第一節(jié)級數(shù)的概念與性質(zhì)37982

1、第一節(jié)第一節(jié) 級數(shù)的概念與性質(zhì)級數(shù)的概念與性質(zhì)一、基本概念一、基本概念 nnnuuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項部分和項部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散: :如果如果ns沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散. .即即 常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )例例 1 1 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) ) nnnaqaqaq

2、aaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時時如果如果1 q12 nnaqaqaqasqqan 1)1(,1時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim級數(shù)收斂級數(shù)收斂,1時時當當 q nnqlim nnslim級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散時時如果如果1 q,1時時當當 q,1時時當當 q nasn級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 , 0,為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)nnasn不不存存在在nns lim級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 綜上綜上,得級數(shù)得級數(shù) 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn例例 2 2 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) 11232nnn的收斂性的收斂性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知

3、級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散例例 3 3 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) )12()12(1531311nn 的收斂性的收斂性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和為和為級數(shù)收斂級數(shù)收斂二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)結論結論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. .結論結論: :

4、 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .解解 1)1(5nnn 11115nnn5)111(lim5 nn 121nn, 121121 . 61521)1(51 nnnn故故)111()3121()211(lim5 nnn證明證明nkkknuuu 21 ,kknss kknnnnss limlim 則則.kss 類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性影響級數(shù)的斂散性.性性質(zhì)質(zhì) 4 4 收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(21111nnnuuu

5、u.lim,limssssknknn ,knks 其前其前 k 項部分和項部分和.limlimssknkkk 注意注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例如例如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散三、收斂的必要條件三、收斂的必要條件. 0lim nnu證明證明sunn 1設設,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :注意注意1.1.如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發(fā)散發(fā)散2.2.必

6、要條件不充分必要條件不充分. ., 0lim但但調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的有有 nnu n131211例如調(diào)和級數(shù)例如調(diào)和級數(shù)證法一證法一: :nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和為其和為假設調(diào)和級數(shù)收斂假設調(diào)和級數(shù)收斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散)(210 n便有便有.這是不可能的這是不可能的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項4項2項2項 項m221每每項項均均大大于于21)1(1 mm項部分和大于項部分和大于即前即前由性質(zhì)由性質(zhì)4 4的推論的推論, ,知原知原級

7、數(shù)級數(shù)(調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)) )發(fā)散發(fā)散. .證法二證法二: :nsn1211 ,)1ln(111 ndxxn)( n故調(diào)和級數(shù)發(fā)散。故調(diào)和級數(shù)發(fā)散。調(diào)和級數(shù)的部分和調(diào)和級數(shù)的部分和dxxdxnnnnnn 11111dxxdxxdxxnn 13221111證法三證法三: :小結小結1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2 2. .當當0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). .常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51

8、nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_；3 3、 若級數(shù)為若級數(shù)為 642422xxxx則則 na_；4 4、 若級數(shù)為若級數(shù)為 97535432aaaa則則 na_；5 5、 若級數(shù)為若級數(shù)為 615413211 則當則當 n_時時 na_；當；當 n_時時 na_；6 6、 等比級數(shù)等比級數(shù) 0nnaq, ,當當_時收斂；當時收斂；當_時發(fā)散時發(fā)散 . .練習題練習題二二、由定義判別級數(shù)、由定義判別級數(shù) )12)(12(1751531311nn的 收 斂的 收 斂性性. . 三三、判別下列級數(shù)的收斂性、判別下列級數(shù)的收斂性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 練習題答案練習題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(642