大學(xué)物理第五章剛體

1、物理學(xué)院物理學(xué)院第5章 剛體力學(xué)基礎(chǔ) 動量矩 5.1 剛體和剛體的基本運(yùn)動剛體和剛體的基本運(yùn)動 5.2 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程 5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理動能定理 5.4 動量矩和動量矩守恒定律動量矩和動量矩守恒定律貓下落過程中貓下落過程中的翻身問題的翻身問題5.1 剛體及其基本運(yùn)動 1. 平動平動BArrBAvv BAaaABAB二、二、 剛體的基本運(yùn)動剛體的基本運(yùn)動 ( (平動平動 轉(zhuǎn)動）轉(zhuǎn)動）ArBr00lim limtt ABrrtt結(jié)論：剛體內(nèi)所有質(zhì)點的速度相同，加速度相同。結(jié)論：剛體內(nèi)所有質(zhì)點的速度相同，加速度相同。一

2、、剛體一、剛體 （形狀和體積不變化）（形狀和體積不變化）剛體內(nèi)的所有質(zhì)點間的距離始終保持不變。剛體內(nèi)的所有質(zhì)點間的距離始終保持不變。5.1 剛體及其基本運(yùn)動 2. 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動v = 0v = 2v0v0 瞬時轉(zhuǎn)軸瞬時轉(zhuǎn)軸瞬時轉(zhuǎn)軸瞬時轉(zhuǎn)軸固定不動固定不動 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動純滾動純滾動 v0 = r rv0r 剛體運(yùn)動隨處可見剛體運(yùn)動隨處可見, ,觀覽輪盤觀覽輪盤是一種具有水平轉(zhuǎn)軸、能在是一種具有水平轉(zhuǎn)軸、能在鉛垂平面內(nèi)回轉(zhuǎn)的裝置。輪鉛垂平面內(nèi)回轉(zhuǎn)的裝置。輪盤和吊箱的運(yùn)動各有什么樣盤和吊箱的運(yùn)動各有什么樣的特點的特點? ?如何描述如何描述? ?t dd22ddddtt角位移角位移角速度角速度角加速度

3、角加速度三、三、 描述描述 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體各點繞同一直線作圓周運(yùn)動剛體各點繞同一直線作圓周運(yùn)動 Arv2narddvartA點速度、加速度點速度、加速度r剛體各點有相同的角速度、角加速度剛體各點有相同的角速度、角加速度Aorv方向：沿軸向，右手螺旋方向：沿軸向，右手螺旋rtrddv速度與角速度的速度與角速度的矢量關(guān)系式矢量關(guān)系式四、四、 角速度與角加速度矢量角速度與角加速度矢量2. 角加速度的矢量角加速度的矢量t) r(adddtdv加速度與角速度、角加速度的矢量關(guān)系式加速度與角速度、角加速度的矢量關(guān)系式rvtrrtdddd說明說明3. 定軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動的角速度

4、與角加速度的矢量角速度與角加速度的矢量kd dkt1. 角速度矢量角速度矢量dtd 5.2 力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一、力矩一、力矩hFrF/FnFFh ( )zM FFrF使剛體逆時針加速使剛體逆時針加速轉(zhuǎn)動，為正數(shù)；否轉(zhuǎn)動，為正數(shù)；否則為負(fù)。則為負(fù)。力矩取決于力的大小力矩取決于力的大小、方向和作用點位置、方向和作用點位置ziiiiamfF根據(jù)牛頓第二定律，第根據(jù)牛頓第二定律，第 i 個質(zhì)元個質(zhì)元iii iFfma圓周軌跡切線投影圓周軌跡切線投影i ii ii i iFrf rma r同乘以同乘以 ri對所有質(zhì)元求和對所有質(zhì)元求和2() iii iiiF rf rmrmihri-fifi

5、二、定軸轉(zhuǎn)動定律二、定軸轉(zhuǎn)動定律2i im rMJ剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動定律討論討論(2) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣性轉(zhuǎn)動慣性(1) 與牛頓定律與牛頓定律 比較比較amF2i iJmr轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J外力矩外力矩 M內(nèi)力矩為內(nèi)力矩為0外力內(nèi)力ai=ri三、三、 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算2iirmJ質(zhì)量連續(xù)分布物體質(zhì)量連續(xù)分布物體2dJrm例例 均質(zhì)細(xì)棒均質(zhì)細(xì)棒L 、 M ，繞端點軸，繞端點軸 z 和質(zhì)心軸和質(zhì)心軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。zoxdx3dd22L0zMLxLMxJJ220() d212LzLMLJxmx解解質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)元轉(zhuǎn)動慣量mxJzdd2x L

6、Mmddz 轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸有關(guān)L/2-x例例 圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的計算圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的計算例例 求圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的計算求圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的計算dlo20202ddmRmRmRJLLmRomrdrsmddRmrrRmJJ0320d2drrRmd2 2Rdm 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量mRJdd2mrJdd2解解解解轉(zhuǎn)動慣量取決于轉(zhuǎn)軸、剛體形狀及質(zhì)量，轉(zhuǎn)動慣量取決于轉(zhuǎn)軸、剛體形狀及質(zhì)量，它反映了質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸在空間的分布。它反映了質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸在空間的分布。221mRrRmrd22dm 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量平行軸定理平行軸定理dCmz2czJJmdCJ?Z

7、J2121MLJz22312mLLmJJZZ例例 均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量zmLzzJcJd: :剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量: :剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量: :兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離L/ 2FOr(1) 滑輪的角加速度；滑輪的角加速度；(2) 如以重量如以重量P = 98 N 的物體掛在繩端，計算滑輪的角加速度的物體掛在繩端，計算滑輪的角加速度解解 (1)MJ39.2FrJmaTmg(2)TrJar21.8四、四、 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例mgT例例求求滑輪半徑滑輪半徑 r =20 cm ，轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動慣量 J =

8、0.5 kg m2。在繩端施以。在繩端施以 F = 98 N 的拉力，不計摩擦力的拉力，不計摩擦力FrM 均勻細(xì)直棒均勻細(xì)直棒m 、l ，可繞軸，可繞軸 O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置它在水平位置求求 它由此下擺它由此下擺 角時的角時的 Olm x解解cosddxmgMdm 質(zhì)元質(zhì)元gdmcos21dmglMMMJ轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律ddtdd00 2 3 sin/gl例例xlmmdddm 重力矩重力矩231mlJ 3 cos2gldxd2cos3 dlgx重力對棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩重力對棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩 rdr

9、圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動在桌面上轉(zhuǎn)動, ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止例例求求 到圓盤靜止所需時間。到圓盤靜止所需時間。解解smddfrMddmgRMMR32d0細(xì)圓環(huán)細(xì)圓環(huán)圓盤摩擦力矩圓盤摩擦力矩 mgfdddm 摩擦力摩擦力df 的力矩的力矩tJMddtmRmgRdd21322d043d00gRttgRt43 0轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律rrRmd22例例 一均質(zhì)棒，長度為一均質(zhì)棒，長度為 l，現(xiàn)有一水平打，現(xiàn)有一水平打 擊力擊力F 作用于距軸作用于距軸 l 處。處。求求 l =？時，軸對棒作用力的水平分量為？時，軸對棒作用力的水平分量為 0。解解設(shè)軸對棒的水平分力為設(shè)軸對棒的水平分力為

10、Nx質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理cxFNma) 123(llFNxl l320 xNxNCF轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律c2la打擊中心打擊中心cxal 231mllF一、一、 定軸轉(zhuǎn)動剛體動能定軸轉(zhuǎn)動剛體動能 oiriirvim第第 i 個質(zhì)元的動能個質(zhì)元的動能2k12iiiEmv2k1()2iiEmv剛體轉(zhuǎn)動動能剛體轉(zhuǎn)動動能22 21iirm2k12EJ轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2iirmJ說明說明 5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理)21(22iirm2k12Emv剛體平動動能剛體平動動能二、二、 力矩的功力矩的功FrFddA|d| rFd rF對一有限過程對一有限過程21dAM( 積分形式積分形式 ）dM

11、orAd dr F FcosF rd 三、定軸轉(zhuǎn)動動能定理三、定軸轉(zhuǎn)動動能定理)21(dd2JAddMA d)dd(dtJA 對于一有限過程對于一有限過程221121dd()2AAJ21222121JJA討論討論外力做功等于定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能增量外力做功等于定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能增量 (3) 剛體動能的增量，等于外力的功。剛體動能的增量，等于外力的功。(2) 剛體的內(nèi)力做功之和為零；剛體的內(nèi)力做功之和為零；(1) 質(zhì)點系動能變化取決于所有外力做功及內(nèi)力做功；質(zhì)點系動能變化取決于所有外力做功及內(nèi)力做功；tJMdddJ剛體重力勢能剛體重力勢能2c12EJmghpiiEm ghiimhmgm定軸轉(zhuǎn)動剛體

12、的機(jī)械能定軸轉(zhuǎn)動剛體的機(jī)械能質(zhì)心的勢能質(zhì)心的勢能對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立chp0ECimih四、四、 剛體的機(jī)械能剛體的機(jī)械能cmghO解解221mrJ 222121Jmmghvrvmg例例滑輪滑輪 r 、 M，在繩的一端掛一重物，在繩的一端掛一重物 m ，開始時靜止，不計，開始時靜止，不計摩擦力。摩擦力。mMmgh22vhm 的重力勢能轉(zhuǎn)化為滑輪和的重力勢能轉(zhuǎn)化為滑輪和m 的動能的動能求求 重物下落高度重物下落高度 h 時重物的速度時重物的速度v 。均勻細(xì)直棒均勻細(xì)直棒m 、l ，可繞軸，可繞軸 O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動

13、，初始時在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置它在水平位置求求 它由此下擺它由此下擺 角時的角時的 。Olm 解一解一 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒( 以初始位置為以初始位置為0勢能點勢能點)sin2lh 00lgsin3 2例例231mlJ mghJ221ch=cos21mglM 201d02MJ解二解二 定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理 m 動能的增量等于重力做的功動能的增量等于重力做的功lgsin32重力矩重力矩k10Ep10E本裝置用于測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。待測物體本裝置用于測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。待測物體A裝在轉(zhuǎn)動架上，裝在轉(zhuǎn)動架上，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為上裝一半徑為r 的輕鼓輪，繩的一端纏在鼓輪上

14、，另一的輕鼓輪，繩的一端纏在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為 m 的重物。重物下落時，由繩帶的重物。重物下落時，由繩帶動被測物體動被測物體 A 繞繞 Z 軸轉(zhuǎn)動。今測得重物由靜止下落一段距離軸轉(zhuǎn)動。今測得重物由靜止下落一段距離 h，所用時間為，所用時間為t。繩子、各輪質(zhì)量及摩擦力忽略不計。繩子、各輪質(zhì)量及摩擦力忽略不計例例解解 )2( / )(222rJmrZv初態(tài)初態(tài) 求求 物體物體A對對Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量JZ末態(tài)末態(tài) 以以m和和A為研究對象，為研究對象， m 的初始的初始位置為位置為0勢能面勢能面mzh鼓輪鼓輪p2Emgh 22k2/ 2/ 2ZEmv

15、J)(2 222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthdd ddvv) 12(22hgtmrJZ221ath 常量ZJmrmgra22k1p1k2p2EEEE機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒求導(dǎo)求導(dǎo)m 作勻加速運(yùn)動作勻加速運(yùn)動mzh鼓輪鼓輪動量矩與質(zhì)點動動量矩與質(zhì)點動量量 對比，對比， Jz m， v一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩 5.4 動量矩和動量矩守恒定律 oiriirvim剛體對剛體對z 軸的動量矩軸的動量矩zizii iLLmv r第第 i 個質(zhì)元對個質(zhì)元對z 軸的動量矩軸的動量矩izii iLmv r zzLJ)(2iirmzJz說明說明Pm

16、v 質(zhì)點系角動量定理質(zhì)點系角動量定理tLMOOdd向向 z 軸投影軸投影 外力矩，外力矩， 質(zhì)點系角動量質(zhì)點系角動量ddzzLMt二、二、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩d()dzzMJtOOLM 剛體動量矩變化的快慢取決于外力矩剛體動量矩變化的快慢取決于外力矩 MzzzLJ定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩定理說明說明 若若Jz = =恒量，有轉(zhuǎn)動定律恒量，有轉(zhuǎn)動定律 ddzzMJt三、三、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律當(dāng)當(dāng) 時，時， 剛體動量矩剛體動量矩 守恒守恒0zMJLz說明說明當(dāng)當(dāng)變形體所

17、受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒 常量 t J tJ tJ 例例 一均質(zhì)棒，長度為一均質(zhì)棒，長度為 L，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，現(xiàn)，現(xiàn) 有一子彈在距軸為有一子彈在距軸為 y 處水平射入細(xì)棒處水平射入細(xì)棒求求 子彈細(xì)棒共同的角速度子彈細(xì)棒共同的角速度 。解解ym0v其中其中Ly32xNy0vm2231myMLJJJ子棒22031myMLymv系統(tǒng)水平方向動量是否守恒取決于轉(zhuǎn)軸對棒作用力系統(tǒng)水平方向動量是否守恒取決于轉(zhuǎn)軸對棒作用力在水平方向的投影在水平方向的投影Nx是否等于是否等于0。子彈、細(xì)棒系統(tǒng)子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的動量矩守恒的動量矩守恒Nx=0，則，則

18、動量守恒動量守恒。 J例例 (打擊中心打擊中心)時，時，說明說明Ly32xNy0vm22031myMLymv水平方向動量守恒的驗證水平方向動量守恒的驗證 時，時，討論討論作用前作用前 mv0 0作用后作用后m y均質(zhì)棒均質(zhì)棒子彈子彈+=？( L/ 2)M (質(zhì)心質(zhì)心)一長為一長為 l 的勻質(zhì)細(xì)桿，開始時桿靜止于水平位置。一質(zhì)量的勻質(zhì)細(xì)桿，開始時桿靜止于水平位置。一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以速度與桿相同的昆蟲以速度 v0 垂直落到距中點垂直落到距中點 l /4 /4 處的桿上處的桿上，昆蟲落下后立即向桿的端點爬行，如圖所示。若要使桿，昆蟲落下后立即向桿的端點爬行，如圖所示。若要使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動，以勻角速度轉(zhuǎn)動，)4(1214220lmmllmvl0712 vO4lr 昆蟲落到桿上為完全非彈性碰撞，對于昆蟲和桿構(gòu)成的系昆蟲落到桿上為完全非彈性碰撞，對于昆蟲和桿構(gòu)成的系統(tǒng)，昆蟲重力