北京市石景山區(qū)2013屆高三數(shù)學(xué)一模試題 理（含解析）新人教A版

1、2013年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1（5分）（2013石景山區(qū)一模）設(shè)集合M=x|x24），N=x|log2 x1，則MN等于（）A2，2B2C2，+）D2，+）考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算專題：計(jì)算題分析：求解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合M，N，然后直接利用交集的運(yùn)算求解解答：解：由M=x|x24=x|2x2，N=x|log2 x1=x|x2，則MN=x|2x2x|x2=2故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式及對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題2（5分）（2013

2、石景山區(qū)一模）若復(fù)數(shù)（ai）2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則實(shí)數(shù)a的值是（）A1B1CD考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義專題：計(jì)算題分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化為復(fù)數(shù)（ai）2=a212ai再根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的特點(diǎn)即可得出解答：解：aR，復(fù)數(shù)（ai）2=a212ai復(fù)數(shù)（ai）2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a21，2a）在y軸負(fù)半軸上，解得a=1故選A點(diǎn)評(píng)：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義、在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵3（5分）（2013石景山區(qū)一模）將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n，向量=（m，n），=（3，6），則向

3、量與共線的概率為（）ABCD考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式專題：平面向量及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計(jì)分析：利用古典概型的概率計(jì)算公式和向量共線定理即可得出解答：解：由題意可得：基本事件（m，n）（m，n=1，2，6）的個(gè)數(shù)=6×6=36若，則6m3n=0，得到n=2m滿足此條件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三個(gè)基本事件因此向量與共線的概率P=故選D點(diǎn)評(píng)：熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式和向量共線定理是解題的關(guān)鍵4（5分）（2013石景山區(qū)一模）執(zhí)行右面的框圖，輸出的結(jié)果s的值為（）A3B2CD考點(diǎn)：程序框圖專題：圖表型分析：根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，一旦

4、不滿足條件就退出循環(huán)，從而到結(jié)論解答：解：第1次循環(huán)，S=3，i=2，第2次循環(huán)，S=，i=3，第3次循環(huán)，S=，i=4，第4次循環(huán)，S=2，i=5，第5次循環(huán)，S=3，i=6，框圖的作用是求周期為4的數(shù)列，輸出S的值，不滿足20142013，退出循環(huán)，循環(huán)次數(shù)是2013次，即輸出的結(jié)果為3，故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，是當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)滿足條件，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎(chǔ)題5（5分）（2013石景山區(qū)一模）如圖，直線AM與圓相切于點(diǎn)M，ABC與ADE是圓的兩條割線，且BDAD，連接MD、EC則下面結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是（）AECA=90°BCEM=DMA+DBACAM2=ADAEDADD

5、E=ABBC考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段專題：選作題分析：A利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得BDE+BCE=180°，再利用已知即可判斷出；B利用弦切角定理可得AMD=MED；由四邊形BDEC是圓的內(nèi)接四邊形ABD=CED，即可判斷出答案；C由切割線定理可得AM2=ADAE，即可判斷出；D利用排除法，或割線定理得ADAE=ABAC，進(jìn)而得到ADDEABBC=AB2AD2，而AB與AD不一定相等，據(jù)此判斷出解答：解：A四邊形BDEC是圓的內(nèi)接四邊形，BDE+BCE=180°，BDE=90°，BCE=90°，故A正確；B.直線AM與圓相切于點(diǎn)M，由弦切角定理可得AM

6、D=MED；由四邊形BDEC是圓的內(nèi)接四邊形，ABD=CED，CEM=MED+CED=DMA+DBA，故正確；C直線AM與圓相切于點(diǎn)M，由切割線定理可得AM2=ADAE，故C正確；D由割線定理得ADAE=ABAC，AD（AD+DE）=AB（AB+BC），ADDEABBC=AB2AD2，而AB與AD不一定相等，故錯(cuò)誤故選D點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弦切角定理、切割線定理、割線定理是解題的關(guān)鍵6（5分）（2013石景山區(qū)一模）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（）A10B10C40D40考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得x

7、的系數(shù)解答：解：在的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=25rx102r（1）r（x）r=（1）r25rx103r令103r=1，可得r=3，故x的系數(shù)為 （1）3253=40，故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題7（5分）（2013石景山區(qū)一模）對(duì)于直線l：y=k（x+1）與拋物線C：y2=4x，k=±1是直線l與拋物線C有唯一交點(diǎn)的（）條件A充分不必要B必要不充分C充要條件D既不充分也不必要考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題：計(jì)算題分析：聯(lián)立方程組可知l與C有唯一交點(diǎn)的充要條件為k=0，或k=±1，由集

8、合1，1是1，0，1的真子集可得答案解答：解：聯(lián)立方程組，消去y并整理得，k2x2+2（k22）x+k2=0，當(dāng)k=0時(shí)，上式變?yōu)?x=0，解得x=0，l與C有唯一交點(diǎn)，當(dāng)k0時(shí)，需=4（k22）24k4=0，解得k=±1，故l與C有唯一交點(diǎn)的充要條件為k=0，或k=±1，由1，1是1，0，1的真子集可得前者是后者的充分不必要條件，故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題8（5分）（2013石景山區(qū)一模）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q滿足條件：P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)P，Q是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好

9、點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)P，Q與Q，P看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”），已知函數(shù)f（x）=，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（）A0對(duì)B1對(duì)C2對(duì)D3對(duì)考點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法專題：壓軸題；新定義分析：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”，只須作出函數(shù)y=x24x（x0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log2x（x0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可解答：解：根據(jù)題意：當(dāng)x0時(shí)，x0，則f（x）=（x）24（x）=x2+4x，可知，若函數(shù)為奇函數(shù)，可有f（x）=x24x，則函數(shù)y=x24x（x0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=x24x由題意知，作出函數(shù)y=x24x（x0）的圖象，看它與函數(shù)

10、f（x）=log2x（x0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)如圖，觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)故答案選 C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）（2013石景山區(qū)一模）直線2sin=1與圓=2cos相交弦的長(zhǎng)度為考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；直線與圓的位置關(guān)系專題：直線與圓分析：先將原極坐標(biāo)方程=2cos兩邊同乘以后化成直角坐標(biāo)方程，再將2sin=1也化成極坐標(biāo)方程，后利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行求解即可解答：解：將圓=2cos化

11、為直角坐標(biāo)方程為（x1）2+y2=1，直線2sin=1化為直角坐標(biāo)方程為y=，代入（x1）2+y2=1，得x=1±則直線2sin=1與圓=2cos相交弦的長(zhǎng)度為1+（1）=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，進(jìn)行代換即得10（5分）（2013石景山區(qū)一模）在ABC中，若，則C=考點(diǎn)：正弦定理專題：計(jì)算題；壓軸題分析：利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根據(jù)大邊對(duì)大角，得到A小于B，即A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理

12、即可求出C的度數(shù)解答：解：b=a，根據(jù)正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，sinA=，又ab，得到AB=，A=，則C=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，三角形的邊角關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵11（5分）（2013石景山區(qū)一模）在等差數(shù)列an中，a1=2013，其前n項(xiàng)和為Sn，若=2，則S2013的值等于2013考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn，則 =An+B若=2，則可得是以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得S2013的值解答：

13、解：設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn，則 =An+B，成等差數(shù)列若=2，則 =a1=2013，是以1為公差的等差數(shù)列=2013+2012×1=1，S2013的值等于2013，故答案為2013點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題12（5分）（2013石景山區(qū)一模）某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱長(zhǎng)度是考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算專題：空間位置關(guān)系與距離分析：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，ADBC，ADDC，AD=2，DC=3

14、，BC=4據(jù)此可計(jì)算出最長(zhǎng)的一條側(cè)棱長(zhǎng)解答：解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，ADBC，ADDC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱PB，其長(zhǎng)度是=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求面積、體積，考查空間想象能力，由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵是基礎(chǔ)題13（5分）（2012江蘇）如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若=，則的值是考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算專題：計(jì)算題分析：根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來(lái)表示，做出要用的向量的模長(zhǎng)，表示出要求

15、得向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量數(shù)量積等于0，得到結(jié)果解答：解：，=|=，|=1，|=1，=（）（）=2+2=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算本題解題的關(guān)鍵是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本題是一個(gè)中檔題目14（5分）（2013石景山區(qū)一模）對(duì)于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組（i1，i2，i3，in）（n是不小于3的正整數(shù)），若對(duì)任意的p，q1，2，3，n，當(dāng)pq時(shí)有ipiq，則稱ip，iq是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”，如數(shù)組（2，3，1）的逆序數(shù)等于2則數(shù)組（5，2，4，3，1）的逆序數(shù)等于8；若數(shù)組（i1，i2，i3，in）的逆

16、序數(shù)為n，則數(shù)組（in，in1，i1）的逆序數(shù)為考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理專題：新定義分析：由于數(shù)組中包含的數(shù)字比較少，數(shù)組（5，2，4，3，1）中的逆序可以列舉出共有8個(gè)，對(duì)應(yīng)于含有n個(gè)數(shù)字的數(shù)組中，首先做出任取兩個(gè)數(shù)字時(shí)可以組成的數(shù)對(duì)，減去逆序的個(gè)數(shù)，得到結(jié)果解答：解：由題意知數(shù)組（5，2，4，3，1）中的逆序有5，2；5，4；5，3；5，1；2，1；4，3；4，1；3，1逆序數(shù)是8，若數(shù)組（i1，i2，i3，in）中的逆序數(shù)為n，這個(gè)數(shù)組中可以組成C=個(gè)數(shù)對(duì)，數(shù)組（in，in1，i1）中的逆序數(shù)為n=，故答案為：8；點(diǎn)評(píng)：本題考查一個(gè)新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目條件中所給的條件，并且能

17、夠利用條件來(lái)解決問(wèn)題，本題考查排列組合數(shù)的應(yīng)用，考查列舉法，是一個(gè)非常新穎的問(wèn)題，是一個(gè)考查學(xué)生理解能力的題目三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（13分）（2013石景山區(qū)一模）已知函數(shù)（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c已知，a=2，求ABC的面積考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦定理專題：解三角形分析：（）利用兩角和差的正弦公化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為sin（2x+），令 2k2x+2k+，kz，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（）由已知，可得 sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦

18、定理求得b的值，由三角形內(nèi)角和公式求得C的值，再由 S=absinC，運(yùn)算求得結(jié)果解答：解：（）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x =sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k+，kz（）由已知，可得 sin（2A+）=，因?yàn)锳為ABC內(nèi)角，由題意知0A，所以 2A+，因此，2A+=，解得A=由正弦定理 ，得b=，（10分）由A=，由B=，可得 sinC=，（12分）S=absinC=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理以及根據(jù)三角函數(shù)的值求角

19、，屬于中檔題16（13分）（2013石景山區(qū)一模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)石景山古城地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示（）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來(lái)此地旅游，求當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；（）小王在此期間也有兩天經(jīng)過(guò)此地，這兩天此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)請(qǐng)計(jì)算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率；（）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5

20、監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列及期望考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；莖葉圖；離散型隨機(jī)變量的期望與方差專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（I）由莖葉圖可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，據(jù)此利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；（II）由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)據(jù)此可得得出其概率；（III）由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)，利用“超幾何分布”即可得出解答：解：（）記“當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A，因?yàn)橛?+4天PM2.5日均值在75微克/立方米

21、以下，故P（A）=（）記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)”為事件B，P（B）=（）的可能值為0，1，2，3由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級(jí)的有2天，空氣質(zhì)量為二級(jí)的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標(biāo)，而其余4天都超標(biāo)P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=的分布列如下表：0123PE=點(diǎn)評(píng)：正確理解莖葉圖和“空氣質(zhì)量超標(biāo)”的含義、古典概型的概率計(jì)算公式、超幾何分布、排列與組合的意義與計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵17（14分）（2013石景山區(qū)一模）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC=90°，PD面ABCDAD=1，BC=4（1

22、）求證：BDPC；（2）求直線AB與平面PDC所成角；（3）設(shè)點(diǎn)E在棱PC、上，若DE面PAB，求的值考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的性質(zhì)；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題專題：計(jì)算題；證明題分析：（1）根據(jù)余弦定理求出DC的長(zhǎng)，而BC2=DB2+DC2，根據(jù)勾股定理可得BDDC，而PD面ABCD，則BDPD，PDCD=D，根據(jù)線面垂直判定定理可知BD面PDC，而PC在面PDC內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BDPC；（2）在底面ABCD內(nèi)過(guò)D作直線DFAB，交BC于F，分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)（1）知BD面PDC，則就是面PDC的法向量，設(shè)AB與面PDC所成

23、角大小為，利用向量的夾角公式求出即可（3）先求出向量，設(shè)=（x，y，z）為面PAB的法向量，根據(jù)=0，=0，求出，再根據(jù)DE面PAB，則=0求出即可解答：解：（1）DAB=90°，AD=1，AB=，BD=2，ABD=30°，BCADDBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）BC2=DB2+DC2，BDDC，PD面ABCD，BDPD，PDCD=D，BD面PDC，PC在面PDC內(nèi)，BDPC（5分）（2）在底面ABCD內(nèi)過(guò)D作直線DFAB，交BC于F，分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立如圖空間坐標(biāo)系，（6分）由（1）知BD面PDC，就是面PDC的法向

24、量，（7分）A（1，0，0），B（1，0），P（0，0，a）=（0，0），=（1，0），（8分）設(shè)AB與面PDC所成角大小為，cos=，（9分）（0，）=（10分）（3）在（2）中的空間坐標(biāo)系中A、（1，0，0），B、（1，0），P（0，0，a）C、（3，0），（11分）=（3，a），=（3，a），=+=（0，0，a）+（3，a）=（3，aa）（12分）=（0，0），=（1，0，a），設(shè)=（x，y，z）為面PAB的法向量，由=0，得y=0，由=0，得xaz=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）由D、E面PAB得：，=0，3a+aa=0，=（15分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂

25、直的性質(zhì)，以及直線與平面所成角和與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，屬于中檔題18（13分）（2013石景山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax1lnx，aR（）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對(duì)x（0，+），f（x）bx2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問(wèn)題專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據(jù)不等式恒成立時(shí)所取的條件，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍即可解答：解：（）在區(qū)間（0，+）上，（1分）若a0，則f（x）0，f

26、（x）是區(qū)間（0，+）上的減函數(shù)； （3分）若a0，令f（x）=0得x=在區(qū)間（0，）上，f（x）0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；在區(qū)間上，f（x）0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+），無(wú)遞增區(qū)間；當(dāng)a0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（6分）（II）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處取得極值，所以f（1）=0解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意（7分）由已知f（x）bx2，則 （8分）令，則 （10分）易得g（x）在（0，e2上遞減，在e2，+）上遞增，（12分）所以g（x）min=，即 （13分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0

27、時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件19（14分）（2013天津模擬）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足，且ABAF2（）求橢圓C的離心率；（）若過(guò)A、B、F2三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程； （）在（）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，求的取值范圍考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合；直線與圓的位置關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題：綜合題分析：（）由題意知F1（c，0），

28、F2（c，0），A（0，b），由知F1為BF2的中點(diǎn)，由ABAF2，知RtABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出橢圓的離心率（）由，知，RtABF2的外接圓圓心為（，0），半徑r=a，所以，由此能求出橢圓方程（）由F2（1，0），l：y=k（x1），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此能求出m的取值范圍解答：解：（）由題意知F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），A（0，b）知F1為BF2的中點(diǎn)，ABAF2RtABF2中，BF22=AB2+AF22，又a2=b2+c2a=2c故橢圓的離心率（3分）（）由（）知得，于是，RtABF2的外

29、接圓圓心為（，0），半徑r=a，所以，解得a=2，c=1，所求橢圓方程為（6分）（）由（）知F2（1，0），l：y=k（x1），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，代入得（3+4k2）x28k2x+4k212=0則，y1+y2=k（x1+x22）（8分）由于菱形對(duì)角線垂直，則故x1+x22m+k（y1+y2）=0即x1+x22m+k2（x1+x22）=0，（10分）由已知條件知k0，故m的取值范圍是（12分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想20（13分）（2013石景山區(qū)一模）給定有限單調(diào)遞增數(shù)列xn（nN*，n2）且xi0（1in），定義集合A=（xi，xj）|1i，jn，且i，jN*若對(duì)任意點(diǎn)A1A，存在點(diǎn)A2A使得OA1OA2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱數(shù)列xn具有性質(zhì)P（）判斷數(shù)列xn：2，2和數(shù)列yn：2，1，1，3是否具有性質(zhì)P，簡(jiǎn)述理由（）若數(shù)列xn具有性質(zhì)P，求證：數(shù)列xn中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi