【步步高】高考數(shù)學總復習 函數(shù)的單調(diào)性與最值學案 理 北師大版(1).doc

學案5函數(shù)的單調(diào)性與最值導學目標： 1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會用單調(diào)性求函數(shù)的最值自主梳理1單調(diào)性(1)定義：一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為i，如果對于定義域i內(nèi)某個區(qū)間d上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間d上是_(2)單調(diào)性的定義的等價形式：設x1，x2a，b，那么(x1x2)(f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是_；(x1x2)(f(x1)f(x2)00)在 (，)，(，)上是單調(diào)_；在(，0)，(0，)上是單調(diào)_；函數(shù)yx(a0)在_上單調(diào)遞增2最值一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為i，如果存在實數(shù)m滿足：對于任意的xi，都有f(x)m(f(x)m)；存在x0i，使得f(x0)m.那么，稱m是函數(shù)yf(x)的_自我檢測1(2011杭州模擬)若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是 ()a增函數(shù)b減函數(shù)c先增后減d先減后增2設f(x)是(，)上的增函數(shù)，a為實數(shù)，則有 ()af(a)f(2a)bf(a2)f(a)cf(a2a)f(a)3下列函數(shù)在(0,1)上是增函數(shù)的是 ()ay12xbycyx22xdy54(2011合肥月考)設(a，b)，(c，d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，則f(x1)與f(x2)的大小關系是 ()af(x1)f(x2)cf(x1)f(x2)d不能確定5當x0,5時，函數(shù)f(x)3x24xc的值域為 ()ac,55cbc，ccc,55cdc,20c探究點一函數(shù)單調(diào)性的判定及證明例1設函數(shù)f(x)(ab0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性變式遷移1已知f(x)是定義在r上的增函數(shù)，對xr有f(x)0，且f(5)1，設f(x)f(x)，討論f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論探究點二函數(shù)的單調(diào)性與最值例2(2011煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)，x1，)(1)當a時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意x1，)，f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍變式遷移2已知函數(shù)f(x)x在(1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍探究點三抽象函數(shù)的單調(diào)性例3(2011廈門模擬)已知函數(shù)f(x)對于任意x，yr，總有f(x)f(y)f(xy)，且當x0時，f(x)1時，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)2.分類討論及數(shù)形結(jié)合思想例(12分)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值【答題模板】解f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa.(1) 當a0時，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.3分(2)當0a1時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.6分(3)當12時，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，(1)當a0時，f(x)min1，f(x)max34a；(2)當0a1時，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)當12時，f(x)min34a，f(x)max1.12分【突破思維障礙】(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的故只需確定對稱軸與區(qū)間的關系由于對稱軸是xa，而a的取值不定，從而導致了分類討論(2)不是應該分a2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間0,2所對應的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)1函數(shù)的單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的確定常用方法有：(1)定義法；(2)導數(shù)法；(3)圖象法；(4)單調(diào)性的運算性質(zhì)2若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間d上具有單調(diào)性，則在區(qū)間d上具有以下性質(zhì)：(1)f(x)與f(x)c具有相同的單調(diào)性(2)f(x)與af(x)，當a0時，具有相同的單調(diào)性，當af(a)，則實數(shù)a的取值范圍是 ()a(，1)(2，)b(1,2)c(2,1)d(，2)(1，)3(2009寧夏，海南)用mina，b，c表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為 ()a4b5c6d74(2011丹東月考)若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是 ()a(1,0)(0,1)b(1,0)(0,1c(0,1)d(0,15(2011葫蘆島模擬)已知定義在r上的增函數(shù)f(x)，滿足f(x)f(x)0，x1，x2，x3r，且x1x20，x2x30，x3x10，則f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()a一定大于0b一定小于0c等于0d正負都有可能題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_7設f(x)是增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是_(填序號)yf(x)2是增函數(shù)；y是減函數(shù)；yf(x)是減函數(shù)；y|f(x)|是增函數(shù)8設0x1，則函數(shù)y的最小值是_三、解答題(共38分)9(12分)(2011湖州模擬)已知函數(shù)f(x)a.(1)求證：函數(shù)yf(x)在(0，)上是增函數(shù)；(2)若f(x)0成立(1)判斷f(x)在1,1上的單調(diào)性，并證明它；(2)解不等式：f(x)f()；(3)若f(x)m22am1對所有的a1,1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍答案 自主梳理1(1)增函數(shù)(減函數(shù))(2)增函數(shù)減函數(shù)(3)單調(diào)區(qū)間(4)遞增遞減(，0)，(0，)2.最大(小)值自我檢測1b由已知得a0，b0.所以二次函數(shù)對稱軸為直線xa，f(x)在r上單調(diào)遞增，f(a21)f(a)3c常數(shù)函數(shù)不具有單調(diào)性4d在本題中，x1，x2不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故無法比較f(x1)與f(x2)的大小5cf(x)3(x)2c，x0,5，當x時，f(x)minc；當x5時，f(x)max55c.課堂活動區(qū)例1解題導引對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟為：取點，作差或作商，變形，判斷)來求解可導函數(shù)則可以利用導數(shù)求解有些函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩個或多個基本初等函數(shù)，利用其單調(diào)性可以方便求解解在定義域內(nèi)任取x1，x2，且使x10，yf(x2)f(x1).ab0，ba0，(ba)(x2x1)0，又x(，b)(b，)，只有當x1x2b，或bx1x2時，函數(shù)才單調(diào)當x1x2b，或bx1x2時，f(x2)f(x1)0，即y0.yf(x)在(，b)上是單調(diào)減函數(shù)，在(b，)上也是單調(diào)減函數(shù)變式遷移1解在r上任取x1、x2，設x1f(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)1，f(x)是r上的增函數(shù)，且f(5)1，當x5時，0f(x)5時f(x)1；若x1x25，則0f(x1)f(x2)1，0f(x1)f(x2)1，10，f(x2)x15，則f(x2)f(x1)1，f(x1)f(x2)1，10，f(x2)f(x1)綜上，f(x)在(，5)為減函數(shù)，在(5，)為增函數(shù)例2解(1)當a時，f(x)x2，設x1，x21，)且x1x2，f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1)x1x2，x1x20，又1x10，f(x1)f(x2)0，f(x1)0恒成立，等價于x22xa0恒成立設yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1遞增，當x1時，ymin3a，于是當且僅當ymin3a0時，函數(shù)f(x)恒成立，故a3.方法二f(x)x2，x1，)，當a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正，滿足題意，當a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.方法三在區(qū)間1，)上f(x)0恒成立等價于x22xa0恒成立即ax22x恒成立又x1，)，ax22x恒成立，a應大于函數(shù)ux22x，x1，)的最大值ax22x(x1)21.當x1時，u取得最大值3，a3.變式遷移2解設1x1x2.函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)(1)0.又x1x20，即ax1x2恒成立1x11，x1x2x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當x1時，f(x)0，f()0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)0時，由f(|x|)2，得f(x)9；當x0時，由f(|x|)2，得f(x)9，故x9或xa，解得2a0時，它有兩個減區(qū)間為(，1)和(1，)，故只需區(qū)間1,2是f(x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a的取值范圍是00，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.60，解析y.畫圖象如圖所示：可知遞增區(qū)間為0，7解析舉例：設f(x)x，易知均不正確84解析y，當0x1時，x(1x)(x)2.y4.9(1)證明當x(0，)時，f(x)a，設0x10，x2x10.f(x1)f(x2)(a)(a)0.(5分)f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，)上是增函數(shù)(6分)(2)解由題意a2x在(1，)上恒成立，設h(x)2x，則a0，h(x)在(1，)上單調(diào)遞增(10分)故ah(1)，即a3.a的取值范圍為(，3(12分)10解設f(x)的最小值為g(a)，則只需g(a)0，由題意知，f(x)的對稱軸為.(1)當4時，g(a)f(2)73a0，得a.又a4，故此時的a不存在(4分)(2)當2,2，即4a4時，g(a)f()3a0得6a2.又4a4，故4a2.(8分)(3)當2，即a4時，g(a)f(2)7a0得a7.又a4，故7a4.綜上得所求a的取值范圍是7a2.(12分)11解(1)任取x1，x21,1，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1,