dá)成教材流暢性與完整性所新增的內(nèi)容，可置於附錄。（二）在編寫要領(lǐng)上，應(yīng)注意下列事項(xiàng)： 1.編

8、寫教材時(shí)，應(yīng)注意與國(guó)民中小學(xué)九年一貫課程的銜接。教材應(yīng)具時(shí)代性、前瞻性及國(guó)際性。 2.教材應(yīng)以精緻與完備的出版品呈現(xiàn)。 3.教材應(yīng)注意到銜接、統(tǒng)整和連結(jié)。 4.教材的呈現(xiàn)應(yīng)循序漸進(jìn)，適當(dāng)鋪陳，引發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，注意學(xué)生學(xué)習(xí)心理，在直觀與嚴(yán)謹(jǐn)之間取得平衡，並兼顧從特例到一般推理的必要。 5.教材應(yīng)有足夠多的範(fàn)例與習(xí)題。範(fàn)例應(yīng)具有意義並反映數(shù)學(xué)思考，在範(fàn)例之後應(yīng)有隨堂練習(xí)，在課文之後應(yīng)有啟發(fā)深思的習(xí)題。習(xí)題要扣緊主題，在深度上由淺入深，不宜與教材內(nèi)容有太大落差。範(fàn)例與習(xí)題的妥適性可由下列的指標(biāo)來判斷： （1）是否為無意義的人工化難題？ （2）所謂生活化的問題是否符合常理？ （3）是否屬於大學(xué)程度的題材

9、，雖可用高中所學(xué)的方法解決，但仍屬困難？ 6.範(fàn)例與習(xí)題應(yīng)注意與生活、其他學(xué)科及下列九大議題的連結(jié)：生命教育、性別平等、法治教育、人權(quán)教育、環(huán)保教育、永續(xù)發(fā)展、多元文化、消費(fèi)者保護(hù)教育、海洋教育。 7.教師手冊(cè)要提供教師對(duì)教材進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)課程深入的瞭解和最有效率的教法。教師手冊(cè)亦應(yīng)提供相關(guān)的進(jìn)階資訊，供教師參考。 8.專有名詞應(yīng)採(cǎi)用教育部最新編訂公布的數(shù)學(xué)名詞。各專有名詞及外國(guó)人名應(yīng)於索引中附原文。（三）審查注意事項(xiàng)：教科書的審查應(yīng)掌握課程綱要的內(nèi)容、備註及其說明所呈現(xiàn)的精神，並依據(jù)上述教材編寫注意事項(xiàng)進(jìn)行。審查時(shí)，應(yīng)遵照國(guó)立編譯館所頒布的審訂規(guī)範(fàn)，並尊重出版自由的精神。二、教學(xué)進(jìn)度各?？?/p>

10、配合學(xué)生學(xué)習(xí)情況，彈性調(diào)整教學(xué)進(jìn)度。針對(duì)放棄學(xué)習(xí)的學(xué)生，應(yīng)予適當(dāng)?shù)妮o導(dǎo)。針對(duì)學(xué)習(xí)較慢的學(xué)生，應(yīng)有以下補(bǔ)救措施：可依學(xué)習(xí)不足狀況開設(shè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)選修課程；可彈性調(diào)整學(xué)習(xí)進(jìn)度，只要在學(xué)測(cè)前學(xué)完數(shù)學(xué)必修課即可；學(xué)習(xí)方式可採(cǎi)螺旋式，不一定要按課綱的章節(jié)順序?qū)W習(xí)；可依實(shí)際狀況彈性調(diào)整評(píng)量方式。針對(duì)學(xué)習(xí)較快的學(xué)生，則可提供進(jìn)階選修課程，以激發(fā)其學(xué)習(xí)熱忱。三、教學(xué)設(shè)備與資訊為建構(gòu)抽象思維的實(shí)體圖像，數(shù)學(xué)學(xué)科中心應(yīng)研發(fā)電腦輔助教學(xué)範(fàn)例（例如：以電腦協(xié)助講授函數(shù)圖形、立體幾何、解方程式和統(tǒng)計(jì)課程），並建立教學(xué)資訊平臺(tái)，充分提供各項(xiàng)網(wǎng)路教學(xué)資訊予各校。四、計(jì)算工具的使用（一）在學(xué)生已熟練計(jì)算原理的情況下，為避免太多繁

11、複計(jì)算降低學(xué)習(xí)效率，應(yīng)允許學(xué)生於學(xué)習(xí)及評(píng)量中適當(dāng)?shù)厥褂糜?jì)算器。例如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的計(jì)算可使用普通計(jì)算器，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的求值則可使用科學(xué)計(jì)算器。（二）在學(xué)生熟練描點(diǎn)繪圖的情況下，可輔以電腦繪圖，加強(qiáng)其建立函數(shù)圖形的直觀。五、教學(xué)評(píng)量（一）平時(shí)測(cè)驗(yàn)的方式宜有彈性，要針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況設(shè)計(jì)適合其程度的評(píng)量方式。在評(píng)量時(shí)要給予充分的時(shí)間思考，並要求學(xué)生將過程寫下，以瞭解學(xué)生思考的步驟。測(cè)驗(yàn)的題目應(yīng)區(qū)分為基礎(chǔ)和進(jìn)階兩類，依學(xué)生程度做適當(dāng)?shù)脑u(píng)量。（二）為導(dǎo)正學(xué)習(xí)文化，在實(shí)施全國(guó)性測(cè)驗(yàn)評(píng)量時(shí)，應(yīng)提供學(xué)生充分的思考時(shí)間，以避免學(xué)生為求快速解答而忽略數(shù)學(xué)思考的學(xué)習(xí)。同時(shí)題數(shù)不宜太少，以免為求鑑別度而將題目導(dǎo)

12、引到難題化。程度上應(yīng)從基礎(chǔ)題到進(jìn)階題均勻分布。相關(guān)評(píng)量單位應(yīng)研究?jī)?yōu)良題型的評(píng)鑑指標(biāo)，協(xié)助教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)創(chuàng)造出優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)環(huán)境。伍、附錄數(shù)學(xué)甲I、II及數(shù)學(xué)乙I、II的說明與範(fàn)例。數(shù)學(xué)甲I（選修）數(shù)學(xué)甲I包括機(jī)率統(tǒng)計(jì)II以及三角函數(shù)，這些課題是銜接大學(xué)的微積分與機(jī)率統(tǒng)計(jì)的題材。在學(xué)習(xí)新的題材時(shí)，同時(shí)可統(tǒng)整複習(xí)數(shù)學(xué)II的機(jī)率統(tǒng)計(jì)以及數(shù)學(xué)III的三角學(xué)，以強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)。一、機(jī)率統(tǒng)計(jì)II生活中所接觸的變量（variables）常常具有隨機(jī)現(xiàn)象，比如甲乙兩人猜拳n次，甲贏乙的次數(shù)；投擲銅板n次，出現(xiàn)正面的次數(shù)；由電話簿隨機(jī)抽n個(gè)樣本，調(diào)查支持某一候選人的人數(shù)；股票的市場(chǎng)價(jià)值；臺(tái)北市的房?jī)r(jià)；學(xué)測(cè)的成績(jī)；班上同學(xué)

13、的身高體重；麥當(dāng)勞一個(gè)月所賣出的漢堡個(gè)數(shù)等等。這些具有隨機(jī)性（不確定性）的變量就稱作隨機(jī)變量（也叫隨機(jī)變數(shù)）。它可能是離散型的（取值為離散的），也可能是連續(xù)型的。老師可在教學(xué)活動(dòng)中請(qǐng)同學(xué)舉出隨機(jī)變數(shù)的例子，但隨機(jī)變數(shù)不需用機(jī)率空間上的函數(shù)來嚴(yán)格定義。隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)自然組與社會(huì)組的學(xué)生同等重要。對(duì)於機(jī)率與統(tǒng)計(jì)而言，重點(diǎn)在讓學(xué)生了解隨機(jī)的本質(zhì)，並能學(xué)到估計(jì)的概念，而不只是學(xué)到數(shù)學(xué)的計(jì)算。各種概念產(chǎn)生的背後原因，如機(jī)率的性質(zhì)，期望值、變異數(shù)及信賴區(qū)間等，更應(yīng)闡釋清楚。首先需對(duì)隨機(jī)變數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)資料的整理，也就是製作次數(shù)圖（X軸為隨機(jī)變量的值，Y軸為次數(shù)）。將次數(shù)除以總次數(shù)，所得的函數(shù)就稱為機(jī)率質(zhì)量函數(shù)（離

14、散型），或機(jī)率密度函數(shù)（連續(xù)型）。高中課程只處理離散型的隨機(jī)變數(shù)。人們常想粗略知道某一隨機(jī)變數(shù)的值有多大，而期望值的角色，就是用單一數(shù)值來代表隨機(jī)現(xiàn)象中變量的大小。期望值就像是隨機(jī)變數(shù)的核心，隨機(jī)變數(shù)所有可能的值，都散佈在期望值的左右。變異數(shù)是用來度量隨機(jī)變數(shù)的隨機(jī)性，變異數(shù)愈小，愈多隨機(jī)變數(shù)的值會(huì)落在期望值附近。當(dāng)變異數(shù)為0時(shí)，所有隨機(jī)變數(shù)的值都是確定的值（也就是期望值）。反之，變異數(shù)愈大，反應(yīng)了隨機(jī)變數(shù)的隨機(jī)性（不確定性）愈大。某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)的變異數(shù)大，表示該測(cè)驗(yàn)比較能夠區(qū)隔學(xué)生能力的差異。變異數(shù)的正平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，用來表示隨機(jī)變數(shù)的可能值偏離期望值的大小。1.隨機(jī)的意義1.1隨機(jī)的意義

15、以生活上的實(shí)例說明，如：班上同學(xué)的學(xué)測(cè)級(jí)分相對(duì)次數(shù)圖（X軸為學(xué)測(cè)級(jí)分，Y軸為該成績(jī)的相對(duì)次數(shù)）。投銅板三次，正面出現(xiàn)的機(jī)率質(zhì)量函數(shù)圖（X軸為正面出現(xiàn)的次數(shù)（X=0,1,2,3），Y軸為該次數(shù)出現(xiàn)的機(jī)率）。1.2期望值、變異數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差人們常想粗略知道某一隨機(jī)變數(shù)的值有多大，而期望值的角色，就是用單一數(shù)值來代表隨機(jī)現(xiàn)象中變量的大小。期望值就像是隨機(jī)變數(shù)的核心，隨機(jī)變數(shù)所有可能的值，都散佈在期望值的左右。變異數(shù)的正平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，用來表示隨機(jī)變數(shù)的可能值偏離期望值的大小。2.二項(xiàng)分布2.1獨(dú)立事件、重複試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)說明此分布的由來，並且強(qiáng)調(diào)處處可見。給出其機(jī)率質(zhì)量函數(shù)，並以二項(xiàng)式

16、定理驗(yàn)證確為機(jī)率質(zhì)量函數(shù)。擲銅板出現(xiàn)正面、反面的機(jī)率各為1/2，投n次出現(xiàn)k次正面的機(jī)率為。繪出二項(xiàng)分布的圖形，求期望值、變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。3.抽樣與統(tǒng)計(jì)推論3.1抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣說明經(jīng)常需要收集資料，以便對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象做推論或預(yù)測(cè)。說明何時(shí)要普查，何時(shí)要抽樣調(diào)查，並介紹隨機(jī)抽樣法。3.2亂數(shù)表 介紹亂數(shù)表的使用，並說明何時(shí)可使用。3.3常態(tài)分布、信賴區(qū)間與信心水準(zhǔn)的解讀 高中程度的統(tǒng)計(jì)推論只做隨機(jī)變數(shù)期望值的估計(jì)，它的背後理論是中央極限定理。要介紹中央極限定理，就需要引入常態(tài)分布。此部分僅做通識(shí)性的介紹，以活動(dòng)方式建立學(xué)生對(duì)於中央極限定理的直觀。 對(duì)一固定的信心水準(zhǔn)，給出信賴區(qū)間公式，再讓學(xué)

17、生以亂數(shù)表模擬或?qū)嶒?yàn)投擲正面出現(xiàn)機(jī)率為的銅板次，代入信賴區(qū)間公式，以說明信心水準(zhǔn)的意涵；並以此解讀，何以大多數(shù)的學(xué)生所得的信賴區(qū)間都會(huì)涵蓋？ 二項(xiàng)分布。 常態(tài)分布，常態(tài)分布可介紹它的表示法。二、三角函數(shù)在三角函數(shù)裡首先介紹弧度的觀念，並以圓心在原點(diǎn)的圓介紹廣義角的三角函數(shù)及其週期性質(zhì)。討論它們的倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係和平方關(guān)係，但三角恆等式不宜過度操作。複數(shù)的幾何意涵是以三角函數(shù)呈現(xiàn)，內(nèi)容包括複數(shù)的極式與棣美弗定理。為了處理1的n次方根問題，要複習(xí)正、餘弦函數(shù)的和角公式。三角函數(shù)的應(yīng)用包括波動(dòng)現(xiàn)象的刻劃，如：正、餘弦函數(shù)的疊合，以及圓、橢圓及其應(yīng)用。1.一般三角函數(shù)的性質(zhì)與圖形1.1弧度、弧長(zhǎng)及扇

18、形面積公式 複習(xí)弧度、弧長(zhǎng)及扇形面積公式。1.2倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係、平方關(guān)係1.3三角函數(shù)的定義域、值域、週期性質(zhì)與圖形 包括六種三角函數(shù)。 由，以及倒數(shù)關(guān)係及商數(shù)關(guān)係推導(dǎo)出。2.三角函數(shù)及其應(yīng)用這裡主要談的是三角函數(shù)的應(yīng)用及相關(guān)的三角方程式與恆等式。2.1波動(dòng) 認(rèn)識(shí)，A為振幅、為相角的物理意涵。 正、餘弦函數(shù)的疊合：透過和角公式，同週期正、餘弦函數(shù)的和，如： 。 不談不同週期的正、餘弦函數(shù)的疊合。因此也不談和差化積與積化和差的公式。2.2 圓、橢圓的參數(shù)式3.複數(shù)的幾何意涵3.1複數(shù)平面、絕對(duì)值、複數(shù)的極式、複數(shù)乘法的幾何意義3.2棣美弗定理，複數(shù)的n次方根 。 複數(shù)的n次方根僅談根的求法，

19、以及複數(shù)的等比級(jí)數(shù)，如：，不宜做牽涉到根的變形的級(jí)數(shù)問題，如：。數(shù)學(xué)甲II（選修）數(shù)學(xué)甲II的目標(biāo)是對(duì)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)及定量幾何作一統(tǒng)整學(xué)習(xí)，並為未來微積分的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。一、極限與函數(shù)本章的用意是要對(duì)函數(shù)作一統(tǒng)整的學(xué)習(xí)並延伸到函數(shù)的操作，特別是合成函數(shù)的操作，合成函數(shù)應(yīng)與平移與伸縮作連結(jié)。夾擠定理應(yīng)透過幾何圖形建立直觀，並利用不等式做上下界的估計(jì)，不等式型式的數(shù)學(xué)歸納法亦在此學(xué)習(xí)。1.數(shù)列及其極限1.1兩數(shù)列的比較 不等式型式的數(shù)學(xué)歸納法。1.2數(shù)列的極限及極限的性質(zhì) 以圖形、電腦展示的範(fàn)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)極限的概念。1.3無窮等比級(jí)數(shù)、循環(huán)小數(shù) 證明循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。 無窮等比級(jí)數(shù)的應(yīng)用範(fàn)例：如下

20、圖，ABCD為邊長(zhǎng)等於1的正方形，連接ABCD各邊中點(diǎn)可得一個(gè)內(nèi)接正方形，如此繼續(xù)作下去，會(huì)得到無限多個(gè)正方形，求這些正方形的面積總和。ABCD1.4夾擠定理 可用圖形或面積來建立夾擠定理的直觀，例如： 圓面積可用內(nèi)接與外切正n邊形的面積夾擠而得。2.函數(shù)的概念2.1函數(shù)的定義、四則運(yùn)算、合成函數(shù) 合成函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在將重要函數(shù)寫成簡(jiǎn)單函數(shù)的合成，或是將函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化。例如利用平移將化成標(biāo)準(zhǔn)式，透過學(xué)習(xí)的函數(shù)性質(zhì)，了解的函數(shù)性質(zhì)。函數(shù)的例子及繪圖：這裡的繪圖是指圖形的描點(diǎn)，是要建立學(xué)生對(duì)於圖形的直觀。 絕對(duì)值函數(shù)、簡(jiǎn)單有理函數(shù)，n=1,2，以及這些函數(shù)的平移。 根式函數(shù)與隱函數(shù)，如：、。3.函數(shù)的

21、極限3.1函數(shù)的極限3.2連續(xù)函數(shù)、介值定理二、多項(xiàng)式函數(shù)的微積分透過介紹微積分的基本概念，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)作統(tǒng)整學(xué)習(xí)。包括三次多項(xiàng)式函數(shù)的繪圖，以及推導(dǎo)一些幾何形體的面積、體積的公式。至於牛頓求根法則置於附錄。1.微分1.1導(dǎo)數(shù)與切線1.2微分的加減運(yùn)算2.函數(shù)性質(zhì)的判定2.1上升、下降、凹凸性、函數(shù)極值的一階、二階檢定法2.2三次多項(xiàng)式的繪圖 透過函數(shù)的特徵（極值點(diǎn)、反曲點(diǎn)、上升、下降、凹凸性）來繪圖。3.積分的意義3.1定積分的意義 介紹上、下和及其極限。用，的求和公式計(jì)算。3.2微積分基本定理 由高度函數(shù)對(duì)底的積分來定義面積函數(shù)，並說明面積函數(shù)對(duì)底的微分為高度。 由速度函數(shù)對(duì)時(shí)間的積

22、分來定義距離函數(shù)，並說明距離函數(shù)對(duì)時(shí)間的微分為速度。3.3多項(xiàng)式函數(shù)的定積分與不定積分的計(jì)算：不涉及分部積分與變數(shù)變換法4.積分的應(yīng)用4.1以求圓面積、球體體積、角錐體體積和解自由落體運(yùn)動(dòng)方程式為主 圓面積：假設(shè)已知圓周長(zhǎng)公式，以積分方法求圓面積：。 球體體積：假設(shè)已知圓面積公式，以切割X軸方式的積分方法求球體體積：。 角錐體體積：假設(shè)已知底面積A，以切割Z軸方式的積分方法求角錐體體積：在每一個(gè)截面的面積，。 自由落體運(yùn)動(dòng)方程式：已知初始位置與初始速度，求時(shí)間t時(shí)的速度：；時(shí)間t時(shí)的位置：。數(shù)學(xué)甲II附錄：牛頓求根法，的牛頓求根法。數(shù)學(xué)乙I（選修）數(shù)學(xué)乙I包括機(jī)率統(tǒng)計(jì)II以及三角函數(shù)，這些課題

23、是銜接大學(xué)的微積分與機(jī)率統(tǒng)計(jì)的題材。在學(xué)習(xí)新的題材時(shí)，同時(shí)可統(tǒng)整複習(xí)數(shù)學(xué)II的機(jī)率統(tǒng)計(jì)以及數(shù)學(xué)III的三角學(xué)，以強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)。一、機(jī)率統(tǒng)計(jì)II生活中所接觸的變量（variables）常常具有隨機(jī)現(xiàn)象，比如甲乙兩人猜拳n次，甲贏乙的次數(shù)；投擲銅板n次，出現(xiàn)正面的次數(shù)；由電話簿隨機(jī)抽n個(gè)樣本，調(diào)查支持某一候選人的人數(shù)；股票的市場(chǎng)價(jià)值；臺(tái)北市的房?jī)r(jià)；學(xué)測(cè)的成績(jī)；班上同學(xué)的身高體重；麥當(dāng)勞一個(gè)月所賣出的漢堡個(gè)數(shù)等等。這些具有隨機(jī)性（不確定性）的變量就稱作隨機(jī)變量（也叫隨機(jī)變數(shù)）。它可能是離散型的（取值為離散的），也可能是連續(xù)型的。老師可在教學(xué)活動(dòng)中請(qǐng)同學(xué)舉出隨機(jī)變數(shù)的例子，但隨機(jī)變數(shù)不需用機(jī)率空間上

24、的函數(shù)來嚴(yán)格定義。隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)自然組與社會(huì)組的學(xué)生同等重要。對(duì)於機(jī)率與統(tǒng)計(jì)而言，重點(diǎn)在讓學(xué)生了解隨機(jī)的本質(zhì)，並能學(xué)到估計(jì)的概念，而不只是學(xué)到數(shù)學(xué)的計(jì)算。各種概念產(chǎn)生的背後原因，如：機(jī)率的性質(zhì)，期望值、變異數(shù)及信賴區(qū)間等，更應(yīng)闡釋清楚。首先需對(duì)隨機(jī)變數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)資料的整理，也就是製作次數(shù)圖（X軸為隨機(jī)變量的值，Y軸為次數(shù)）。將次數(shù)除以總次數(shù)，所得的函數(shù)就稱為機(jī)率質(zhì)量函數(shù)（離散型），或機(jī)率密度函數(shù)（連續(xù)型）。高中課程只處理離散型的隨機(jī)變數(shù)。人們常想粗略知道某一隨機(jī)變數(shù)的值有多大，而期望值的角色，就是用單一數(shù)值來代表隨機(jī)現(xiàn)象中變量的大小。期望值就像是隨機(jī)變數(shù)的核心，隨機(jī)變數(shù)所有可能的值，都散佈在期望值的

25、左右。變異數(shù)是用來度量隨機(jī)變數(shù)的隨機(jī)性，變異數(shù)愈小，愈多隨機(jī)變數(shù)的值會(huì)落在期望值附近。當(dāng)變異數(shù)為0時(shí)，所有隨機(jī)變數(shù)的值都是確定的值（也就是期望值）。反之，變異數(shù)愈大，反應(yīng)了隨機(jī)變數(shù)的隨機(jī)性（不確定性）愈大。某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)的變異數(shù)大，表示該測(cè)驗(yàn)比較能夠區(qū)隔學(xué)生能力的差異。變異數(shù)的正平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，用來表示隨機(jī)變數(shù)的可能值偏離期望值的大小。1.隨機(jī)的意義1.1隨機(jī)的意義以生活上的實(shí)例說明，如： 班上同學(xué)的學(xué)測(cè)級(jí)分相對(duì)次數(shù)圖（X軸為學(xué)測(cè)級(jí)分，Y軸為該成績(jī)的相對(duì)次數(shù)）。 投銅板三次，正面出現(xiàn)的機(jī)率質(zhì)量函數(shù)圖（X軸為正面出現(xiàn)的次數(shù)（X=0,1,2,3），Y軸為該次數(shù)出現(xiàn)的機(jī)率）。2.期望值、變異數(shù)、標(biāo)

26、準(zhǔn)差人們常想粗略知道某一隨機(jī)變數(shù)的值有多大，而期望值的角色，就是用單一數(shù)值來代表隨機(jī)現(xiàn)象中變量的大小。期望值就像是隨機(jī)變數(shù)的核心，隨機(jī)變數(shù)所有可能的值，都散佈在期望值的左右。變異數(shù)的正平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，用來表示隨機(jī)變數(shù)的可能值偏離期望值的大小。3.獨(dú)立事件4.二項(xiàng)分布4.1重複試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)說明此分布的由來，並且強(qiáng)調(diào)處處可見。給出其機(jī)率質(zhì)量函數(shù)，並以二項(xiàng)式定理驗(yàn)證確為機(jī)率質(zhì)量函數(shù)。 擲銅板出現(xiàn)正面、反面的機(jī)率各為1/2，投n次出現(xiàn)k次正面的機(jī)率為。 繪出二項(xiàng)分布的圖形，求期望值；變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算可置於教科書的附錄。5.抽樣與統(tǒng)計(jì)推論5.1抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣說明經(jīng)常需要收集資料，以便對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象做推論或預(yù)測(cè)。說明何時(shí)要普查，何時(shí)要抽樣調(diào)查，並介紹隨機(jī)抽樣法。5.2 亂數(shù)表介紹亂數(shù)表的使用，並說明何時(shí)可使用。5.3 常態(tài)分布、信賴區(qū)間與信心水準(zhǔn)的解讀高中程度的統(tǒng)計(jì)推論只做隨機(jī)變數(shù)期望值的估計(jì)，它的背後理論是中央極限定理。要介紹中央極限定理，就需要引入常態(tài)分布。此部分僅做通識(shí)性的介紹，以活動(dòng)方式建立學(xué)生對(duì)於中央極限定理的直觀。對(duì)一固定的信心