彎矩曲率全過程計算分析

1、彎矩曲率計算示例彎矩曲率分析一般分兩個階段進行：梁未開裂；梁已開裂。第一 階段一般假定為彈性階段。第二階段材料的應力應變關系是非線性 的。雖 r目： GS如圖所示的梁截面尺寸，A廣784mm2, A= 402mm2，混凝土的應力應變關系為二次拋物線，即b=f 艾里1 ；為簡化計算及說明 。卜0 EJJ過程，假定預應力高強高筋的極限強度和其屈服強度相等，即f = f 02 = 1540MPa ；普通鋼筋的屈服強度為f = 400MPa ；預應力筋的有效應力為f =1000MPa ； E = E = 2 x 105 MPa ； f = 35MPa ；f = 3.7MPa ； E = 2.8 x 1

2、04 MPa , 求下列各個階段的彎矩及曲率：（1）初始階段，即外彎矩為零，f =1000MPa ；pe（2）預應力筋水平處混凝土的應變?yōu)榱?；?）裂縫出現(xiàn)，即混凝土達到其抗拉強度f =3.7MPa ；t（4）梁截面頂纖維混凝土壓應變達到=0.001（5）梁截面頂纖維混凝土壓應變達到=0.002(6)梁截面頂纖維混凝土壓應變達到=0.003并將各階段的彎矩、曲率、預應力及非預應力筋的應力列表并繪制出 截面在加載直到破壞為止全過程的彎矩曲率圖。求解過程如下(1)初始階段：采用毛截面特征值和P =A f來計算截面的應力和應變，截面幾何特 征：A = 180 x103mm2, I = 5.4 x10

3、9mm4 , P = A f = 784 x 1000 = 784kN 有效預加力P = 784kN及偏心矩 e = 180mm 對截面引起的應力和相應的 應變?nèi)鐖D所示：+ 3JSO.123XIC 30，駝3 云 Iff =0.324 XI -3一。川 36X10T圖8T46初始階段(F# = 了材kN )的應力和應變當外力矩(包括自重)M = 0時，截面曲率:(0.123 + 0.436) x 10-3 中=-600=-0.993 x 10-6 rad/mm非預應力筋的壓應力 =E =2x 105 x0.389-3 = -77.8MPa預應力筋在有效應力下的應變g = f E = 1000/

4、200000 = 5x 10-3圖8-1-JC 預應力筋與混船上的初始應變(2)預應力筋水平處混凝土應變?yōu)榱汶A段：一個對應預應力筋水平 處產(chǎn)生拉應變?yōu)?.324x10一3的外加力矩將使混凝土應變?yōu)榱悖⑹诡A 應力筋產(chǎn)生同樣的拉伸應變，因此預應力筋的應變將增加到： = + = 5 x 10-3 + 0.324 x 10-3 = 5.324 x 10-3相應的預應力筋中的應力為：b = E = 2 x 105 x 5.324 x 10-3 = 1064.8MPa預應力筋中的拉力為：P = A a = 784 x 1064.8 = 834.8kN在P = 834.8kN作用下，截面混凝土的應力分布如

5、下圖所示。為使預應力筋水平處混凝土應力由9.64MPa降到零，需要增加的外 彎矩為：5.4 x 103 x 9.64180=289.0kNm在這一外力矩M作用下，混凝土截面應力及曲率如下圖所示:（尸二 8劉.8）-0.41X10-33 0.109勺曠亍 秒度圖8-14。階段（2）的應力及曲季非預應力筋的應力：b = E & = 2 x 105 x 0.0636 x 10-3 = 12.7MPa（0.441 + 0.109） x 10-3中= =0.917 x 106 rad/mm600（3）開裂階段：截面開裂點將為截面彎矩曲率線彈性關系的終點。在階段（2），截面 底纖維已經(jīng)存在3.06MPa的

6、拉應力，由于混凝土出現(xiàn)裂縫的抗拉強度 為3.7MPa,為產(chǎn)生拉應力Ac = 3.7-3.06 = 0.64MPa，所需要增加的彎矩 AM - IAb 4 x 109 x 0.64 = 11.5kNm。 因此開裂彎矩為： y 300M = 289 +11.5 = 300.5kNm由AM對預應力筋產(chǎn)生的拉應力為:A A Me11.5 x 106 x 180Aq = n Aq = n = 7.1454_1= 2.7MPa因此開裂彎矩下，預應力筋中的應力為:q = 1064.8 + 2.7 = 1067.8MPa由AM對非預應力筋產(chǎn)生的拉應力為:Aqs=3.8MPaMy A A 11.5 x 106

7、x 250=n7 = Z145.4 x109因此開裂彎矩下，非預應力筋中的拉應力為:q s = 12.7 + 3.8 = 16.5MPa由纖維應力0.64MPa而增加的曲率如下圖所示:圖8-14/載而開裂增卻的應力犯曲舉在開裂彎矩作用下，截面的開裂曲率等于階段（2）的曲率與開裂增加曲率之和，也就是：中 =(0.917 + 0.076) x 10-6 = 0.993 x 10-6rad/mm（4）截面頂纖維混凝土壓應變 = 0.001c截面開裂時的壓應變是（2）和（3）兩個階段的計算結果之和， =-0.441 X10-3 - 0.229 X10-4 =0.464 x 10-3，小于 0.001,

8、因此應采用開C裂截面分析。頂纖維混凝土的應力為:2=352 x 0.001 _ ( 0.001 20.002 0.002/=26.25MPa言007圖8-12二次拋物象形混凝土 o-e曲線的應變及壓力拋物線形曲線,己）1變,S）祝蕤主壓力式中的X 代入上式叩可求得壓應力合力,C，= （ 5加.% 2人蘭答一_上祥i）、 pa積分并化筒，可得坦形截面壓力合力為式中6為矩形截而的寬度，甬干f雋H勺(37 )(8-37,)將上到式中的6湘/代入,整理后得混凝E壓力合力Q離中性州的距離 為:j I尹莘 0*00 7(8-39 )jb b dx = bf0積分簡化:C = bf 2 c 2 1 - c由

9、于 C x = j (f bdx)r整理zJL |120 - 4 J0p!I 12 一4 y、0/從公式 8-37),得/ e Z e /0.001冠)二 300 X 35 VOtOOf0.001_3 x 0 ?()02)c437ScMPa從公式(Z9 )，得_虹工4X0皿2-000上= c 亍&書 _ 展 J = LT2 x 0.002 -4 x 0.001 J = 0.35“第一次試算假設中性軸高度c = 300mm, 受壓區(qū)總壓力 。= 437弘-4375 x 300 = 1312.5kN由圖g-i&g可見，預應力筋中的應變?yōu)閳D8-149階段（4 ）的試算圖。網(wǎng)=5.3私 乂 +（ 4籍

10、；3 ） XO.0O1 二 5.94X 10一3 LU U Vtscrs= 784 X 1188 + 402 x 166,7 = 998.4kN7明所假定的中性軸高度太大，第二次試算暇定Ca = 4375c = 4375 x 240 = 1050kNpa = 5.324 x Itr +48。- 240240)x 0-001=6.324X 10-3叫2.0 乂 1成 X 6.324 X 10一3 n i265MPa/ 550 - 240- 240對0睥1.29) Itr二 戛=2.。乂 1&5X .29x w3 258.0MPaT 二 + zl.cr, 784 X 1265 +432 X 258

11、 1093.5 k/ V Jia *a二lOWkN計算結果表明,假定的。值小了*要增加點才能 使得G舟Htfi相等.第,三次試算假定c = 247nimCfl 二 4375 X 247 = 1080.GkN480 一247PS =5324 X IQ3 + 1xO.QEH = 626了 K 廠247。隊有2 .0 x IO, x 6.267 x 1頃=1253k_( 550 - 247、二247/x 0.001 = 1.227 xIO-3as = 2.0 x 1O& x 1.227 x 1O3 = 245,4MPa7 784 x 1253 + 402 x 245.41081kNCd = 1080

12、.6kN用力。離開頂面距離為工二 0,35 c =0.35 X 247 = 86.5mm對C位置取矩殊*M二點獷叩()中幼七(九-)二 784 X 1253 ( 480 - 86.5 )402 X 245.4 ( 550 - 86*5)=432.3x 10s = 4323kNm曲率小=一M 芟二 L05x lOFgd/mm|Ll 1 7 c 247(5 )截面頂纖維壓W變 =用和階段(4)同樣的方法疏解，得到g ItOininC K3OkNt/ps = 1494MPa f = 0.00837 )七二 4(ioMPaM = 555.3kNm爭=10.5 x 10_arad/inm(6 )截面頂纖維混凝土的壓應變七二0。3： 經(jīng)過試湊求得176mm,M 574.1kNm截面的曲率巾- 0.003/176 = 17.0 x io6rad/mm.例8-4計算結果匯總表(圖15)階”段外力矩 (kN. m)曲率X (rad/mm)