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文檔簡介
2018-2019學年度第二學期高三年級一??荚嚁?shù)學(理科)試卷第I卷(選擇題共60分)一、選擇題(每小題5分,共60分.下列每小題所給選項只有一項符合題意,請將正確答案的序號填涂在答題卡上)1.已知全集為,集合,則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化簡集合B,再求得解.【詳解】由題得B=x|x2或x,所以,所以.故選:B【點睛】本題主要考查集合的交集和補集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2.若復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出復數(shù)z和,再求出在復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點的位置得解.【詳解】由題得,所以,所以在復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點為(1,1),在第一象限.故選:A【點睛】本題主要考查復數(shù)的模和復數(shù)的除法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某單位共有36名員工,按年齡分為老年、中年、青年三組,其人數(shù)之比為3:2:1,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為12的樣本,則青年組中甲、乙至少有一人被抽到的概率為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析:按分層抽樣應該從青年職工組中抽取人,其中青年組共有人,這六人中抽取兩人的基本事件共有種,甲乙至少有一人抽到的對立事件為甲乙均沒被抽到,基本事件為種,因此青年組中甲、乙至少有一人被抽到的概率為,故選B考點:1分層抽樣;2古典概型4.如圖是2017年第一季度五省情況圖,則下列陳述中不正確的是( )A. 2017年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 與去年同期相比,2017年第一季度的總量實現(xiàn)了增長.C. 去年同期河南省的總量不超過4000億元.D. 2017年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個.【答案】D【解析】分析:解決本題需要從統(tǒng)計圖獲取信息,解題的關鍵是明確圖表中數(shù)據(jù)的來源及所表示的意義,依據(jù)所代表的實際意義獲取正確的信息詳解:由折線圖可知A、B正確;,故C正確;2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇均第一;河南均第四,共2個.故D錯誤. 故選D.點睛:本題考查條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的綜合運用,讀懂統(tǒng)計圖,從不同的統(tǒng)計圖得到必要的住處是解決問題的關鍵5.是雙曲線右支上一點, 直線是雙曲線的一條漸近線.在上的射影為,是雙曲線的左焦點, 則的最小值為( )A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】設雙曲線的右焦點為,連接,則(為點到漸近線距離),即的最小值為;故選D.點睛:本題考查雙曲線的定義和漸近線方程;在處理涉及橢圓或雙曲線的點到兩焦點的距離問題時,往往利用橢圓或雙曲線的定義,將曲線上的點到一焦點的距離合理轉(zhuǎn)化到另一個焦點間的距離.6.如圖,在三棱柱中,兩兩互相垂直,是線段,上的點,平面與平面 所成(銳)二面角為,當最小時,( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出的大小【詳解】以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,設,設,則,0,1,0,1,1,0,設平面的法向量,取,得,平面的法向量,0,平面與平面所成(銳二面角為,解得,當|最小時,故選:【點睛】本題考查角的大小的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題7.已知函數(shù),在的大致圖象如圖所示,則可?。?)A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:從圖像可以看出為偶函數(shù),結(jié)合的形式可判斷出為偶函數(shù),故得的值,最后通過得到的值詳解:為上的偶函數(shù),而為上的偶函數(shù),故為上的偶函數(shù),所以因為,故,因,故,所以,因,故,所以綜上,故選B 點睛:本題為圖像題,考察我們從圖形中撲捉信息的能力,一般地,我們需要從圖形得到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值點和函數(shù)在特殊點的函數(shù)值,然后利用所得性質(zhì)求解參數(shù)的大小或取值范圍8.九章算術中描述的“羨除”是一個五面體,其中有三個面是梯形,另兩個面是三角形.已知一個羨除的三視圖如圖粗線所示,其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1,則該羨除的體積為( )A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】畫出五面體的直觀圖,利用割補法求其體積.【詳解】五面體對應的直觀圖為:由三視圖可得:,三個梯形均為等腰梯形且平面平面到底面的距離為,間的距離為.如下圖所示,將五面體分割成三個幾何體,其中為體積相等的四棱錐,且,則棱柱為直棱柱,為直角三角形.又;,故五面體的體積為.故選A.【點睛】本題考查三視圖,要求根據(jù)三視圖復原幾何體,注意復原前后點、線、面的關系而不規(guī)則幾何體的體積的計算,可將其分割成體積容易計算的規(guī)則的幾何體.9.在中,內(nèi)角所對的邊分別是,且邊上的高為,則 的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,這個形式很容易聯(lián)想到余弦定理:cosA,而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積, bcsinA,即a22bcsinA,將代入得:b2c22bc(cosAsinA),2(cosAsinA)4sin(A),當A時取得最大值4,故選D點睛:三角形中最值問題,一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關系,利用基本不等式或函數(shù)方法求最值. 在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現(xiàn)錯誤.10.已知函數(shù),若,且,則的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到的最小值等于函數(shù)f(x)的絕對值最小的零點的2倍,再求函數(shù)的絕對值最小的零點即得解.【詳解】由題得等于函數(shù)的零點的2倍,所以的最小值等于函數(shù)f(x)的絕對值最小的零點的2倍,令所以,所以所以絕對值最小的零點為,故的最小值為.故選:D【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.過拋物線的焦點的一條直線交拋物線于、兩點,正三角形的頂點在直線上,則的邊長是( )A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】設的中點為,過、分別作、垂直于直線于、,設,求出,利用弦長公式,可得結(jié)論【詳解】拋物線的焦點為,設的中點為,過、分別作、垂直于直線于、,設,由拋物線定義知:,即,所以直線AB的斜率k=,所以直線AB的方程為,聯(lián)立直線AB方程和拋物線方程得,所以.故選:【點睛】本題考查拋物線的方程與性質(zhì),考查拋物線的定義,正確運用拋物線的定義是關鍵12.設函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當時,若存在,且為函數(shù)的一個零點,則實數(shù)的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對函數(shù)求導,判斷其單調(diào)性,進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因為,所以,所以為奇函數(shù),當時,所以在上單調(diào)遞減,所以R上單調(diào)遞減.因為存在,所以,所以,化簡得,所以,即令,因為為函數(shù)的一個零點,所以在時有一個零點因為當時,所以函數(shù)在時單調(diào)遞減,由選項知,又因為,所以要使在時有一個零點,只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題,難度較大.第卷(共90分)二、填空題:(本大題共4小題,每題5分,共20分)13.若實數(shù),滿足約束條件,則的最小值為_.【答案】【解析】分析】先畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求z的最小值【詳解】作出約束條件,表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分):由得A(,),由z3x+y得y3x+z,平移y3x,易知過點A時直線在y上截距最小,所以的最小值為+故答案為:2【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,關鍵是畫出可行域并理解目標函數(shù)的幾何意義14.若,則的值為_【答案】0【解析】試題分析:由,解得,又考點:三角函數(shù)的化簡求值15.函數(shù)圖像上不同兩點,處的切線的斜率分別是,為兩點間距離,定義為曲線在點與點之間的“曲率”,給出以下命題:存在這樣的函數(shù),該函數(shù)圖像上任意兩點之間的“曲率”為常數(shù);函數(shù)圖像上兩點與的橫坐標分別為1,2,則 “曲率”;函數(shù)圖像上任意兩點之間 的“曲率”;設,是曲線上不同兩點,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是。其中正確命題的序號為_(填上所有正確命題的序號)?!敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析:因當時,曲率為,是常數(shù),故是正確的;又因當時,故,所以是錯誤的;因,故,所以,故正確成立;因,故,所以,所以是錯誤的.故應填。考點:函數(shù)的圖象性質(zhì)及導數(shù)等有關知識的綜合運用?!疽族e點晴】函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高中數(shù)學中重要內(nèi)容,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點。本題以定義新的概念“為曲線在點與點之間的“曲率”為背景精心設置了一道選擇填空形式的問題。重在考查推理判斷的推理論證能力,求解時要充分借助題設中新定義的新的信息,對所給的四個命題進行逐一檢驗和推斷,最后通過推理和判斷得出命題是真命題,命題是假命題,從而獲得本題的正確答案為。16.在平面直角坐標系中,已知圓,點,是圓上相異兩點,且,若,則的取值范圍是_.【答案】【解析】試題分析:由已知可得設到直線的距離分別是,又,設,,又,可知分別在圓,由下圖可得的取值范圍是考點:向量及其運算.【方法點晴】本題主要考查向量及其運算,其中涉及數(shù)形結(jié)合思想,計算繁雜,屬于較難題型。由已知可得由已知可得設到直線的距離分別是,又分別在圓的取值范圍是【此處有視頻,請去附件查看】三、解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)17.已知等比數(shù)列的前項和為,.(1)求的值;(2)等差數(shù)列的公差,前項和滿足,且,成等比數(shù)列,求.【答案】(1)1;(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)已知先求出q=3,再根據(jù)已知求出的值;(2)先求出,再求出,再求出.【詳解】解:(1), , (2)由(1)得, ,成等比數(shù)列 解得或(舍), 【點睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項的求法,考查等差數(shù)列的前n項和的求法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中:(I)證明:平面平面;()若點在棱上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的余弦值. 圖一圖二【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)設AC的中點為O,證明PO垂直AC,OB,結(jié)合平面與平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐標系,分別計算兩相交平面的法向量,結(jié)合向量的數(shù)量積公式,計算夾角,即可.【詳解】()設的中點為,連接,.由題意,得,.因為在中,為的中點,所以,因為在中,所以.因為,平面,所以平面,因為平面,所以平面平面.()由()知,平面,所以是直線與平面所成的角,且,所以當最短時,即是的中點時,最大.由平面,所以,于是以,所在直線分別軸,軸,軸建立如圖示空間直角坐標系,則,.設平面的法向量為,則由得:.令,得,即.設平面的法向量為,由得:,令,得,即.由圖可知,二面角的余弦值為.【點睛】本道題考查了二面角計算以及平面與平面垂直的判定,難度較大.19.“工資條里顯紅利,個稅新政入民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.某從業(yè)者為了解自己在個稅新政下能享受多少稅收紅利,繪制了他在26歲-35歲(2009年-2018年)之間各年的月平均收入(單位:千元)的散點圖:(注:年齡代碼1-10分別對應年齡26-35歲)(1)由散點圖知,可用回歸模型擬合與的關系,試根據(jù)有關數(shù)據(jù)建立關于的回歸方程;(2)如果該從業(yè)者在個稅新政下的專項附加扣除為3000元/月,試利用(1)的結(jié)果,將月平均收入視為月收入,根據(jù)新舊個稅政策,估計他36歲時每個月少繳納的個人所得稅.附注:參考數(shù)據(jù):,其中:取,.參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為,.新舊個稅政策下每月應納稅所得額(含稅)計算方法及稅率表如下:舊個稅稅率表(個稅起征點3500元)新個稅稅率表(個稅起征點5000元)繳稅級數(shù)每月應納稅所得額(含稅)收入個稅起征點稅率每月應納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除稅率1不超過1500元的都分3不超過3000元的都分32超過1500元至4500元的部分10超過3000元至12000元的部分103超過4500元至9000元的部分20超過12000元至25000元的部分204超過9000元至35000元的部分25超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元的部分30超過35000元至55000元的部分30【答案】(1);(2)2130元.【解析】【分析】(1)利用已知求出y關于t的線性回歸方程,從而得出y關于x的回歸方程;(2)估計36歲時的收入和兩種政策對應的個稅,得出結(jié)論【詳解】解:(1),則y關于x的回歸方程為:(2)該從業(yè)者36歲時的月收入約為元,若按舊個稅政策,需繳納個稅為:,若按新個稅政策,需繳納個稅為:,他36歲時每個月少繳交的個人所得稅2130元【點睛】本題主要考查了線性回歸方程的求解及數(shù)據(jù)估計,考查計算能力,屬于中檔題20.已知橢圓C:過點,離心率為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設F1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點,過F2的直線l與橢圓C交于不同兩點M,N,記F1MN的內(nèi)切圓的面積為S,求當S取最大值時直線l的方程,并求出最大值【答案】(1);(2),.【解析】【分析】(1)運用離心率公式和點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,即可得到橢圓方程;(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),F(xiàn)1MN的內(nèi)切圓半徑為r,運用等積法和韋達定理,弦長公式,結(jié)合基本不等式即可求得最大值【詳解】()由題意得+=1,=,a2=b2+c2, 解得a=2,b=,c=1,橢圓C的標準方程為+=1;()設M(x1,y1),N(x2,y2),F(xiàn)1MN的內(nèi)切圓半徑為r,則=(|MN|+|MF1|+|NF1|)r=8r=4r,所以要使S取最大值,只需最大,則=|F1F2|y1y2|=|y1y2|,設直線l的方程為x=ty+1,將x=ty+1代入+=1;可得(3t2+4)y2+6ty9=0(*)0恒成立,方程(*)恒有解,y1+y2=,y1y2=,=,記m=(m1),=在1,+)上遞減,當m=1即t=0時,()max=3,此時l:x=1,Smax=【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運用,聯(lián)立直線方程,運用韋達定理和三角形的面積公式,考查運算能力,屬于中檔題21.已知函數(shù).(1)若關于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)使得總成立?若存在,求實數(shù)的值;若不存在,說明理由.【答案】(1);(2)存在實數(shù)滿足題意.【解析】【詳解】(1)由得:設,則令,得,列表得:x12-0+h(x)極小值m-2+ln2當時,的極小值為,又,方程在上給有兩個不相等的實數(shù)根,故即解得:.(2)存在,理由如下:等價于,或令,則,若,當時,所以:當時,所以,所以在單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,又,所以,當且僅當時,從而在上單調(diào)遞增,又,所以或即.若,因為在遞增且,當時,所以存在,使得,因為在單調(diào)遞增,所
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