隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限定理

隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限定理第五章

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.第一講數(shù)學(xué)期望

因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.這一講，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望和方差一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？某電話交換臺每天8:00-9:00收到的呼叫數(shù)X是一個隨機(jī)變量.如何定義X的平均值即該交換臺每天8:00-9:00收到的平均呼叫數(shù)呢？我們來看第一個問題.若統(tǒng)計100天,例1

某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個數(shù)能否作為X的平均值呢？可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來說,若統(tǒng)計n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率和概率的關(guān)系

不難想到，在求廢品數(shù)X的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個確定的數(shù).我們就用這個數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.這樣做是否合理呢？我們采用計算機(jī)模擬.

不妨把小張生產(chǎn)中出廢品的情形用一個球箱模型來描述:22300031112200033111有一個箱子，里面裝有10個大小，形狀完全相同的球，號碼如圖.規(guī)定從箱中任意取出一個球，記下球上的號碼，然后把球放回箱中為一次試驗.記X為所取出的球的號碼(對應(yīng)廢品數(shù)).X為隨機(jī)變量，X的概率分布列為下面我們用計算機(jī)進(jìn)行模擬試驗.2230003111X0123P

0.30.30.20.2輸入試驗次數(shù)(即天數(shù))n,計算機(jī)對小張的生產(chǎn)情況進(jìn)行模擬,統(tǒng)計他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)n0,n1,n2,n3,并計算與進(jìn)行比較.下面我們一起來看計算機(jī)模擬的結(jié)果.2230003111則對X作一系列觀察(試驗)，所得X的試驗值的平均值也是隨機(jī)的.由此引入離散型r.vX的數(shù)學(xué)期望的定義如下:

對于一個隨機(jī)變量，若它可能取的值是X1,X2,…,相應(yīng)的概率為p1,p2,

…,但是，如果試驗次數(shù)很大，出現(xiàn)Xk的頻率會接近于pk，于是可期望試驗值的平均值接近定義1

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率分布列是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…也就是說,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和.如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望如果發(fā)散，則X的數(shù)學(xué)期望不存在。EX的物理意義：表示一維離散質(zhì)點系的重心坐標(biāo)例2

某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解:

設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是例3(0－1分布)設(shè)X的分布列為X01P1－pp求EX解:EX＝0×(1－p)＋1×p＝

p例4．（泊松分布）設(shè)X的分布列為求EX。

解:二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為小區(qū)間[Xi,Xi+1)由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.陰影面積近似為近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v

的數(shù)學(xué)期望是由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望為也就是說,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分.EX物理意義：以f(x)為密度的一維連續(xù)質(zhì)點系的重心坐標(biāo)。例5．（均勻分布）設(shè)X的概率密度為求EX解:例6．（指數(shù)分布）設(shè)X的概率密度為求EX解:例7．（正態(tài)分布）設(shè)求EX解:例8．（柯西分布）設(shè)X的概率密度為求EX解:故EX不存在。

若X~U[a,b],即X服從[a,b]上的均勻分布,則若X服從若X服從參數(shù)為由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計算得：若X~B(1,P)則

EX=P

若X~E(λ)則若X服從幾何分布，則

這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個成年男子，分別測量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是1.68.已知某地區(qū)成年男子身高X~三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問題的提出：設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？如何計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?一種方法是，因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.

使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.類似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:設(shè)X是一個隨機(jī)變量，Y=g(X)，則

當(dāng)X為離散型時,P(X=xk)=pk;

當(dāng)X為連續(xù)型時,X的密度函數(shù)為f(x).

該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.將g(X)特殊化，可得到各種數(shù)字特征:其中

k是正整數(shù).例1.設(shè)X的分布列為X0123P求解：例2.設(shè)公共汽車起點站在每小時的10分，30分，

50分發(fā)車，一位不知發(fā)車時間的乘客，每小時內(nèi)到達(dá)車站的時間是隨機(jī)的，求該乘客在車站等車的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)每小時內(nèi)乘客到達(dá)車站的時間為X，等車時間為Y.X~U[0,60]則則設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,Z=g(X,Y)，則當(dāng)(X,Y)是離散型時：分布列為當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型時：聯(lián)合概率密度為f(x,y)

由此可知：已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度f(x,y),

可以求EX，EY即四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;

4.設(shè)X、Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);

3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（諸Xi獨立時）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例1

求二項分布的數(shù)學(xué)期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望.可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np.

X~B(n,p),若設(shè)則X=X1+X2+…+Xn=

npi=1,2，…，n因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).E(Xi)==p例2

把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱為一個巧合，求巧合個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:

設(shè)巧合個數(shù)為X,

k=1,2,…,n則故引入下面我們給出數(shù)學(xué)期望應(yīng)用的一個例子.合理驗血問題請看演示這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個重要的數(shù)字特征：方差

上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.第二講方差

例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？

甲儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差一、方差的定義采用平方是為了保證一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它與X具有相同的度量單位，在實際問題中經(jīng)常使用.

方差的算術(shù)平方根

稱為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2<∞，則稱D(X)=E[X-E(X)]2(1)為X的方差.若X的取值比較分散，則方差較大.若方差D(X)=0,則r.vX

以概率1取常數(shù)值.

方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較??；D(X)=E[X-E(X)]2X為離散型，P(X=xk)=pk由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.X為連續(xù)型，X~f(x)二、計算方差的一個簡化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)請自己用此公式計算常見分布的方差.例1.

設(shè)X~P(λ),求DX.EX=λ

解：例2.設(shè)X~U[a,b]求DX解：例3.設(shè)求DX解：若X~B（1，P）則DX=pq

若X~P（λ）則DX=λ若X~U[a,b]則若X~N（μ,σ2）則DX=σ2若X~E（λ）則例4

設(shè)r.v

X服從幾何分布，概率分布列為P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0<p<1,求D(X)解：記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無窮遞縮等比級數(shù)求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)三、方差的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;

2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);

3.若X1與X2

獨立，則

D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨立,則X1與X2不一定獨立時，D(X1+X2

)=？請思考

4.

D(X)=0P(X=C)=1，這里C=E(X)P(X=x)下面我們用一例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用.例5

二項分布的方差設(shè)X~B(n,p),則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).若設(shè)i=1,2，…，n

故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2E(Xi)=P(Xi=1)=p,E(Xi2)=p,

則是n次試驗中“成功”的次數(shù)=p-p2=p(1-p)于是i=1,2，…，n

D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p-p2=p(1-p)由于X1,X2,…,Xn相互獨立=np(1-p)這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差.它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度的一個數(shù)字特征.下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征：相關(guān)系數(shù)前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第三講協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)、矩

任意兩個隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),定義為⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,a)=0一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=ab

Cov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù).二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).定義:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為.若

則稱X與Y不相關(guān)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:

由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y

)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.例1

設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,（請課下自行驗證）因而=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨立.不難求得，Cov(X,Y)=0，例2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試證

X與不相關(guān),但不獨立.證明:對任意常數(shù)a有：從而X與不獨立.存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，（詳細(xì)證明自看,見教材.）即X和Y以概率1線性相關(guān).考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y的好壞程度,e值越小表示a+bX與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達(dá)到最小時的a,b.相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若

=0，Y與X無線性關(guān)系;Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若可見,若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;|

|的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)下面四個是等價的：但對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.例2

設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X和Y的任意線性組合是正態(tài)分布.解:

X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X與Y獨立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即Z~N(E(Z),D(Z))Z~N(5,32)故Z的概率密度是Z~N(5,32)這一講我們介紹了協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征.注意獨立與不相關(guān)并不是等價的.當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有X與Y獨立X與Y不相關(guān)若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度記作（X,Y）～N()則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且第四講二維正態(tài)分布

二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布.留給同學(xué)們自己證明.可以證明，對二維正態(tài)分布，已知

X=x下，Y的條件分布，或者已知

Y=y下，X的條件分布都仍是正態(tài)分布.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.第五講大數(shù)定律

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差D(X),則對于任給>0,有或由切比雪夫不等式可以看出，若D(X)越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.當(dāng)方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.例1.

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)

P(5200X9400)

=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)

=P(-2100X-E(X)2100)

=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.

例2.

在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時，才能使得在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n

次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n

=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)

=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在切比雪夫不等式中取n，則

=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依題意，取

即n取18750時，可以使得在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……幾個常見的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是相互獨立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤C，i=1,2,…，切比雪夫則對任意的ε>0，證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差D(X)，則對于任給>0,切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機(jī)變量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望偏差很小的概率接近于1.隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時，差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.定理2（獨立同分布下的大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,則對任給

>0,下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理2的一種特例.貝努里設(shè)Yn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,…,n則是事件A發(fā)生的頻率于是有下面的定理：設(shè)Yn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，定理3（貝努里大數(shù)定律）或貝努里貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率Yn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法.任給ε>0，蒲豐投針問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律當(dāng)投針次數(shù)n很大時，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得π的近似值.針長L線距a下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.依概率收斂定義：設(shè)是一個r,v序列，a是一個常數(shù)，若對任意則稱依概率收斂于a.記例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.這一講我們介紹了大數(shù)定律大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性

中心極限定理的客觀背景在實際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.第六講中心極限定理

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？由于無窮個隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.的分布函數(shù)的極限.可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.考慮中心極限定理這就是下面要介紹的在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡單情形.下面給出的獨立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.定理1（獨立同分布下的中心極限定理）它表明，當(dāng)n充分大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，則對一切x有:雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+…+Xn

的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分布.定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).實用中，0.1<p<0.9,npq>10時正態(tài)近似的效果較好.下面我們舉例說明中心極限定理的應(yīng)用從演示不難看到中心極限定理的客觀背景例:20個0-1分布的和的分布X1~f(x