上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題05圖形的運(yùn)動(dòng)之翻折(解析版)

1、上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題05圖形的運(yùn)動(dòng)之翻折1.教學(xué)重難點(diǎn)理解圖形翻折的概念和性質(zhì);2.培養(yǎng)學(xué)生利用圖形翻折的性質(zhì)解決相關(guān)問題;3.培養(yǎng)學(xué)生體驗(yàn)動(dòng)感過程和動(dòng)態(tài)思維能力；4.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。.圖形翻折的性質(zhì)和特征:【備注】：根據(jù)第一個(gè)圖回顧圖形翻折的特征，可以先讓學(xué)生自己說說，再分析填空；再根據(jù)第二個(gè)圖總結(jié)圖形翻折的常見題型，為后面例題講解鋪墊基礎(chǔ)；時(shí)間大概 5分鐘。2.翻折后在圉形翻折的楹質(zhì)1.福折直線為對(duì)稱軸;形與原來圖溺全警3.福折后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)洋4毒折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線設(shè)被對(duì)二.圖形翻折的常見題型:【備注】：1 .以下每題教法建議，請(qǐng)老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；2 .在

2、講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3 .可以根據(jù)各題的“教法指導(dǎo)”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來；4 .例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書寫，每個(gè)問題后面有答案提示；5 .引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問題式引導(dǎo)，類比式引導(dǎo)等等；6 .部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評(píng)；7 .每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題3-5分鐘

3、?！緟⒖冀谭ā浚悍勖娣e有關(guān)題目可參考以下教法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題1. 你能尋找一下哪一條是翻折線段嗎？提示：讓學(xué)生說說。2. 挖掘題目中的特殊條件。題目中有哪些角相等？哪些邊相等？找找看。3. 根據(jù)題意，計(jì)算求解相關(guān)圖形的面積。4. 準(zhǔn)確畫出翻折后的圖形是解題的關(guān)鍵。例題講解與具體思路分析1. （2020年協(xié)和雙語學(xué)校一模）如圖，在等腰ABC中，AB=AC=4 , BC=6點(diǎn)D在底邊BC上，且/ DAC= / ACD ,將 ACD沿著AD所在直線翻折，使得點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，聯(lián)結(jié)BE,那么BE的長(zhǎng)為 BD【整體分析】只要證明 ABDsMBE,得ABBD,只要求出 BM、BD即可解決問題.B

4、EBMAB=AC ,ABC= ZC,/ DAC= / ACD ,/ DAC= / ABC ,/ C= /C,CADACBA ,.CA CDCB AC4 CD- 一,64CD= 8 , BD=BC-CD=6- 8 = 10 , 333/ DAM= / DAC= / DBA , / ADM= / ADB ,ADM s，BDA ,8AD DM口 3 DMBDDA 10833DM= * , MB=BD-DM= 10 - 32 = 6 ,153 15 5A、B、E、D四點(diǎn)共圓，/ ADB= / BEM , / EBM= / EAD= / ABD , .ABD s 匕 MBE ,.AB BD , , ,

5、BM BE6 10 BM BD 5 V .BE5- 1AB 4【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，本題需要三次相似解決問題2.（2020楊浦區(qū)上?？亟袑W(xué)附屬民辦學(xué)校一模）在RtVABC中，/A=90°,AC=4, AB = a，將VABC沿著余邊BC翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)Ai處，點(diǎn)D、E分別為邊AC、BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE并延長(zhǎng)交AB所在直線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AE ,如果AiEF為直角三角形時(shí)，那么 a 【整體分析】當(dāng) AiEF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：當(dāng)/ AiEF=90。時(shí)，如圖1,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和

6、平行線可得：AiC= A iE=4 ,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=2 A iE=8 ,最后利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)；當(dāng)/ AiFE=90。時(shí)，如圖2,證明 ABC是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4 .【滿分解答】解：當(dāng) AiEF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況:當(dāng)/ AiEF=90°時(shí),如圖1 , Ai BC與 ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱, AiC=AC=4 , Z ACB= Z AiCB,點(diǎn)D, E分別為AC, BC的中點(diǎn)，D、E是 ABC的中位線，DE / AB ,Z CDE= Z MAN=90 ° ,Z CDE=Z AiEF,.AC / AiE, ./ AC

7、B= Z AiEC, Z AiCB=Z AiEC,AiC= Ai E=4,RtAAiCB中，: E是斜邊BC的中點(diǎn)，BC=2 AiE=8,由勾股定理得：AB 2=BC2-AC2, -AB= V82 42=43.當(dāng)/ AiFE=90。時(shí),如圖2, Z ADF= Z A=Z DFB=90 ,Z ABF=90 , Ai BC與乙ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱,Z ABC= Z CB A1 =45 ,. .ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4 ；綜上所述，AB的長(zhǎng)為4出或4；故答案為：4石或4.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角 形斜邊中線的性質(zhì)

8、，并利用分類討論的思想解決問題.【備注】：本部分對(duì)前面例題中講到的解題方法進(jìn)行歸類總結(jié)，以引導(dǎo)式總結(jié)出，建議時(shí)間4分鐘左右?？偨Y(jié)規(guī)律：圖形翻折之“翻折面積”題型解題方法與策略：1 .尋找翻折直線，即對(duì)稱軸；2 .根據(jù)翻折情況，畫圖，畫圖是解題的關(guān)鍵；3 .尋找翻折相等的線段和角度；4 .利用翻折并結(jié)合題目中的特殊條件解題；5 .利用好勾股定理和一些特殊條件?！緜渥ⅰ浚涸摬糠肿寣W(xué)生獨(dú)立完成，之后評(píng)分并講解，每題 4份，共52分。建議每題給學(xué)生 2分鐘思考時(shí) 間。讓學(xué)生說出解題思路的結(jié)果。沒有完成的思路正確可課下完成。過關(guān)演練1. （2019?上海）如圖，在正方形 ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn).將

9、 ABE沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在2【答案】解：如圖所示，由折疊可得AE=FE, / AEB=/FEB= ；/AEF,正方形 ABCD中，E是AD的中點(diǎn),11AE=DE= 2AD= 2AB,DE = FE,EDF =/ EFD,又一/ AEF是ADEF的外角，AEF = / EDF + Z EFD , ./ EDF= 1/ AEF, 2 ./ AEB = / EDF, .tan/ EDF = tan/AEB= ?=2.故答案為：2.A E D0【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小 不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.DF =2. （2019?

10、青浦區(qū)二模）如圖，在矩形 ABCD中，AB=3, E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn),2CF,沿BE將 ABE翻折，如果點(diǎn) A恰好落在BF上，則AD = 2v6_.AbD5C【答案】解：連接 EF,A E D3C點(diǎn)E、點(diǎn)F是AD、DC的中點(diǎn),AE= ED, DF = 2CF = 2,由折疊的性質(zhì)可得 AE = A'巳 .A' E = DE,在 RtEA' F 和 RtAEDF 中,? = ? ?= ?.RtEA' F RtAEDF (HL),:.A F = DF=2,.BF=BA' +A' F = AB+DF = 3+2 = 5,在 RtABCF 中

11、,BC=，？?？ ？?？= V52 - 12= 2 0AD = BC = 2v6.故答案為2V6【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是連接EF,證明RtAEA7 F RtAEDF,得出BF的長(zhǎng)，注意掌握勾股定理的表達(dá)式.3. （2019?靜安區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A （2芯,0), B (0, 6), M (0, 2).點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，聯(lián)結(jié)PQ.如果直線PQ與直線AB所構(gòu)Q在直線AB上，把 BMQ沿著直線MQ翻折，點(diǎn)(2v3, 4)或（0, - 2）或（-2算，0）【答案】解：: A (2v3, 0), B (0, 6), M (0, 2),OA = 2v3,

12、 OB=6, OM = 2, BM=OB-OM = 4,?6, . tan/ BAO= = -= = v3? 2V3' . /AOB=90° , ./ABO =30° ,AB= 2OA = 4v5, 直線PQ與直線AB所構(gòu)成的夾角為60° ,，/PQB=120° 或/ PQB=60° ,(1)當(dāng)/ PQB=120°時(shí)，分兩種情況：如圖1所示：延長(zhǎng) PQ交OB于點(diǎn)N,則/ BQN=60° , 5圖1 ./ QNB= 90° ,即 QNXBM ,由折疊得：BM=MP = 4, /BQM=/PQM, . / PQ

13、B= 120° , ./ BQM =Z PQM= 120° , ./ BQN = Z MQN = 60° , QNXBM,1 BN= NM= 2BM = 2,在 RtAPNM 中，NP= V?- ? = V42 - 22 = 2v3,ON=OM + NM=4, .P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2v3, 4）;如圖2所示：QM ±OB, BM=MP,OP= PM - OM = BM - OM = 4 - 2= 2,，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0, -2）;（2）當(dāng)/ PQB=60°時(shí)，如圖3所示：Q點(diǎn)與A點(diǎn)重合,T由折疊得：AB=AP = 4 V3,OP= APOA =

14、 4v3 - 2V3 = 2v3, . P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-2V3, 0）;綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2 v3, 4）或（0, - 2）或（-2芯，0）.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、坐標(biāo)等知識(shí)，熟練 掌握翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，并進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵.4. （2019?閔行區(qū)二模）如圖，在 ABC中，AB = AC=5, BC = 2v5, D為邊AC上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C不重合）.將 ABD沿直線BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接CE.如果CE/ AB,那么AD : CD = 5:【答案】解：如圖，過 A作AGLBC于G,過B作BHLCE,交E

15、C的延長(zhǎng)線于 H,延長(zhǎng)BD和CE交于點(diǎn)F,AC= AB=5, .BG = CG=4，AG=，？ ？?？= V52 - (0)2=2耳 FH /AB, ./ ABG = / BCH,. / H = Z AGB= 90° ,? ? ?=? ? ?2 甚?2 V55v5BH=4, CH = 2,由折疊得：AB=BE=5,EH= V?- ?= V9 - 42 = 3, CE = 32=1,. FH / AB,. F = /ABD = / EBD,-.EF = BE = 5, .FC =5+1 =6,. FC / AB,? ? 5, ? ? 6：故答案為：5: 6.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、三

16、角形相似的性質(zhì)和判定、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性 質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線，尋找相似三角形解決問題.5. （2019?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形 ABCD中，AB=6,點(diǎn)E在邊 AD上且AE=4,點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形 ABFE沿EF翻折，A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ai、Bi與點(diǎn)C在同一直線上，AiBi與邊AD交于【答案】解：. CDGsA'EG, A'E = 4A'G=2B'G=4由勾股定理可知CG'= 3 V5則 CB'= 3v5- 4由CDGsCFB'設(shè) BF = x? ' ?=?3V5:43=-?6解得

17、 x= 6 v5 - 8故答案為6 v5 - 8【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)與相似，通過尋找等角關(guān)系，確定相似關(guān)系是本題的關(guān)鍵.6. （2019?楊浦區(qū)二模）如圖，點(diǎn) M、N分別在/ AOB的邊OA、OB上，將/ AOB沿直線 MN翻折,2通-v5設(shè)點(diǎn)O落在點(diǎn)P處，如果當(dāng)OM = 4, ON = 3時(shí)，點(diǎn)O、P的距離為4,那么折痕MN的長(zhǎng)為0【答案】解：設(shè) MN與OP交于點(diǎn) 巳點(diǎn)0、P的距離為4,0P = 4.折疊 MNXOP, EO=EP=2,在 RtAOME 中，ME= V?2 - ? 2 = 23在 RtAONE 中，NE=，？?- ? 2 = 逐MN = ME - NE = 2v3 -

18、 v5故答案為：26- v5【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵.7. （2019?靜安區(qū)一模）如圖，將矩形 ABCD ；2交BC于點(diǎn)F,連接AE.如果tan/DFC=京那么3BD百，點(diǎn) A與點(diǎn)E重合，且ED?的值是 ?M3【答案】解：二四邊形 ABCD是矩形， .BC=AD, /DAB = /C=90° , AD / BC,A與點(diǎn)E重合, ./ ADB = / DBC, 矩形ABCD沿對(duì)角線BD所在直線翻折后，點(diǎn)DE=AD, Z BED = Z DAB = 90° , /ADB = /BDE, ./ DBF =/ FDB,BF= DF

19、,EF= CF,. tan/ DFC = Z BFE= 2, 3 ,設(shè) CD = BE=2x, CF=EF = 3x, BF=CF=，(2?2 + (3?f = v13x,BC= ( v13+3) x,BD=，？ ？= V26 + 6v13x,AE± BD,?' . AE= 2AH =2?'?=故答案為:?芯32?= 2?=? 2 ?BC上，將 ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B那么BP的長(zhǎng)為竺或7【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.8. （2019?長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，點(diǎn) P在平行四邊形 ABCD的邊恰好落在邊 AD的

20、垂直平分線上，如果 AB=5, AD = 8, tanB=3【答案】解：如圖1,過A作AH，BC于H ,連接DB ',B 尸 -V C設(shè)BB'與AP交于E,AD的垂直平分線交 AD于M , BC于N ,? 4tanB=一.? 3'設(shè) AH = 4x, BH = 3x,- AB= '?+ ? = 5x= 5,AH=4, BH = 3,將 ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直平分線 MN上,.AB，=AB=5, AM = DM= 1aD=4, Z AMN = Z HNM = 90° ,，四邊形 AHNM 是正方形，MB' = V? + ?

21、 = 3,-.HN = MN = 4, .BN=7, B' N=1,.BB' = M?+ ?，2s=?5v2,BE= 1BB '=好，. / BEP = / BNB' =90° , Z PBE = / B' BN,.BPEsBB' n,?=， ?5v2? c2一='5V27BN=7, BP=%NB= NB ,點(diǎn)N在BB'的垂直平分線上， 將 ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AD的垂直平分線上, 點(diǎn)P也在BB'的垂直平分線上， 點(diǎn)P與N重合，BP= BN=7,綜上所述，BP的長(zhǎng)為一或7.7故答案為：型或7. 7

22、【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.9. （2019?嘉定區(qū)一模）在 ABC 中，/ACB = 90° ,點(diǎn) D、E 分別在邊 BC、AC 上,AC=3AE, / CDE= 45° （如圖），4DCE沿直線DE翻折，翻折后的點(diǎn) C落在 ABC內(nèi)部的點(diǎn)F,直線AF與邊BC相交于3點(diǎn)G,如果 BG = AE,那么tanB= .7【答案】解：如圖, . Z ACB=90° , / CDE = 45° , ./ DEC = 45° AC= 3AE.設(shè) AE = k=BG, AC=3k, (

23、kw0)EC= 2k,.折疊EF= EC=2k, /FED = /DEC = 45，/FEC = 90° ,且/ ACB=90°EF / BCAEFA ACG? ? 1一？亍? 3,-.GC = 3EF=6k,BC= BG+GC= 7k,1. tanB=? 3? 7故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.10. （2019?寶山區(qū)一模）如圖， RtABC 中，/ ACB = 90° , AC=4, BC=5,點(diǎn) P 為 AC 上一點(diǎn)，將 BCP沿直線BP翻折，點(diǎn)C落在C'處，連接 AC&

24、#39;,若AC' / BC,那么CP的長(zhǎng)為5【答案】解：過點(diǎn) C'作C'DBC于點(diǎn)D, A'C / BC, / ACB=90° ,. C'AC = /ACB=90° ,且 C'DXBC,四邊形C'DCA是矩形,CD=AC', C'D = AC=4,.折疊BC'=BC = 5, CP=C'P,在 RtABDC'43, BD=，?？'2?，2 =?3CD = BC- BD = 2AC'=2,在 RtAC'P 中，C'P2=C'A2+AP2,C

25、P2 =4+ （4 - CP） 2,CP= 52故答案為：52【點(diǎn)睛】本題是翻折變換，考查了矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.311. （2019?普陀區(qū)一模）如圖， ABC中，AB = AC=8, cosB= "點(diǎn)D在邊BC上，將 ABD沿直線32AD翻折得到 AED,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E, AE與邊BC相交于點(diǎn)F,如果BD = 2,那么EF= .15-3. AB=AC=8, cosB= 7， 4，BH=6=CH, BC=12,由折疊可得，BD=DE = 2, /E = /ABC = /C, AB = AE=6,又. / AFC = /

26、 DFE ,AFCA DFE,? ? ? 1=-=-=-，? ? ? 4設(shè) EF = x,則 CF = 4x, AF = 8 x,11- DF= 4AF=2- 4x， BD+DF+CF =BC,1 一2+2- 4x+4x=12, ef= 32.EF=丘一，一，32故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解.12. （2019?浦東新區(qū)一模）將矩形紙片ABCD沿直線AP折疊，使點(diǎn) D落在原矩形 ABCD的邊BC上.一 3?24的點(diǎn)e處，如果/ aed的余弦值為J那么樂?=行【答案】解：如圖所示，由折疊可得，AP垂直平分DE, / ADP = /AEP=90° ,一一，3 / AED的余弦值為 5 .可設(shè) EF=3a, AE=5a,貝U AD=BC=5a,. RtAE