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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段、上,且,設平面平面,則下列結論中不成立的是()A.平面 B.C.當時,平面 D.當m變化時,直線l的位置不變2.已知橢圓的右焦點為F,左頂點為A,點P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④4.在平面直角坐標系中,銳角頂點在坐標原點,始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點,則()A. B. C. D.5.設分別為雙曲線的左、右焦點,過點作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點,若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.6.已知的共軛復數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當時,(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),若,則實數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.8.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.10.設直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.111.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點P是C的右支上一點,連接與y軸交于點M,若(O為坐標原點),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.12.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.84二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____,的最大值為_________14.已知復數(shù)z是純虛數(shù),則實數(shù)a=_____,|z|=_____.15.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.16.已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512,其展開式中第四項的系數(shù)__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.18.(12分)某商場為改進服務質(zhì)量,隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下:滿意不滿意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關?(2)為答謝顧客,該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動.據(jù)統(tǒng)計,在此期間顧客購買該商品的支付情況如下:支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付,1/2的顧客按6折支付,1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應事件發(fā)生的概率,記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為,求的分布列和數(shù)學期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列前項的和.20.(12分)設數(shù)列的前列項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:.21.(12分)已知橢圓()的離心率為,且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)過點作直線與橢圓交于不同的兩點,,試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關于軸對稱?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.22.(10分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,為橢圓上兩點,圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立;因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選:C【點睛】本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.2.C【解析】
不妨設在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學生的計算能力.3.A【解析】
對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.4.A【解析】
根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點在于公式的計算,識記公式,簡單計算,屬基礎題.5.C【解析】
如圖所示:切點為,連接,作軸于,計算,,,,根據(jù)勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:切點為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.6.D【解析】
設,整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設,因為,所以,所以,解得:,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為,此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識,考查了方程思想,屬于基礎題.7.B【解析】
根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對數(shù)運算,屬綜合基礎題.8.A【解析】
求導得到,根據(jù)切線方程得到,故,設,求導得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設,,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題,利用導數(shù)求最值,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.9.A【解析】
根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.10.B【解析】
過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎題.11.C【解析】
利用三角形與相似得,結合雙曲線的定義求得的關系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O,,由,與相似,所以,即,又因為,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結合思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力。12.B【解析】
由已知結合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.811【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結合可知,可行域為三角形,且底邊長,高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)?,顯然直線過時,z最大,故.故答案為:;11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎題.14.11【解析】
根據(jù)復數(shù)運算法則計算復數(shù)z,根據(jù)復數(shù)的概念和模長公式計算得解.【詳解】復數(shù)z,∵復數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點睛】此題考查復數(shù)的概念和模長計算,根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計算模長,關鍵在于熟練掌握復數(shù)的運算法則.15.【解析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關于的不等量關系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵,屬于基礎題.16.【解析】
先令可得其展開式各項系數(shù)的和,又由題意得,解得,進而可得其展開式的通項,即可得答案.【詳解】令,則有,解得,則二項式的展開式的通項為,令,則其展開式中的第4項的系數(shù)為,故答案為:【點睛】此題考查二項式定理的應用,解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)和,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分數(shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1°若,則,(元);2°若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1°若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2°若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用,考查古典概型,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1)有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關;(2)67元,見解析.【解析】
(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式,結合臨界值即得解;(2)的可能取值為40,60,80,1,根據(jù)題意依次計算概率,列出分布列,求數(shù)學期望即可.【詳解】(1)由題得,所以,有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關.(2)由題意可知的可能取值為40,60,80,1.,,,.則的分布列為4060801所以,(元).【點睛】本題考查了統(tǒng)計和概率綜合,考查了列聯(lián)表,隨機變量的分布列和數(shù)學期望等知識點,考查了學生數(shù)據(jù)處理,綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項公式;(2)求出,用裂項相消法求和.【詳解】解:(1)設等比數(shù)列的公比為又因為,所以解得(舍)或所以,即(2)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務必掌握.20.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構造等比數(shù)列即可求出通項公式;(2)當時,由,可求,時,由,可證,驗證時,不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當時,,,當時,,綜上,由可得遞增,,時;所以,綜上:故.【點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.21.(1)(2)見解析【解析】
(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線與直線恰關于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù),即,整理.設直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,將韋達定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得,,又,解得,.所以,橢圓的方程為(2)存在定點,滿足直線與直線恰關于軸對稱.設直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,整理得,.設,,定點.(依題意則由韋達定理可得,,.直線與直線/r/
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