2022衡水名師原創(chuàng)數(shù)學(xué)專(zhuān)題卷：專(zhuān)題13 圓錐曲線與方程

1、2022衡水名師原創(chuàng)數(shù)學(xué)專(zhuān)題卷專(zhuān)題十三圓錐曲線與方程考點(diǎn)40：橢圓及其性質(zhì)(1-3題，9-11題，13,14題)考點(diǎn)41：雙曲線及其性質(zhì)（4,5題，6-10題，15題）考點(diǎn)42：拋物線及其性質(zhì)（6,7題，16題）考點(diǎn)43：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（17-22題）考點(diǎn)44：圓錐曲線的綜合問(wèn)題（8題，16題，17-22題）考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分說(shuō)明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫(xiě)在答題卡上，主觀題寫(xiě)在答題紙上第I卷（選擇題）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍( )A. B. C.

2、 D. 2.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為( )ABCD 3.已知橢圓的短袖長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D.4.設(shè)點(diǎn)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn),分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為( )A.B.C.D.5.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A.B.C.D.6.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線C上動(dòng)點(diǎn)滿足，若在準(zhǔn)線上的射影分別為，且的面積為5，則( )A.B.C.D.7.已知拋物線與直線交于兩點(diǎn).若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)( )A.B.C.

3、1D.28.已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),點(diǎn)是它們?cè)诘谝幌笙薜墓颤c(diǎn),滿足.若橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,則的取值范圍為( )A.B.C.D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）9.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)，組成公差為的等差數(shù)列，則（ ）A該橢圓的焦距為6B的最小值為2C的值可以為D的值可以為10.已知過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線左支交于點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與弦的中點(diǎn)D的直線交直線于點(diǎn)E,若為等腰直角三角形,則直線l的方程為( )A.B.C.D.11.已知橢圓的

4、左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，若它的右焦點(diǎn)到直線的距離為，且橢圓上有一點(diǎn)，則( )A.橢圓方程為B.離心率C.D.12.拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于兩點(diǎn),交拋物線C的準(zhǔn)線于D,若,則A.B.直線的方程為C.點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為6D.(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13.設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 .14.已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)滿足，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.15.過(guò)點(diǎn))作直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),且為線段的中點(diǎn),則直線的方程（表示為一般式）為_(kāi). 16.已知拋物線，過(guò)C的焦點(diǎn)的直線與C交于A，B

5、兩點(diǎn)。弦長(zhǎng)為2，則線段的中垂線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)四、解答題（本題共6小題，共70分。）17.（本題滿分10分）如圖，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，連接延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說(shuō)明理由.18.（本題滿分12分）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)在第二象限（1）求切點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（2）有一離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，設(shè)切線與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，記切線的斜率分別為，若，求橢圓的方程19.（本題滿分12分）

6、已知拋物線為拋物線的焦點(diǎn)以為圓心，為半徑作圓，與拋物線在第一象限交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作拋物線的切線，設(shè)切線的交點(diǎn)為，求證：為直角三角形.20.（本題滿分12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線，直線與的交點(diǎn)為，同時(shí)直線，直線與的交點(diǎn)為,與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若求的長(zhǎng).21.（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)在直線上的射影為，且，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的軌跡方程；（2）設(shè)直線與曲線相交與兩點(diǎn)，試探究曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（本題滿分12分）橢圓

7、將圓的圓周分為四等份,且橢圓的離心率為.求橢圓的方程；若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且的中點(diǎn)為,線段的垂直平分線為,直線與軸交于點(diǎn),求的取值范圍.參考答案及解析1.答案：C解析：直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn),即點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，即，又，或.故選：C.2.答案：A解析：由,橢圓，作出橢圓圖象如圖：則.由題意可得：，. (負(fù)值舍去).故選：A.3.答案：D解析：由已知的，故.的面積為，.又，.又,.的取值范圍為.4.答案：B解析：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為.因?yàn)樵谥?所以,所以是直角三角形,即.由雙曲線的定義知.又因?yàn)?所以.在中,由勾股定理,得,解得.故選B.5.答案：A解析：將直線代入雙曲線方程,

8、并整理得.以題意,直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn),故,故選A.6.答案：D解析：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足是C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.設(shè)，則，即，聯(lián)立解得，.7.答案：B解析：設(shè),聯(lián)立消去得,故.易知.因?yàn)?故,故.因?yàn)?故,即,解得.8.答案：D解析：因?yàn)?所以點(diǎn)在的垂直平分線上.由題意知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為.設(shè)半焦距為,則所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.故的取值范圍為.故選D.9.答案：ABC解析：由橢圓， 得 ， 故 A 正確；，故 B 正確； 設(shè)組成的等差數(shù)列為， 由已知可得該數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列， 則，又， 所以， 所以 ，所 以的最大值是 ， 故 C 正確， D 錯(cuò)誤.故選

9、 ABC. 10.答案：AC解析：易知,則由題意可設(shè)直線,代入雙曲線C的方程,消去x,整理得,設(shè),由根與系數(shù)的關(guān)系,得,即所以直線的方程為,令,得,即所以直線的斜率為,則必有,即,解得,又,從而直線l的方程為或11.答案：BC解析：，直線的表達(dá)式為，即.又，點(diǎn)到直線的距離為,即.又，即,，故離心率，故選項(xiàng)B正確;設(shè)橢圓方程為，代人點(diǎn)得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又，可得，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選BC.12.答案：BCD解析：如圖,不妨令點(diǎn)B在第一象限,設(shè)點(diǎn)K為準(zhǔn)線于x軸的交點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,所以點(diǎn)F為的中點(diǎn),又,所以中,則點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為6,故C正確;,則,故A錯(cuò)誤

10、;由,易得,所以直線的方程為,故B正確;連接,故D正確,故選BCD.13.答案：3解析：由橢圓的定義，得.而，所以.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則.聯(lián)立得方程組消去y并整理，得，解得或(舍去).所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3.14.答案：5解析： 設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為.聯(lián)立得，.，解得，.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.，得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)最大.15.答案：解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，設(shè)，可設(shè)直線的方程為，代入，整理得，則是方程的兩個(gè)不同的根，所以，且，由是的中點(diǎn)得，解得，直線的方程為.故答案為：.16.答案：解析：由題意得，拋物線，則其焦點(diǎn)為，又過(guò)C的焦點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線

11、，代入C得，解得，則，與題干相矛盾。故斜率存在，設(shè)斜率為k,則直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線C的方程，得，整理得，設(shè)，則，則，即，解得，設(shè)中點(diǎn)，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線段的中垂線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故直線的斜率為，且，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，?17.答案：（1）設(shè)，則， 由題意知，所以為中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，又點(diǎn)在圓：上，故滿足， 得. （2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，故，?，聯(lián)立，消去得：，設(shè)， ， 因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?，點(diǎn)在橢圓上，故，整理得， 將代入，得，該方程無(wú)解，故這樣的直線不存在. 解析： 18.答案：（1）設(shè)切點(diǎn)則有，由切線的斜率為，得的方程為，又

12、點(diǎn)在上所以，即，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)（2）由（1）得，切線斜率，設(shè)，切線方程為，由得又，所以所以橢圓方程為且過(guò)，所以由得，所以，又因?yàn)?，即解得，所?,所以橢圓方程為 .解析：19.答案：（1）記拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)為.由題意可得：圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且到拋物線準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得：，所以.（2）設(shè)由得，求導(dǎo)得，所以?xún)牲c(diǎn)處切線斜率分別為由得所以，所以，所以,即為直角三角形.解析： 20.答案：解：(1)得：. 設(shè)，由求根公式得:，.則.設(shè)直線，得：.， 設(shè)，可知， ，.解之得：或.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 解析： 21.答案：解：（1）設(shè)，由得，平方化簡(jiǎn)得.（2）設(shè)，聯(lián)立，得，即，所以.假設(shè)存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，則，所以，所以.由點(diǎn)在曲線上得，代入得，解得.所以當(dāng)時(shí)，曲線上存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或者.當(dāng)，曲線上不存在點(diǎn)使得