專題講座《高三數(shù)學圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》

1、“取勢、明道、優(yōu)術”高三數(shù)學圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究（2020年6月12日）數(shù)學教學中的“取勢、明道、優(yōu)術”，意指教師要順應數(shù)學教改的潮流；懂 得數(shù)學育人的原則，掌握提高數(shù)學教學質量的規(guī)律；提高教育教學能力，優(yōu)化數(shù) 學教學方法。只有這樣，才能使自己的教師專業(yè)化發(fā)展不斷取得進步。一年一度的高考過后的熱門話題是成績， 社會關注，媒體最愛，學校和教師 心中總是百般滋味、愛恨交織。“以考為鏡，可以明得失”，高考可以反饋、診 斷和評價高三復習的成效與得失，作為一線教師更多地會從教學實踐中反思自己 的教學行為和復習得失。一、“成也基礎，敗也基礎”是高考成敗的不二定律“成也基礎，敗也基礎”是每年高考

2、過后最常聽到的一句話， 雖然每年高考 數(shù)學的主基調基本穩(wěn)定，不少考題類型見過、講過、做過，可是考試結果還是傷 痕累累，花了大工夫但收效不盡如人意。以圓錐曲線綜合題為例，教學成效總是 長期徘徊在較低水平上，成為高考數(shù)學丟分的大戶，其中的酸甜苦辣只有親歷者 才深有體會。解析幾何涉及的基礎面大、技巧多、運算繁、交匯多，一個問題的理解與解 決，往往生發(fā)于簡單，卻紛繁于變化，“一千個觀眾就有一千個哈姆雷特”，作 圖、設點、列式求值、檢驗、作答，每一步看似都是“規(guī)定動作”，演變卻各有 巧妙，得分也是天差地別。2 例如（2018年高考全國卷II理19）設拋物線C： y 4x的焦點為F，過F且 斜率為k（k

3、0）的直線丨與C交于a，B兩占 |AB| 8八，（1）求I的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切 的圓的方程。分析：第（1）問AB捲X2p尋sin第（2）問，在拋物線中以焦點弦為直徑的圓與準線相切。該題第問考查了直線與拋物線的位置關系和拋物線定義， 第問重點考 查圓的幾何性質和方程的思想。就試題難度而言，只能屬中低檔題，但是考后調 查發(fā)現(xiàn)，考生普遍得分在5分到7分之間，可見得分并不高。失分原因何在 ?一 是求直線斜率用的是弦長公式而不是拋物線定義， 運算量增大導致結果錯誤，二 是缺乏整體消元意識，導致二元二次方程組不會解或錯解。 本質上，失分的主要 原因是拋物線的定義沒用上，以及運算能力不

4、強。當下“基礎”問題常見的有以下病癥和糾結：（1）任務焦慮癥盲目追高癥（3）低質重復癥（4）目標窄化癥（5）教學淺表化，等等。抓好基礎難就難在教學 中各種因素和關系的平衡與理順。基礎與提高、講評與練習、時間與空間、教材 與教輔、培優(yōu)與補差等要素之間相互均衡與辯證轉化。二、“考什么，學什么，怎么學”是備考的關鍵命題“考什么，學什么，怎么學”是高考備考的最大命題，高三教學成效如何的 一個重要因素在于是否能夠做到靶向考點、精準復習、科學備考。2020年1月，教育部考試中心發(fā)布中國高考評價體系和中國高考評價體系說明。如果不了解“一核四層四翼”的高考評價體系（一核:立德樹人、服務選才、引導教學；四層:核

5、心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力和必備知識；四翼： 基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性），教學便難以立于高處，高瞻遠矚；如果沒有 仔細閱讀課程標準、考綱等微小變化，便難以精準定位復習要求；如果沒有仔細研究近年的全國卷，便難以了解全國卷較之往年對閱讀能力、應用能力和創(chuàng)新能 力考査有新的視角，難以發(fā)現(xiàn)全國卷在解析幾何中很重視考査幾何作圖和幾何知 識應用的能力，很重視圓在研究直線與圓錐曲線位置關系中的“搭臺”作用，等 等。三、“停下來，等一等靈魂”是治療教學病癥的良方益藥應試教學拼的是經驗的多寡和解法的“花拳繡腿”，解題雖是考試王道，但 思想才是數(shù)學正道。沒有思想的深刻錘煉，缺乏數(shù)學理解，難有考試時的自如應

6、用和隨機應變?！敖逃且豢脴鋼u動著一棵樹，一朵云推動著一朵云，一個靈魂 喚起一個靈魂”，數(shù)學教學理當要用理性精神和獨立思考的品質去滋養(yǎng)和推動學 生核心素養(yǎng)的提升，要用數(shù)學的本質內涵和扎實的基礎知識為學生的未來發(fā)展做 堅實的準備。2017年8月至2018年8月本人主持泉州市小課題 高三文科數(shù)學圓錐曲 線綜合題解題障礙及策略研究，課題經過一年多時間的研究與實踐， 獲得初步 成效。實踐成果方面有：（一）提高了學生學習的主動性、積極性。學生在這道圓錐曲線綜合題得分有所提高，重點提升了學生直觀想象、數(shù)學 運算、邏輯推理素養(yǎng)。（二）促進了課題組教師的專業(yè)成長。泉州市小課題高三文科數(shù)學圓錐曲線綜合題解題障礙

7、及策略研究主持人：毓英中學曾慶國研究時間：2017年8月至2018年8月成果形式（17年至今）具體成果教學論文（8篇）論文解析幾何點的坐標冋題的處理策略榮獲泉州市咼中數(shù) 學咼效教學微策略論文評選三等獎。論文常見臨界值冋題歸 類發(fā)表于福建中學數(shù)學；橢圓中一類最大角問題的剖析 發(fā)表于福建中學數(shù)學；例談圓錐曲線中直線過定點問題的處 理策略福建中學數(shù)學；圓錐曲線綜合題中“三角形面積問 題”的破解策略發(fā)表于考試周刊；運用對稱思想破解圓錐 曲線綜合題發(fā)表于教學研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）；巧用一元二次方程破解圓錐曲線綜合題發(fā)表于教學研究與 探索（金井片區(qū)論文匯編）；2014年高考福建卷理科第19 題的改

8、編與推廣教學研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）優(yōu)課圓錐曲線中的三角形面積問題獲 2019年晉江市級優(yōu)課微課微課圓錐曲線中的三角形面積問題獲 2018年晉江市高中 畢業(yè)班教學關鍵問題“微課”評選二等獎作業(yè)設計評選圓錐曲線與方程獲2020年晉江市中學作業(yè)設計評選高中 作品一等獎命題比賽獲20192020學年高中數(shù)學學科命題、析題競賽評選三等獎（三）高三數(shù)學圓錐曲線綜合題的解題障礙及策略研究解題策略就是解題過程的優(yōu)化，即策略優(yōu)化。1. 策略優(yōu)化，意義何在所謂解題策略，就是解決數(shù)學問題的思想方法，是為了實現(xiàn)解題目標而采取 的方針，同時也是增強效果、提高效率的藝術。首先，解題策略的層次比較高，適用面比較廣，

9、它以其全局性的指導意義而 區(qū)別于具體的解題技巧；它是解題思想轉化為解題操作的橋梁，是求解具體問題 的方針、策略。其次，良好的解題策略可優(yōu)化解題過程、節(jié)省探索時間、減少失敗次數(shù)，體 現(xiàn)了選擇的機智和組合的藝術。再次，從學生解答高考圓錐曲線綜合題的情況看， 相當多的毛病出現(xiàn)在運算 上，究其原因，往往由于或方法選擇不當或運算不合理（策略意識差），造成中途 擱淺或結果出錯。老師在教學中也有這樣的感覺，學生解題很少講究策略，拿到 題目就瞎撞亂碰，而運算時也是毫無目標意識，不講究運算是否合理，盲目性較 大。因此，研究如何增強圓錐曲線綜合題的解題策略意識， 提高運算的速度和準 確度，就顯得很有必要和非常迫切

10、。第四，對解題策略的掌握和運用， 直接影響著一個人能力的提高與素質的發(fā) 展。所以這些年高考數(shù)學明確指出重點考查數(shù)學思想與方法 (即解題策略 )，這也 是素質教育的必然走向。2. 解幾學習，障礙分析解析幾何是中學數(shù)學的重要內容， 它涉及的知識深廣， 方法靈活多變， 是學 習的重點和難點，也是歷年高考的熱點。學生普遍認為，解析幾何難，難在方法 多樣，運算復雜，見了生畏。原因何在 ?(1) 缺乏對向量語言的翻譯能力和應用能力 平面向量具有代數(shù)與幾何形式的“雙重身份”，并融數(shù)、形于一體，成為中 學數(shù)學知識的一個重要交匯點， 而以向量為背景的解析幾何題自然貼切， 在近幾 年高考中成為一個重要熱點。 常見

11、的命題形式有兩種， 其一， 解析幾何題題設條 件通過向量的語言來描述， 體現(xiàn)出向量知識在解析幾何中的滲透， 在知識交匯點 處命題; 其二，向量作為一種工具，可以用向量方法來解決解析幾何問題，從高 考答題情況來看， 一部分學生不能從眾多的數(shù)學符號和式子中理出個頭緒來， 無 力解答問題。還有一部分學生過早地把向量符號坐標化，由于設“元”太多，而 陷入復雜的運算，從而迷失了方向。如果解析幾何題的敘述方式以向量語言為主， 這就要求解答者首先要把向量語言轉化為圖形語言， 再對幾何圖形作出整體的分 析，然后通過坐標思想求解。(2) 沒有掌握基本的運算方法，沒有形成基本的運算能力 由于解析幾何題綜合性強、

12、運算繁雜， 學生極易產生畏懼心理， 考試時采取 放棄的策略， 從而平時也不重視解析幾何的復習， 導致放棄了一些在能力范圍內 的題，實在可惜。做不下去的關鍵原因是沒有抓住要領， 死記硬背公式， 不能靈活應用知識解 決實際問題。 運算煩瑣也是因為不知道每個公式的適用場合， 亂用公式人為導致 運算復雜， 最終不得不放棄。 其實解析幾何中的公式并不多， 只是必須記住該記 的。主要公式如兩點之間的距離公式，弦長公式等等。(3) 不會選擇合理的運算途徑，走不出運算量大的魔圈i 平幾滲透，數(shù)形結合。解析幾何首先是幾何問題，一味強調解析幾何中的 代數(shù)運算有時會導致煩瑣的運算過程， 必要時要綜合考慮幾何因素，

13、即在用代數(shù) 方法研究曲線間關系的同時， 充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質， ?？?得到簡捷而優(yōu)美的解法。ii 注意轉化條件，優(yōu)化解題方法。解析幾何中有一些基本問題，如兩直線 垂直的證明(向量、斜率)、求弦的中點(點差法)、弦長的計算等等，這些問 題的處理方法是熟知的。 但有不少題目， 所給的條件無法直接使用， 或者使用起 來比較困難， 此時，可考慮對條件進行適當?shù)霓D化， 使解題過程納入到已經熟悉 的軌道。iii 巧設方程，方便計算。方程形式對運算也起著很重要的作用，如在解決 直線與圓錐曲線位置關系時，過定點（b , 0）的直線可設為x=my+b這樣不僅可 回避對直線斜率是否存在的分類討論

14、， 而且可以簡化運算、 優(yōu)化解題過程、 提高 解題速度。另外，當遇到多條直線時，應抓住具有共同特征的直線，根據(jù)其共同 特征設直線方程，才能使運算簡單，問題得以解決。iv 克服思維定勢，提高解題能力。思維的定勢在運算中有積極的一面，也 有消極的影響，當學生掌握了某一種知識 （方法）往往習慣用這種知識 （方法） 去思 考問題，可以使思維容易集中，使思維很快進入到問題的關鍵，但是，思維的定 勢也會出現(xiàn)思維的情性和失去靈活性， 會影響運算的速度， 使運算過程繁冗不堪， 并且更容易進入思維的死胡同。3. 解除障礙，樹立信心為切實解除學習解析幾何的障礙。（1）狠抓審題能力的培養(yǎng)在遇到新穎的題型或條件時，

15、學生往往被表象所迷惑， 感到無從下手或不能 找到恰當?shù)那腥朦c，導致思維短路、運算錯誤，而不能正確解答。在講解例題時 教師不應在例題出示以后急于給學生提示或點撥， 應給出充分的時間讓學生積極 思考，讓學生在充分思考、互動交流的基礎上自我發(fā)現(xiàn)恰當?shù)慕忸}思路。（2）培養(yǎng)解析幾何運算的信心，養(yǎng)成良好的運算習慣。解析幾何的運算量大， 有的學生對提高運算能力缺乏足夠的重視， 他們總是 覺得懂就行，只要我考試時認真算就行 ; 也有老師只著重解題方法和思路的引導， 而忽視對運算過程的合理性、 簡捷性的必要指導。 這樣不僅影響了學生思維能力 的發(fā)展，也必然影響教學質量的提高。 所以教學時要狠抓運算功， 確立以解

16、題訓 練為中心的課堂教學模式。 引導學生在確立解題思路后踏踏實實地按步驟把題做 出來。只有做出來才能發(fā)現(xiàn)自己的問題，也只有做出來才能樹立解題信心。（3）理性認識解題過程，讓教學賦有邏輯普通高中數(shù)學課程標準（ 2017年版）第 45頁指出： 學業(yè)要求 能夠掌握平 面解析幾何解決問題的基本過程 : 根據(jù)具體問題情境的特點，建立平面直角坐標 系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點， 用代數(shù)語言把幾何問題轉化成為代數(shù)問題 ; 根據(jù) 對幾何問題 （圖形） 的分析，探索解決問題的思路 ; 運用代數(shù)方法得到結論 ; 給出代 數(shù)結論合理的幾何解釋，解決幾何問題。平面解析幾何研究的對象是幾何圖形， 研究方法是在平面直角坐

17、標系的平臺 上，用代數(shù)的知識和方法。2 2例設A,B分別為橢圓二爲1 a b 0的左、右頂點，橢圓長半軸的長 a b等于焦距，且橢圓上的點到右焦點距離的最小值為1（1）求橢圓的方程；（2）設P為直線x 4上不同于點4,0的任意一點,若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于 A,B的點M ,N，證明：點B在以MN為直徑的圓內。解：（1）依題意可得2c，且到 右焦點距離的最小值為a c 1yP、M/、/可解得：a 2,c7b(4,C2x橢圓方程為一4解：由（1）可得2,0 ,B 2,0，設直線AM ,BN的斜率分別為k，M x1,y1，則AM : y聯(lián)立AM與橢圓方程可得:y k3x24y212，消去

18、 y 可得：4k23 x216k2x 16k212 0XaX116k2124k2X16 8k24k232k12k4k236 8k212k，即 M 2，-4k23 4k23設 P 4,y。，因為P在直線AM上，所以 y0 k 4 2 6k，即 P 4,6kBP 2,6k ,BM16k24k234k232 k24k2312k6k 4k 340k2廠0MBP為銳角,MBN為鈍角M在以MN為直徑的圓內對幾何對象的幾何特征的分析可以結合它們的圖形， 對幾何圖形研究的深度 決定了代數(shù)化過程中運算量的大小。在圓錐曲線綜合性問題的教學中，要突出解析幾何的研究問題的一般方法， 要能夠明確用代數(shù)方法解決幾何問題的

19、幾個關鍵的步驟 ：i要能夠根據(jù)問題的條件，讀出幾何對象的幾何特征。從兩個方面去分析:對于單個的幾何對象，要研究它的幾何性質，對于不同的幾何對象，要關注它們 之間的位置關系。在此基礎上作出圖形，直觀地表達出所分析出來的幾何對象的 幾何特征。ii在明確了幾何對象的幾何特征的基礎上，要進行有效的、合理的代數(shù)化。 包括幾何元素的代數(shù)化、位置關系的代數(shù)化、所要研究問題的目標的代數(shù)化等。iii進行代數(shù)運算。包括解所聯(lián)立的方程組、消去所引進的參數(shù)、運用函數(shù) 的研究方法解決有關的最值問題，等等。iv根據(jù)經過代數(shù)運算得到的代數(shù)結果，分析得出幾何的結論。幾何鎔論單亍幾何對魚幾何特征解析幾何綜合問題的思推途程聯(lián)立方

20、風晁數(shù)運算肅鑫嗡數(shù)性，質運用不同幾何對章代數(shù)化幾何元素2 2例已知橢圓C:務每a b1(a b 0)的離心率為手，短軸長為2。過點P(0,2)的直線I與橢圓C交于A B兩點,(I )當直線I的斜率為2時，求 AOB的面積。(II )當AOB面積取得最大值時，求直線I的方程。解：(I )第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。本問題中,由橢圓的幾何特征，先求出橢圓方程。直線I與橢圓相交相交于A B。 第二步，進行代數(shù)化。解得1.由題元素代數(shù)化：由已知得 e £7,2b 2.a 22 2 2 2 2 b 1.可得與 旦2 a 2一,即a2=2.所以橢圓C的方程為 y2a aa 2

21、2意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y 2x 2, A(X1,yJ, B(X2, y2)位置關系代數(shù)化:由直線I與橢圓相交于問題目標代數(shù)化:S AOBy 2x 22X 2 y2B兩點。1-|AB|d2，消去y得關于x的方程：9x2116x60.第三步，代數(shù)運算 由韋達定理得16923XiX2Xi X2AB 1k2 x1X2k2 ；(% x2)2-4 x1x210 292、.109(II )解法一：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征I與橢圓相交相交于A B點。到直線1的距離d晉S AOB12|AB|d本問題中，由橢圓的幾何特征，先求出橢圓方程。直線 第二步，進行代數(shù)化元素代數(shù)由已

22、知得2b 1.可得與a2 .2a b2aa2 12 a意知直線I的斜率存在，設直線位置關系代數(shù)化:2 2(1 2k )x 8kx 60 。2 2064 k224(1 2k2)丄,即a2=2.所以橢圓2l的方程為yy kx 2遼2由直線0.解得k2與32.問題目標代數(shù)化：S AOB-|AB|d2第三步，代數(shù)運算。 由韋達定理得8k1 2k261 2k22" k '4k 6.原點O到直線l的距離X-Ix2Xi|X21 2k2AB.1 k2e £-1,2ba 22C的方程為-22.解y21.由題kx 2, A( X1, yJB(X2, y2).，消去y得關于x的方程：橢圓

23、相交于A B兩點，.1 k2,x2)2-4 x1x2d 宀 Saob 2|AB|d 2k.1 k221 2k2設 m 、2k2 3(m0)，則 2k2 m2 3.S AOB2、2m 2、2-.24當且僅當m4,即 m 2 時，Smaxm子此時k42 'mm丄.所以，所求直線方2程為y 土 x2解法二：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征 橢圓相交相交于A B。第二步，進行代數(shù)化。2.本問題中，直線元素代數(shù)c -1,2b a 21x2丄，即a2=2.所以橢圓C的方程為22由已知得 e2.2b 1.可得C2 a意知直線I的斜率存在且不為零則直線I與x軸的交點D( 2,0).ky位

24、置關系代數(shù)化：由X22(1 2k2 )x2 8kx 60 .由直線2 ,2a b2aa21a21.由題.設直線 I 的方程為 y kx 2, A( x1, y1), B(x2, y2)，kx064k224(1 2k2)0.解得 k2問題目標代數(shù)化: 方1： S AOB2|0D |yi y2|方法 2 ： S AOB S POB1 2J嚴12S POA第三步，代數(shù)運算。3(m 0)，則 2k2當且僅當m2時，Smaxkx2X23.，消去y得關于x的方程：橢圓相交于A、B兩點，2|Xi|XiX2 |X2X-IAOB2.此時k22、2 2k231 2k22、2、2k231 2k22jmm242 2.

25、242mmi_于.所以，所求直線方2.如圖，已知直線l：y2x 2與拋物線C : x22y交于A B兩點，0為坐標原點，若拋物線上一動點 解：方法一P從A到B運動時，求ABP面積的最大值.第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。直線與拋物線相交于A B兩點，拋物線上動點P從A到B運動。 第二步，進行代數(shù)化。1元素代數(shù)化：設 A(x,y,), B(x2,y2), P(t,t匚8 2. )( 2 2 2 t 2 2.2)2位置關系代數(shù)化：由 ¥2 2X 2，得x2 4x 4 0x 2y問題目標代數(shù)化：S ABP - | AB | d2第三步，代數(shù)運算。ABJik2J(x-X2)2

26、-4x-X2Ji22J(4)2-4( 4)4麗AB | 為定值。當點P到直線1的距離d1 22t -t2 21 2-t2 2t 2d22,又2J22 ( 1)2V5dmax '. 當P點坐標為(2,54幣遼 _最大時， ABP的面積最大.而2 2 t 2 2 .2, 當 t 2 時，2)時，ABP面積的最大值為方法二 第一步，直線與拋物線相交于A、B兩點，拋物線上動點P從 A到B運動。第二步，進行代數(shù)化。元素代數(shù)化：設 A( xi, y-), B( X2, y2), P(x°,yo),依題意，知當拋物線在點P處的切線與I平行時，ABP的面積最11大。I y' x, x

27、o作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。位置代數(shù)化：由問題目標代數(shù)化:2, P( 2, 2).2,可得 y°2 x022X 2 得 2，得x2y1-|AB|d運算。此4x第三步，代2( 2)( 2) 245直線I的距離為AB4 -Tq，故ABP面積的,22 ( 1)21 k2 (% x2)2-4x1x2- 22 .( 4)2-4 ( 4)4/10 亜最大值為8 2.2小結：圓錐曲線中三角形面積表示的方法有：1. S 1 (x 2) |AB|d (弦長公式求2|AB|,點到直線距離求d)； 2.利用共同的底邊，拆分三角形為面積和(或差)，?；癁镾 I公共底邊長|為X2 |或S I公共

28、底邊長II力y2|,“聯(lián)立方程 韋2 2達定理”是前提，最值問題?；癁楹瘮?shù)、不等式最值等。(4)通過變式教學，提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)2 2例(2017年高考全國1卷理科20題)已知橢圓C：篤爲=(a>b>0),四點a bP1 ( 1,1) ， p2 ( 0,1) ， p3 (-1，) ， p4 ( 1，-)中恰有三點在橢圓 C 上.(1) 求C的方程；(2) 設直線I不經過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：I過定點.考生典型錯誤有以下幾個方面：粗心審題：在第問中，將四點都代入橢圓方程，并正確求出a,b,沒對P1的位置作出說明； 運算能力不過

29、關：第(1)問解方程出錯；第 問中，直線與橢圓聯(lián)立方程出 錯。(3) 邏輯思維不嚴密：在第(2)問中，未討論直線I與x軸垂直的情形缺少分類討 論的思想，只考慮用韋達定理，沒有考慮到判別式是否大于0這個前提。探究是數(shù)學教學的生命線，定點定值問題是揭示幾何運動變化中的不變量問題，展示了數(shù)學的美。下面進行變式探究。變式探究：已知圓M:(x 1)43 y2 1,圓N:(x 1)2 y2 9,動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C .(1) 求C的方程；(2) 已知點Q(0, 3),若直線I不經過Q點且與C相交于A,B兩點，以AB錯誤! 未找到引用源。為直徑的圓恒過Q點，試判斷直線l是否過

30、定點，若過定點，求 出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由。2 2(2)解法一：當錯誤！未找到引用源。直線AB斜率不存在時：若直線AB在y軸右側，kAQ °,kBQ 0，不滿足相乘為-1，不合題意；若直線AB在y軸左側, kAQ °,kBQ 0，也不滿足相乘為-1，不合題意。當錯誤!未找到引用源。直線AB斜率存在時，可設l:y kx m( m 3)將y kX m代入?yún)[2 2x y3 1 得(4k223)x 8kmx24 m21202由題設可知48(4k3) 02 2，即 m 4k設 A(xi,yi)， B(x2>y2)，則由于以錯誤!未找到引用源。 則 qA(X1,%

31、73)，QB4m2124k23為直徑的圓經過Q點，所以QA QBX-Ix28km24k2 3x1x20Q(0j3)即 X1X2(yi.3)(y2 、3)2(k1)XiX2k(m . 3)( xi X2)(X22、3)QA QB (X1，% .3) (X2,y200，將yi，y2分別換成kXl m，kX2 m展開化簡得:(m 3)2 0.又將上面韋達定理所得的兩根和， 積代8km3)(荷3) (m 3)2 0m，即將上式化簡整理得込l:y kx7，滿足0，則直線7，所、(0,環(huán)以丨過定點 7(2)解法二:當錯誤!未找到引用源直線ab與y軸垂直時，不妨設l AB: y n，所以 qAqb 0，q(

32、0, 3,則 qA此時A(X1, n),則B( X1,n)，由于以錯誤!未找到引用源。為直徑的圓經過Q點,(n . 3)20 .，又A點在QB ( X1,n . 3)，1 .，聯(lián)立可得n 3(舍去)或n -匚3 ,故(x1, n. 3) ( N，n - 3)0，即卩為4m 121)2k(m4k 32 2橢圓上，可得乞丄43!ab : y7.再結合對稱性可知，如果不經過 Q點的直線ab有過定點，那么定點一定在y軸上，即只能是(0,當錯誤!未找到引用源直線AB不與y軸垂直時，可設l：x my t2 2x y將x my t代入431 2得(3m24) y 6mty3t212 0由題設可知48(3m2

33、t24) 0 ,即 t2 3m24,(*)設A(xnyi) , B(x2,y2)由于以錯誤!未找到引用源。(xyi 73)QB即 X1X2 (yi,3)(y2 、3)3t2123m2 4 .為直徑的圓經過Q點，所以oA QB(xyi .3) (X22yiy26mt3m24,y”2(x2,y2 73) QaqB0Q(0j3)、3)00，將xi,x2分別換成myi t,my2 t展開化簡得:(m2 1)yy (mt .3)( yi y?) t2 3 0 .又將上面韋達定理所得的兩根和，積代入22 3t 126mt 2得.(m 1)2 (mt #3)(2) t 3 0，3m 43m 4即將上式化簡整理得7t2 6. 3mt 3m2 0，所以t扌m或t. 3m，代入(* )式檢驗均滿足0，其中x m(y /3)(不合題意，舍去)，所以直線丨的方程為3、J)x m(y )，則直線1過疋點 7(2)解法三：當錯誤！未找到引用源。直線AB與y軸垂直時，可知直線AQ,BQ關于y軸對稱，有kAQkBQ，又由于以錯誤!未找到引用源為直徑的圓經過Q點,所以kAQ kBQ i，于是可求出兩斜率為-i和i,不妨設kAQi，此時 Iaq : y x 3讓它和橢圓方程聯(lián)立，求出A(與3, J),故Iab:y牛再結合對稱性可知，如果不經過q點的直線ab有