數(shù)學(xué)專業(yè)發(fā)展前沿學(xué)習(xí)心得.doc

數(shù)學(xué)專業(yè)發(fā)展前沿學(xué)習(xí)心得李陽 數(shù)學(xué)0801 40763014數(shù)學(xué)源自于古希臘語，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門科學(xué)。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個(gè)性。數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩ν昝谰辰绲淖非?。雖然不同的傳統(tǒng)學(xué)派可以強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用，以及它們綜合起來的努力，才構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命力、可用性和它的崇高價(jià)值。基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞 及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見。從那時(shí)開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅度的進(jìn)展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期，因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識的加速，直至今日。 今日，數(shù)學(xué)被使用在世界不同的領(lǐng)域上，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等。數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實(shí)際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然許多以純數(shù)學(xué)開始的研究，但之后會(huì)發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用。1. 運(yùn)籌與最優(yōu)化1）歷史上的運(yùn)籌最優(yōu)化問題古老的運(yùn)籌問題：道路交通設(shè)計(jì)今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二，問物幾何？2）運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域：軍事 經(jīng)濟(jì) 計(jì)劃 金融 物理 化學(xué) 生物信息 分類 人工智能 圖像處理 數(shù)字信號處理 醫(yī)療 社會(huì)學(xué)天文 工業(yè)設(shè)計(jì) 航空航天 農(nóng)業(yè) 通信 等等3）從線性規(guī)劃到整數(shù)規(guī)劃線性規(guī)劃的可行域?yàn)榭臻g中的超多面體；求解線性規(guī)劃的迭代法：Fourier-Motzkin 消去法單純形方法橢球法內(nèi)點(diǎn)法（障礙法）單純形法Dantzig, 1947: 單純形法；Lemke, 1954; Beale, 1954: 對偶單純形法；Dantzig, 1953: 改進(jìn)單純形法橢球法Shor, 1970 - 1979Yudin & Nemirovskii, 1976Khachiyan, 1979M. Grtschel, L. Lovsz, A. Schrijver, 1988給定一個(gè)線性規(guī)劃，如何能求得一個(gè)可行解？求解線性規(guī)劃的迭代法：Fourier-Motzkin 消去法：不會(huì)再有人用了單純形方法：很不錯(cuò)對偶單純形方法：更好橢球法：理論上還算有意思內(nèi)點(diǎn)法/障礙法：經(jīng)常是最快的能夠在較短時(shí)間內(nèi)求解的LP規(guī)模 500,000 個(gè)變量 5,000,000 個(gè)約束比較容易解的整數(shù)規(guī)劃：最小支撐樹；匹配問題；最大流問題；最小費(fèi)用流問題；整數(shù)規(guī)劃問題的解法：分支定界；割平面。TSP問題及其應(yīng)用上界：近似求解方法下界：LP松弛TSP問題的工業(yè)應(yīng)用：芯片制造 打孔2.數(shù)學(xué)中的“混沌”混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性-不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的。1972年12月29日，美國麻省理工學(xué)院教授、混沌學(xué)開創(chuàng)人之一E.N.洛倫茲在美國科學(xué)發(fā)展學(xué)會(huì)第139次會(huì)議上發(fā)表了題為蝴蝶效應(yīng)的論文，提出一個(gè)貌似荒謬的論斷：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美國得克薩斯州產(chǎn)生一個(gè)龍卷風(fēng)，并由此提出了天氣的不可準(zhǔn)確預(yù)報(bào)性。時(shí)至今日，這一論斷仍為人津津樂道，更重要的是，它激發(fā)了人們對混沌學(xué)的濃厚興趣。與我們通常研究的線性科學(xué)不同，混沌學(xué)研究的是一種非線性科學(xué)，而非線性科學(xué)研究似乎總是把人們對“正?！笔挛铩罢！爆F(xiàn)象的認(rèn)識轉(zhuǎn)向?qū)Α胺闯！笔挛铩胺闯！爆F(xiàn)象的探索。例如，孤波不是周期性振蕩的規(guī)則傳播；“多媒體”技術(shù)對信息貯存、壓縮、傳播、轉(zhuǎn)換和控制過程中遇到大量的“非常規(guī)”現(xiàn)象產(chǎn)生所采用的“非常規(guī)”的新方法；混沌打破了確定性方程由初始條件嚴(yán)格確定系統(tǒng)未來運(yùn)動(dòng)的“常規(guī)”，出現(xiàn)所謂各種“奇異吸引子”現(xiàn)象等。 混沌來自于非線性動(dòng)力系統(tǒng)，而動(dòng)力系統(tǒng)又描述的是任意隨時(shí)間發(fā)展變化的過程，并且這樣的系統(tǒng)產(chǎn)生于生活的各個(gè)方面?；煦缦到y(tǒng)對初始條件很敏感。3. 多尺度數(shù)學(xué)方法在材料科學(xué)凝固過程中的應(yīng)用1）數(shù)學(xué)流體力學(xué)發(fā)展歷史的回顧主要是航空航天產(chǎn)業(yè)的百年輝煌，從人類歷史上第一次飛行到向宇宙深處的不斷探索，涉及到了理想不可壓縮流體的繞流問題。2）材料科學(xué)中金屬凝固理論研究進(jìn)展背景：材料是人類文明的物質(zhì)基礎(chǔ)，是社會(huì)進(jìn)步和高新技術(shù)發(fā)展的先導(dǎo)。自20世紀(jì)70年代開始，人們把信息、能源和材料譽(yù)為人類文明的三大支柱，80年代以來又把新材料技術(shù)與信息技術(shù)、生物技術(shù)列為高新技術(shù)革命的重要標(biāo)志。新材料技術(shù)的研究、開發(fā)與應(yīng)用反映了一個(gè)國家的科學(xué)技術(shù)和工業(yè)化水平。典型凝固加工的加工技術(shù)、理論體系和工藝技術(shù)：理論進(jìn)展有：a 液固相變形核理論-1940s-50s年代，Turnbull建立了液固相變中的形核理論b 晶體界面生長動(dòng)力學(xué)理論-1951年Burton、Cabrera和Frank 建立了晶體光滑界面的結(jié)構(gòu)模型與生長動(dòng)力學(xué)理論c. 成分過冷理論-1953年Chalmers等提出了界面穩(wěn)定性概念和成分過冷理論，揭示單相凝固組織出現(xiàn)復(fù)雜形態(tài)的內(nèi)在原因d . 界面穩(wěn)定性線性動(dòng)力學(xué)理論-1963和1964年Mullins和Sekerka 提出界面穩(wěn)定性的線性動(dòng)力學(xué)理論,確立界面穩(wěn)定性與溶質(zhì)邊界層、溫度梯度和界面能的關(guān)系。目前的研究方法：（1）實(shí)驗(yàn)方法 合金成分的優(yōu)化、組織性能的測試、組織形態(tài)的形成機(jī)制（2）數(shù)值模擬的方法 計(jì)算材料科學(xué)、利用相場法模擬組織與形態(tài)等（3）數(shù)學(xué)物理的方法 利用數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型，分析求解微分方程3）多尺度數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)在材料科學(xué)凝固過程中的應(yīng)用-數(shù)學(xué)物理中的漸近方法研究背景：新材料的開發(fā)與應(yīng)用，提出了大量的旨在探究與揭示現(xiàn)象的物理本質(zhì)與機(jī)制的基礎(chǔ)性課題。對各種形態(tài)材料生長系統(tǒng)中的研究，人們發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜紛紜、形態(tài)各異地出現(xiàn)在自然界的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，能呈現(xiàn)出一些普遍的共性特征。服從于具有相似的數(shù)學(xué)形式的規(guī)律； 并且能運(yùn)用共同的數(shù)學(xué)概念、途徑、工具進(jìn)行研究。一些重要的、基礎(chǔ)研究領(lǐng)域與學(xué)科方向：微米尺度上的材料生長與制備過程動(dòng)力學(xué)的研究；納米尺度上的材料生長與制備過程動(dòng)力學(xué)的研究；宏觀尺度上的材料生長與制備過程動(dòng)力學(xué)的研究。4.現(xiàn)代控制理論1）定義：現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的一種控制理論，是自動(dòng)控制理論的一個(gè)主要組成部分。在現(xiàn)代控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)主要是通過對系統(tǒng)的狀態(tài)變量的描述來進(jìn)行的，基本的方法是時(shí)間域方法。現(xiàn)代控制理論比經(jīng)典控制理論所能處理的控制問題要廣泛得多，包括線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，單變量系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)。它所采用的方法和算法也更適合于在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行?，F(xiàn)代控制理論還為設(shè)計(jì)和構(gòu)造具有指定的性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)提供了可能性。2）現(xiàn)代控制理論的發(fā)展過程：現(xiàn)代控制理論是在20世紀(jì)50年代中期迅速興起的空間技術(shù)的推動(dòng)下發(fā)展起來的?？臻g技術(shù)的發(fā)展迫切要求建立新的控制原理，以解決諸如把宇宙火箭和人造衛(wèi)星用最少燃料或最短時(shí)間準(zhǔn)確地發(fā)射到預(yù)定軌道一類的控制問題。這類控制問題十分復(fù)雜，采用經(jīng)典控制理論難以解決。1958年，蘇聯(lián)科學(xué)家龐特里亞金提出了名為極大值原理的綜合控制系統(tǒng)的新方法。19601961年，美國學(xué)者R.E.卡爾曼和R.S.布什建立了卡爾曼-布什濾波理論,因而有可能有效地考慮控制問題中所存在的隨機(jī)噪聲的影響，把控制理論的研究范圍擴(kuò)大，包括了更為復(fù)雜的控制問題。到60年代初，一套以狀態(tài)空間法、極大值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、卡爾曼-布什濾波為基礎(chǔ)的分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的新的原理和方法已經(jīng)確立。 現(xiàn)代控制理論所包含的學(xué)科內(nèi)容十分廣泛,主要的方面有:線性系統(tǒng)理論、非線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論、隨機(jī)控制理論和適應(yīng)控制理論。 線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最為基本和比較成熟的一個(gè)分支，著重于研究線性系統(tǒng)中狀態(tài)的控制和觀測問題，其基本的分析和綜合方法是狀態(tài)空間法。5.微分方程理論與應(yīng)用1）主要內(nèi)容：邊界層傳輸問題研究2）研究方向：常微分方程、泛函微分方程的穩(wěn)定性與定性理論、解析數(shù)論及其應(yīng)用、非牛頓流體力學(xué) 、生物數(shù)學(xué)3）研究內(nèi)容：非線性傳輸問題的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及定性行為；傳輸問題非線性微分方程的近似解析分析方法；分形介質(zhì)動(dòng)力學(xué)與分?jǐn)?shù)維粘彈性流體的解析理論；微分方程非線性邊界值問題；微分方程理論在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用研究等4）邊界層傳輸問題研究：研究背景、數(shù)學(xué)描述、實(shí)驗(yàn)臺(tái)的搭建與測試方法、數(shù)值模擬、 理論分析和近似計(jì)算5）邊界層：流體在大雷諾數(shù)下繞壁面流動(dòng)時(shí)，可把流體的粘性和導(dǎo)熱看成集中作用在流體壁面的薄層，即邊界層內(nèi) 6）研究背景：邊界層傳輸問題研究內(nèi)容，邊界層傳輸問題大多通過分析邊界層內(nèi)微元體的動(dòng)量、熱量和質(zhì)量守恒，采用一組非線性偏微分方程組進(jìn)行數(shù)學(xué)描述； 求解通量守恒方程組來分析確定邊界層內(nèi)速度、溫度和濃度分布，探析邊界層內(nèi)劇烈的動(dòng)量、熱量和質(zhì)量傳遞規(guī)律。 得出工程中需要的重要參數(shù)物面上的摩擦阻力和傳熱量。7）邊界層問題研究：研究背景、數(shù)學(xué)描述、實(shí)驗(yàn)臺(tái)的搭建與測試方法、數(shù)值模擬、 理論分析和近似計(jì)算8）利用拆分思想改進(jìn)同倫分析方法，定義并建立了同倫拆分法?；谝幌盗泻侠淼募僭O(shè)，完成同倫拆分方法的收斂性的證明，首次為使用提供了理論依據(jù)。利用收斂定理求解實(shí)際流體邊界層問題，驗(yàn)證了理論研究的科學(xué)性和有效性，初步做到理論與實(shí)際結(jié)合。9）漸近方法在邊界層問題中應(yīng)用求解思路：本課題是非牛頓磁性流體邊界層問題上的漸近解研究，求解思路是先引入流函數(shù)利用李群變換對現(xiàn)有的邊界層無量綱非線性偏微分方程組進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成一個(gè)常微分方程，將一個(gè)描述邊界層流動(dòng)的偏微分方程轉(zhuǎn)化成非線性邊值問題來求解；然后同倫分析方法進(jìn)行求解. 研究冪率速度運(yùn)動(dòng)表面非牛頓磁流體邊界層問題，結(jié)合Adomian拆分方法和同倫拆分方法進(jìn)行求解。隨磁場參數(shù) 的增加，壁摩擦力增大；隨冪律指數(shù)的增大，壁摩擦力減小。磁性參數(shù)M的增加，壁面摩擦力增大（兩