2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu)易錯(cuò)難題)含答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu) 易錯(cuò)難題)含答案一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為42，2MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié) BM , 作OD，BM,垂足為點(diǎn) D, C為線段OD上一點(diǎn)，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長(zhǎng)交半徑 OM于 點(diǎn)A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時(shí)，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，求 x的值.【答案】 證明見解析；(2) y x.(0 x 72)；(3) x 9 件 x ；22【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出

2、 OAXBAM,即可得出結(jié)論;(2)OAOE(3)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE=-1(亞 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,

3、DMBDME,AE=EM.AE OM=V2, . .AE=1(近 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x我)(3)1(i)當(dāng) OA=OC時(shí). DM BM 21 -OC 2OD,OM * 2 *DM 2 y.解得或x瓶八（舍）.22(ii)當(dāng) AO=AC時(shí)，則 / AOC=/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, / ACO>/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA時(shí)，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M, Z M=90° - a, a>45 :/

4、 BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，x的值為 E 衣.2- a> 90 a,勾股定點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì), 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2.在。中，點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A, B重合），/ACB=120,點(diǎn)I是/ABC的 內(nèi)心，CI的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)D,連結(jié)AD,BD.li(1)(2)(3)【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得 CI平分/ACB,可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證 得結(jié)論；(2)根據(jù)/ACB=120,

5、/ACD=/ BCD,可求出/ BAD的度數(shù)，再根據(jù) AD=BD,可證得 ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì)，證明 /BID=/IBD,得出 ID=BD,再本艮據(jù)AB=BD,即可證得結(jié)論；(3)連接DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓心，DIi為半徑的弧，根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出 AD的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn) E, F是弧AB ? 的三等分點(diǎn)，4ABD是等邊三角形，可證得 ZDAIi = ZAIiD,然后利用弧長(zhǎng)的公式可求出點(diǎn) I 隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).詳解：(1)證明：二.點(diǎn)I是/ABC的內(nèi)心.CI 平分 / ACB/ ACD=Z BCD,弧

6、 AD=M BD.AD=BD(2) AB=DI理由：. /ACB=120, /ACD=/ BCD / BCDX 120=60 °弧 BD=M BD/ DAB=Z BCD=60 °.AD=BD.ABD是等邊三角形，.AB=BD, /ABD=/ C.I是4ABC的內(nèi)心BI 平分 / ABC/ CBI=Z ABI Z BID=Z C+Z CBI, / IBD=/ABI+/ABD/ BID=Z IBD.ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如圖，連接 DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓. /ACB=120,°弧 AD=M BD / AED/

7、ACB=r X 120=60 °:圓的半徑為2, DE是直徑.DE=4, / EAD=90 °，AD=sin/AEDX DE= X 4=2 點(diǎn)E, F是弧AB ?的三等分點(diǎn)，ABD是等邊三角形， / ADB=60 ° 弧AB的度數(shù)為120； 弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40 °/ ADM=20 =/ FAB / DAIi=Z FAB+Z DAB=80° / AIiD=180 °-Z ADM- / DAIi=180 -20 -80 =80 ° / DAIi=Z AIiD.AD=IiD=2 弧I1I2的長(zhǎng)為：20fpe邛 _ 1瓦

8、130 一 9點(diǎn)睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)與定理，并對(duì)圓中的 弦、弧、圓心角、圓周角等進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透3.如圖，已知四邊形 ABCD是矩形，點(diǎn) P在BC邊的延長(zhǎng)線上，且 PD=BC OA經(jīng)過(guò)點(diǎn)B, 與AD邊交于點(diǎn)E,連接CE .(1)求證：直線PD是。A的切線；(2)若PC=2而，sin/P上，求圖中陰影部份的面積(結(jié)果保留無(wú)理數(shù)).3【答案】（1）見解析；（2） 20-4兀.【解析】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AHLPD,垂足為H,只要證明AH為半徑即可.（2）分別算出RtCED的面積，扇形 ABE的面積，矩形 ABCD的面積即可詳解：（1

9、）證明：如圖，過(guò) A作AHLPD,垂足為H,四邊形ABCD是矩形，.AD=BC, AD/ BC, / PCD叱 BCD=90 ,°，/ADH=/ P, /AHD=/ PCD=90 ,°又 PD=BC .-.AD=PD, .ADHADPC,AH=CD,.CD=AB,且AB是。A的半徑， .AH=AB,即AH是。A的半徑， .PD是。A的切線.CD 2(2)如圖，在 RtPDC中，.sin/P= 一，PC=275 ,PD 3令 CD=2x, PD=3x,由由勾股定理得：(3x) 2-(2x)2=(2j5)2,解得：x=2,，CD=4, PD=6,.AB=AE=CD=4 AD=B

10、C=PD=6 DE=2,1矩形ABCD的面積為6X 4=24RtCED的面積為一 X4X2=42一一12扇形ABE的面積為一兀X2=4 02圖中陰影部份的面積為 24-4-4兀=24兀.點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定，圓的切線證明，三角形的面積，扇形的面積，矩形 的面積.A,D4.如圖，在 ABC中， BAC 90 , ab AC 石，AD BC ,垂足為 D, 的。分別與AB,AC交于點(diǎn)E,F ,連接EF,DE,DF .(1)求證：ADE 且 CDF;(2)當(dāng)BC與。相切時(shí)，求。的面積.【答案】(1)見解析；(2) 一.4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知AD=CD Z1 = Z

11、 C=45°,由/ EAF=90°知EF是O O的直徑，據(jù)此知 Z2+Z 4=7 3+7 4=90°,得/2=/3,利用“ASAE明即可得；(2)當(dāng)BC與。相切時(shí)，AD是直徑，根據(jù)/C=45°、AC= J2可得AD=1 ,利用圓的面積 公式可得答案.詳解：(1)如圖，AB=AC, /BAC=90°,，/C=45°. 一 ，1 ,又AD，BC, AB=AC,/ 1= / BAG45 , BD=CD, Z ADC=90 .2又 / BAC=90 °, BD=CD,. AD=CD.又/EAF=90 ：EF是。的直徑，./EDF=9

12、0 ： . . / 2+/4=90又 /3+/4=90 °, ，/2=/3.在 ADE和 CDF中.1 CAD CD ,AADEACDF (ASA).2 3(2)當(dāng)BC與。相切時(shí)，AD是直徑.在 RtADC中，Z C=45 °, AC=石，AD一 12.sinZ C= , . AD=ACsinZ C=1,. OO 的半徑為一，OO 的面積為 .點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等 三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).5.如圖，4ABC 中，/A=45°, D 是 AC 邊上一點(diǎn)，。經(jīng)過(guò) D、A、B 三點(diǎn)，OD/

13、 BC. (1)求證：BC與。O相切；(2)若 OD=15, AE=7,求 BE的長(zhǎng).【答案】(1)見解析；(2)18.【解析】分析：(1)連接OB,求出/ DOB度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出/CBO=90,根據(jù)切線判定得出即可；(2)延長(zhǎng)BO交。于點(diǎn)F,連接AF,求出/ABF,解直角三角形求出 BE.詳解：(1)證明：連接OB.-.1 / A=45 ,°/ DOB=90 :1. OD/ BC, / DOB+/ CBO=180 :/ CBO=90 : 直線BC是。O的切線.(2)解：連接BD.則ODB是等腰直角三角形，/ODB=45； BD=/1OD=15/l, . /ODB=/ A,

14、/DBE=/ DBA,.-.DBEAABD,BD2=BE?BA(15'g 2= (7+BE) BE, .BE=18 或-25 (舍棄)， .BE=18.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.6.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D, BD=CD連接AD、AC.如圖1,求證：/BAD=/ CAD(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF± AB于點(diǎn)F交。0于點(diǎn)E延長(zhǎng)CF交。0于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)作EHI± AG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF;(3)如圖3,在(2)的條

15、件下，EH交AD于點(diǎn)L,若0K=1,AC=CG線段AL的長(zhǎng).AAuB圖D CG-Ebec(1)見解析(2)見解析 (3) 12、而5【解析】試題分析：(1)由直徑所對(duì)的圓周角等于90°,得到/ADB=90°,再證明AB4 4ACD即可得到結(jié)論；/GAB=/BEG.再證 KF瞌 ABFE 得到(2)連接BE.由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到BF=KF=- BK,由 OF=OB-BF, AK=AB>BK,即可得到結(jié)論.2(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=.先證CM垂直平分AG,得到通過(guò)證明AG®4CMG,得到AM=GM, / AGG/GCM=

16、90 °.再證 / GAF=/GCM =1BG=GM=-AG.再證明 /BGC=/MCG=.設(shè) BF=KF=a,2由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,可得 GF=2a, AF=4a.得到3a+2=4a,解出a的值，得到AF,HKAB GF FC 的值 由 tan a =tan HAK='''AHAK=6,可以求出AH的長(zhǎng).再由1tan BAD tan BCF 一 ,利用公式 tan 3Z GAD=45 ；則AL=72 AH,即可得到結(jié)論.tan GAFtan BAD，得到/ GAD= 1 tan GAF tan BA

17、D試題解析:解：(1) AB 為。的直徑，ZADB=90°,Z ADC=90°.BD=CD,(2)連接/ BDA=Z CDA AD=AD,AABD AACD,/ BAD=Z CAD. BE. BG=BG ,ZGAB=ZBEG.-.CF± AB, ./KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF. . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABFBF=KF= BKL2 OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.AED(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/

18、 GAB=.1 . AC=CG, 點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.1 OA=OG,點(diǎn)O在AG的垂直平分線上,2 .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGO/GCM=90 ：/ GAF=Z GCM =,° Z AGB=Z CMG=90 :-.AB=AC=CG,AAGBACMG,1BG=GM=-AG.2在 RtAGB 中，tan GAB tanGBAG / AMC=Z AGB= 90BG/ CM,. / BGG=Z MCG=設(shè) BF=KF=a, tan BGF tanBFGF1-,GF=2a, tan GAF tan 2GFAF3 . AFXCG, / AGC+/ GAF =90

19、 , .AB 為。的直徑，Z AGB= 90AF=4a. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,4 .a=2, AK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6.tan a6 . 5m=5HK 1=t anHAK=設(shè) KH=m,貝 U AH=2m ,，AK=dm2AH 2', . AH=2m=12而.在 RBFC中，(2m)2 =6,解得:tan BCFBFFC / BAD+ / ABD=90 °, / FBC+ / BCF=90tan

20、 BADtanBCF1一, . tan / GAD=3tan GAF tanBAD1 tan GAF tan BAD1,112 3/ GAD=45；.1.HL=AH,AL= 2 AH= 12 10 .57.如圖，AB是。的直徑，弦BC= OB,點(diǎn)D是ACi一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接BD 分別交OC, OE于點(diǎn)F, G.(1)求/ DGE的度數(shù)；(2)若CF = 1,求變的值；OF 2 GFCFSi(3)記CFB, 4DGO的面積分別為Si, S2,若 一=k，求 彳 的值.(用含k的式子表OFS2示)【答案】(1)/DGE= 60° (2)?; (3)-|1=-_k- .2S2k

21、1【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，可以求得/DGE的度數(shù)；(2)過(guò)點(diǎn)F作FHI±AB于點(diǎn)H設(shè)CF= 1,則OF=2, OC= OB= 3,根據(jù)勾股定理求出 BF的 BF.長(zhǎng)度，再證得 FG8 4FCB進(jìn)而求得 的值；GF(3)根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出色的值.S2【詳解】解：(1)BJ OB=OC,/ COB= 60 ；“1 一 。/ CDB= /COB= 30 ,2. OC= OD,點(diǎn)E為CD中點(diǎn), OEXCD),/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)過(guò)點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H設(shè)

22、 CF= 1 ,貝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 °.OH = OF= 1,2.HF= £oH= J3 , HB= OB- OH=2,在 RtBHF 中，BF 7HB2 HF2 后, 由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°, 又 ZOGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .-.FGOAFCB, .OF GFBF CF '2GF=- ,BF 7 =-.GF 2過(guò)點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H, 設(shè) OF= 1,則 CF= k, OB= OC= k+1,

23、/ COB= 60 ；11.OH= -OF=-， 22HF=、，30H 3 , HB=OBOH=k+；, 在 RtBHF 中，BF= VhBHF Jk2 k 1， 由(2)得：AFGOAFCB.GO OF_GO 1一，即 I 2i12，CB BF k 1 k k 1.GO,k2k 1過(guò)點(diǎn)C作CP，BD于點(diǎn)P / CDB= 30 °1PC= CD, 2點(diǎn)E是CD中點(diǎn),1.DE= -CD,2PC= DE,.DEXOE,k2 k 12S BF - k2 k 1 = 一= k 1=S2 GO .k 1；k2 k 1【點(diǎn)睛】圓的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角

24、形相似和 勾股定理、數(shù)形結(jié)合的思想解答.8.已知， ABC內(nèi)接于eO,點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，連接 PA、PB ;(1)如圖 1,若 AC BC,求證：AB PC;(2)如圖2,若PA平分 CPM ,求證：AB AC ;24(3)在(2)的條件下，若sin BPC ，AC 8,求AP的值.25圖1S2【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)2 55.【解析】 【分析】(1)由點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，可得出 AP=BP通過(guò)證明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AEC BEC進(jìn)而證明AB pc.(2)由PA是/ CPM的角平分線，得到 / MPA=Z APC,等量代換得到/ ABC=Z AC

25、B,根據(jù)等腰三 角形的判定定理即可證得 ab=ac.過(guò)A點(diǎn)作AD± BC,有三線合一可知 AD平分BC,點(diǎn)O在AD上，連結(jié) OB,則/ BOD= / BAC,根據(jù)圓周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得BDsin BOD sin BPC ，設(shè)OB=25x ,根據(jù)勾股定理可算出 OB、BD> OD、AD的 OB長(zhǎng)，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【詳解】解：(1) 丁點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，如圖1, .AP=BP, 在 APC和 BPC中AP BP AC BC , PC PC .APCABPC (SS§ , / ACP

26、= / BCP,在 ACE和 BCE中AC BCACP BCP, CE CE .ACEABCE (SAS , / AEC= / BEC / AEG/BEC= 180 ；/ AEC= 90 ； ABXPC;(2) PA平分/CPM, / MPA= / APC, / APO / BPG/ ACB= 180 ； / MPA+Z APC/ BPC= 180 ； / ACB= / MPA= / APC, / APC= / ABC, / ABC= / ACB, .AB= AC;(3)過(guò)A點(diǎn)作ADXBCx BC于D,連結(jié)OP交AB于E,如圖2,卸由（2）得出AB= AC, AD 平分 BC, .點(diǎn)O在AD上

27、， 連結(jié) OB,貝U / BOD= / BAC, / BPC= / BAC,24 BD sin BOD sin BPC =,25 OB設(shè) OB= 25x,貝U BD= 24x, OD= Job2 bd2 =7x，在 RtVABD 中，AD= 25x+7x=32x, BD= 24x, AB= a/adB5T=40x，,.AC= 8,.-，AB=40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD= 4.8, OD=1.4, AD= 6.4,丁點(diǎn)p是AB的中點(diǎn)， OP垂直平分AB,1，-。 AE=_AB= 4, /AEP=/AEO= 90 ,2在 Rt AEO 中，OE= Aoq2 ae2 3,PE=

28、 OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt APE 中，AP= Jpe2 AE2 ，22 42 2后【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)圓的綜合題，考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三線合一，是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般以壓軸題形出現(xiàn)，難度較大9.如圖，。是4ABC的外接圓，AB是直徑，過(guò)點(diǎn) O作ODLCB,垂足為點(diǎn) D,延長(zhǎng)DO 交。O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作PE! AB,垂足為點(diǎn)P,作射線DP交CA的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接EF,1）證明見解析；（2）證明見解析.FE是。的切線.【解析】試題分析：（3）連接 試題解析：(2)證明POEADO可得 DO=EQAE, BE,證出APEAFE即可得出結(jié)論.

29、(1) Z EPO=Z BDO=90 / EOP=Z BODOE=OB.-.OPEAODB .OD="OP"(2)連接 EA, EB.1. / 1 = / EBC, AB是直徑/ AEB=Z C=90 °/ 2+/ 3=90 ° / 3=/ DEB / BDE=90 ° / EBC叱 DEB=90.1. / 2=/ EBC4 1 / C=90 °Z BDE=90 .CF/ OE/ ODP=Z AFP .OD=OP/ ODP=Z OPD / OPD=Z APF/ AFP=Z APF.AF=AP 又 AE=AE.APEAAFE/ AFE=

30、Z APE=90/ FED=90 °.FE是。O的切線 考點(diǎn)：切線的判定.10.如圖，已知：AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上，CD是。的切線，AD± CD于點(diǎn)D,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交。O于點(diǎn)F,連接OC、AC.(1)求證：AC平分/DAO.(2)若 / DAO=105 , / E=30°求/OCE的度數(shù);若。的半徑為2處，求線段EF的長(zhǎng). EF =2.3-2.【答案】(1)證明見解析；(2)/OCE=45;【試題分析】(1)根據(jù)直線與OO相切的性質(zhì)，得 OC,CD.又因?yàn)锳D± CD,根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得： AD/O

31、C. /DAC=/ OCA.又因?yàn)镺C=OA,根據(jù)等邊對(duì)等角，得 / OAC=/ OCA.等量代換得： / DAC=Z OAC根據(jù)角平分線的定義得：AC平分/ DAO.(2) 因?yàn)锳D/OC, ZDAO=105,根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，/EOC=Z DAO=105,° 在 OCE 中，/E=30 利用內(nèi)角和定理，得： ZOCE=45. °作OGL CE于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理可得 FG=CG因?yàn)镺C=2J2，/ OCE=45 .等腰直角三 角形的斜邊是腰長(zhǎng)的 衣 倍，得CG=OG=2. FG=2& RtA OGE中，ZE=30°,彳導(dǎo)GE=2J3 , 則

32、 EF=GE-FG= ,3-2.【試題解析】(1) :直線與。O 相切,OCX CD.又 ; AD± CD, .-.AD/OC./ DAC=Z OCA.又 OC=OA/ OAC=Z OCA./ DAC=Z OAC. AC平分 / DAO.(2)解：-. AD/OC, ZDAO=105 , . . / EOC4 DAO=105 / E=30 ,°/ OCE=45. °作OGL CE于點(diǎn)G,可得FG=CG. OC=2 &，/ OCE=4 5.CG=OG=2.FG=2. .在 RtOGE中，/ E=30.GE=2石.EF=GE-FG=2 .3-2.【方法點(diǎn)睛】本

33、題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等 .11.如圖，在 4ABC中，AB= AC,以AB為直徑的。與邊BC交于點(diǎn)D, D已 AC,垂足為 E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：EF是。的切線；(2)若/C= 60 °, AC= 12,求?D 的長(zhǎng).(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的長(zhǎng).【答案】 見解析；(2) 2/(3)”.3【解析】分析：(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,從而得到ZC=Z ODB,根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得到 OD/AC,從 而得證

34、ODL EF,即EF是。的切線；1(2)根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，由 AB=AC=12,求得OB=OD=：AB=6,進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的判定得到OBD是等邊三角形，即 ZBOD=600,從而根據(jù)弧長(zhǎng)公式七屆即可；(3)連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，由在R9DEC中，tanC 匹 2設(shè)CE=xMCE一 AE 一DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三DE角形的判定與性質(zhì)求解即可 .詳解：(1)連接 OD AB=AC . / ABC玄 C . OD=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODB . .OD/ AC又DE，AC OD±

35、DE,即 OD± EF .EF是。的切線(2) AB=AC=12 OB=OD=1 AB =6 2由(1)得：Z C=Z ODB=600 OBD是等邊三角形/ BOD=6001- Bd = 6' 6 2 即 Bd 的長(zhǎng) 2 180(3)連接 AD-DE，AC /DEC=Z DEA=9C0在 RtDEC中，tanC DE 2 設(shè) CE=x,J DE=2x CE AB 是直徑/ ADB=Z ADC=900 / ADE+/ CDE=900 在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=900一 AE _/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 DE AE=8,DE=

36、4 則 CE=2 .AC=AE+CE=10直徑 AB=AC=10 貝U OD=OB=51.OD/AEAODFAAEFOF OD 口u BF 5 5一 即：AFAEBF 10 8解得:10BF=即BF的長(zhǎng)為10 .點(diǎn)睛：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形以及 相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用.12.如圖，AB為e O的直徑，C、D為e O上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD ,過(guò)點(diǎn)C作CE DB ,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E ,垂足為點(diǎn)E ,直徑AB與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F .(1)連接 AC、AD ,求證： DAC

37、 ACF 180(2)若 ABD 2 BDC.求證：CF是e O的切線.3 ,當(dāng)BD 6 , tan F 一時(shí)，求CF的長(zhǎng).4，_20【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；CF 20.3【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理證得 /ADB=90,即AD± BD,由CH DB證彳導(dǎo)AD/CF,根據(jù)平行線 的性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2) 連接OC.先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出/3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/ DB,再由CH DB,得到OC, CF,根據(jù)切線的判定即可 證明CF為。O的切線； 由 CF/ AD,證出 ZBAD=ZF,得出 tan / BAD

38、=tan/F=BD =: ,求出 AD=： BD=8,利OC 3用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF="=,即可求出CF.CF 4【詳解】解：(1) AB是e O的直徑，且D為e O上一點(diǎn)，ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 ,CF /AD ,DAC ACF 180 .(2)如圖，連接OC.QOA OC,12.Q 312,3 2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC為e O的半徑，CF為e O的切線.D由（1）知 CF /AD ,BAD F , 3 tan BAD tanF

39、, 4BD 3.AD 4Q BD 64AD BD 8 , 3AB462 82 10，OB 0c 5.QOC CF ,OCF 90 ,tanFOC CF解得CF203本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果.13.（問題情境）如圖1,點(diǎn)E是平行四邊形 ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接 BE、CE（說(shuō)明：S表示面積）求證：SVBCE- S平行四邊形ABCD.2請(qǐng)以問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究(探究應(yīng)用1)如圖2,以平行四邊形 ABCD的邊AD為直徑作OO,。與BC邊相切于點(diǎn) H,與BD

40、相交于點(diǎn)M.若AD= 6, BD=y, AM = x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(探究應(yīng)用2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，點(diǎn) F在CD上，連接 AF、BF, AF與CE相交于點(diǎn) G,若 AF= CE,求證：BG平分 /AGC.(遷移拓展)如圖 4,平行四邊形 ABCD中，AB: BC= 4: 3, Z ABC= 120°, E是AB的中 點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF： FC= 2： 1,過(guò)D分別作DGLAF于G, DHI± CE于H,請(qǐng)直接寫出 DG: DH的值.【答案】【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用1】y 18；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移x拓展】 19:2,7.【解析】【分析】

41、1(1)作EF± BC于F,則熱bce= BCX EFS平行四邊形abcd= BO EF即可得出結(jié)論；2(2)連接OH,由切線的T生質(zhì)得出 OH,BC, OH= 1 AD= 3,求出平行四邊形 ABCD的面2積=人OH= 18,由圓周角定理得出 AMLBD,得出4ABD的面積=-BDX A陣工平行四22邊形的面積=9,即可得出結(jié)果；1 一 ，一(3)作BMLAF于M, BNLCE于N,同圖1得：4ABF的面積=4BCE的面積=一平行211.四邊形ABCD的面積，得出 一AFX BM= CEX BN證出BM= BN,即可得出BG平分22ZAGC.(4)作APL BC于P, EQ! BC

42、于Q,由平行四邊形的性質(zhì)得出 /ABP= 60°,得出/ BAP=30°,設(shè)AB=4x,則BC= 3x,由直角三角形的性質(zhì)得出BP= - AB= 2x, BQ= 1 BE, AP=22J3BP= 2j3x,由已知得出 BE= 2x, BF= 2x,得出 BQ=x, EQ= J3x, PF= 4x, QF= 3x, QC= 4x,由勾股定理求出 AF= Jap2 pf2 =2。x, CE= JeQ2 QC2 = 、,19x,連接DR DE,由三角形的面積關(guān)系得出AFX DG CEX DH即可得出結(jié)果.【詳解】 (1)證明：作 EF± BC于F,如圖1所示：1 _貝U

43、 Sabce= BCX EF S 平行四邊形 abcd= BCX EF2SVBCE 二 SYABCD 2解：連接OH,如圖2所示: 。0與BC邊相切于點(diǎn)H,入一八1 OHXBC, 0H= -AD=3, 2，平行四邊形 ABCD的面積=ADX OH6X3=18,.AD是。的直徑，/ AMD =90 °,.-.AM ±BD, .ABD的面積=1 BDX AM= 1平行四邊形的面積= 9,22_ 1即一xy = 9,2 V與x之間的函數(shù)關(guān)系式 y=； x(3)證明：作8“，人5于”，BNXCET N,如圖3所示：m "，一，一 1 一,，一一同圖1得：4ABF的面積=4

44、BCE的面積=平行四邊形 ABCD的面積，21 AFX BM= 1CEX BN2 2 .AF=CE.BM = BN, BG 平分 / AGC.(4)解：作 APIBC于P, EQ± BC于Q,如圖4所示：.平行四邊形 ABCD中，AB: BC= 4: 3, Z ABC= 120；/ ABP= 60 ；/ BAP= 30 °,設(shè) AB= 4x,貝U BC= 3x,.BP= 1AB= 2x, BQ= 1 BE, AP= 73 BP= 2 J3x, 221 E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF: FC= 2: 1,.BE=2x, BF= 2x,.BQ=x,，EQ=mx, PF=4x

45、, QF=3x, QC=4x,由勾股定理得：af= Jap2pf 2 =2 J7x, ce= J eq2_qc2 = J19x,1 一連接DF、DE,則CDE的面積=4ADF的面積=平行四邊形 ABCD的面積,2 AFX DGCEX DH DG: DH= CE AF= 19x :2. 7x ;石：2、一7.【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，需要添加輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.14.如圖1, OO的直徑AB=12, P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B, C不重合），/ ABC=30 過(guò)點(diǎn)P作PD，OP交。于點(diǎn)D.（1）如圖2,當(dāng)PD/ AB時(shí)，求 PD的長(zhǎng);1（2）如圖3,當(dāng)弧DC=MAC時(shí)，延長(zhǎng) AB至點(diǎn)E,使BE=