不定積分第一類換元法

1、不定積分第一類換元法(湊微分法) 一、 方法簡介 設(shè)具有原函數(shù) F(),即 F(u) = /(), jf(u)du = F(u) + C t 如果是 中間變量，=(PM ,且設(shè)0(勸可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，有 dFcpx) = f(px)(pxdx 從而根據(jù)不定積分的定義得 J fl(p(x)px)dx= F 回 x) + C = J/(“)“ =g) 則有定理： 設(shè)/()具有原函數(shù)，“=卩(.工)可導(dǎo)，則有換元公式 J fi(px)(pxdx = IJ f(u)chiii=(x) 由此定理可見，雖然J f(p(x(pxdx是一個整體的記號，但如用導(dǎo)數(shù)記號牛 中的dxUdy可看作微分，被

2、積表達(dá)式中的力也可當(dāng)做變量x的微分來對待，從 而微分等式0(勸厶可以方便地應(yīng)用到被積表達(dá)式中。 幾大類常見的湊微分形式： J f (ax + b)dx = j f(ax + b)d(ax + Z?) (a H 0); (2) j/(sinx)cosxv = J/(sinx)6/sinx , J/(cosx)siiixtZv = -j f(cosx)(/cosx , f /(tanx) = I*/(tanx)6/ tanx , f (cotx) = -f /(cotxX/cotx ; Jcos x JJsin牙 J、 j/(In x)-dx = j/(In x)d In x , j f(ex)e

3、xdx = J f(ex)dex ； X jVxx*加=丄“X)必(心o),”(丄)學(xué)-7(丄)(丄), 71A XA A =2j/(Vx)J(Vx)； j /(arcs in x) ,= |/(arcs in x)d arcs in x J /(arctanx)= J /(arctanx)d arctanx ; 復(fù)雜因式 【不定積分的第一類換元法 巳知“ () = F() + C 求 J gMdx = j f(p(.x)(x)c/x = J【湊微分】 = fWdu = F(“)+ C【做變換，令=(p(x),再積分】 =F(0(x) + C【變長還原，” =0(x)】 【求不定積分J* g(

4、x)dx的第一換元法的具體步驟如下:】 (0變換被積函數(shù)的積分形式：* arcco b dx f dv xlnxlnlnx (8) j xe-1 dv; (9) dx sin x cos x (10) JtanVl + x2 xdx Jl + F (14) r sinx J cos3 X 1、解 被積函數(shù)中，cos2x是cosu與2*的篦臺函數(shù)，常數(shù)因于2恰好是中間變長 U 2x的導(dǎo)數(shù)，因此作變長代換u 2衛(wèi)便有 J 2 cos 2x dx j cos 2x 2 dx cos 2x (2 x) dx= J cos udu=sinu+C. 再以 u 2x 代入，即得 J 2 c()s2.vd.v

5、 sin2.v+- C 2、解 磊可看成士與“ 2+的復(fù)臺函數(shù)，被積函教中雖沒有2這個因于，但 我們可以湊出這個因于: 2x + 52 2x + 5 7 (2.V+-5)* , 2x + 5 從而令u 2卄5,便有 rl 衣J廠 7ln I 般地，對于積分7 (如總可以作變星代換”卅b,把它化為 J/(A+)d= J 3、解 f tan .vd.v f dx=- JJ cosx j 11 -(2卄 5)氐=- 2x + 52 J 2x + 5 u +C=-ln|2x + 5| +C 2 COSX d(2x+5)=丄-du 2 J u 寸6)= f j/. (cosx) dx= 一 f ! d(

6、cos勸 令“ =COS X J cos牙= ln|z/|+C ln|cos x|+C. 類似地可得J cot vdx In sin x +C 4 解 x J y/ X2 (1 X) d.v = I J(1-x2)2 d(l x2) 313 -3/?+C3 在對變呈代換比較熟練以后，就不一圭寫出中間變長 5、解 -1一d (-) +(.2 G a 只需做到“心中有er即可. ,X x1X )arctail +C aa a 6、解 x arcsin +C. 7、解 J sin3 .vdx= J (1-cos2 x) sinEx J (1 cos a) d(cosx) J d (COSA)+ J

7、COS xd(CQSA) 13 cos.r*- cos x+C. 3 g r *r l-cos2x1 f f 1 e1 8 解 J sin e* j dy jd x J cos 2x d(2 x 2 2 2 sin2x+Q 類似地可得 r 211. j COS .vd.v= yH sin2y+C J24 10、解 9.解 f! J (a + x)(t/ 一 x) 1 a + x !)cLv a-x (d + x) a + x d (a x) a-x jsecxdy 1 dx cosx cosx d.V COS* X J 7 J 1-sin x d(sin.v) lInl+c 2 1-sinx （由例8） ln|secx + kmx| +C 類似地可得 j esc x d.v In |csc x - cot x| + C. 11、解利用三角函數(shù)的積化和差公式有 J COS 3x CQs2.vdx f 1_ (cosA*+cos5.v)d.v J 2 y J COS X d.H-j COS 5x d(5或 sin.H- sin5x+Q 2 10 12、解 總“3仮)=1 13、解 Jtan、xse?xd* j tan4 xsec2 xsccauiaxI.v j(sec2 x-1)2 sec2xd(s