第三節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

1、準(zhǔn)則準(zhǔn)則i (函數(shù)夾逼定理函數(shù)夾逼定理) );()()(xgxhxf 有有axgaxfxxxx )(lim,)(lim)2(00.)(lim0axhxx 則則1.3 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限 這一節(jié)介紹兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則這一節(jié)介紹兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則, 并用它們證明并用它們證明兩個(gè)重要的極限兩個(gè)重要的極限.的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,),(, 0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) aux 且滿足以下條件且滿足以下條件:)()(),(xgxhxf和和設(shè)設(shè)在在 x0證證axgaxhaxf )()()(所以所以)(,)(max)(axgaxfaxh axgaxf )()(是無(wú)窮小

2、是無(wú)窮小，axgaxf )()(.)(lim0axhxx 所以所以由由 有有),()()(xgxhxf 由由 有有,)(lim,)(lim00axgaxfxxxx ,nnyx 與與), 3 , 2 , 1(,)1( nyzxnnnayaxnnnn lim,lim)2(如果數(shù)列如果數(shù)列 及及 滿足以下條件滿足以下條件:,nnzxny.limaznn 則則注意注意: 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出準(zhǔn)則準(zhǔn)則 i (數(shù)列夾逼定理數(shù)列夾逼定理) .的極限容易求的極限容易求與與并且并且nnyx例例1 求求 .12111lim222 nnnnn解解11112222 nnnnnn

3、nnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由由夾逼定理夾逼定理得得112111lim222 nnnnn例例2 證明證明 證證. 1lim nnn, 1,1 nnn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0,1 nnnn 其中其中設(shè)設(shè)則則nnn)1( nnnnnnn 2! 2)1(12! 2)1(nnn 從而從而,122 nn 即即,12 nn 故故,1211 nnn, 1121lim nn而而所以所以. 1lim nnn. 1sinlim0 xxx,sinbdx ,xoab的圓心角為的圓心角為扇形扇形,bdoab的的高高為為 的面積的面積圓扇形圓扇形aob, xaob

4、圓心角圓心角.aco 得得,abx弧弧 ,tanacx 的面積的面積aoc 的面積的面積aobxoabdc第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限: 20 x證證于是于是作單位圓作單位圓o,作單位圓的切線作單位圓的切線ac,cos1sin1xxx 1sincos xxx.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x , 02lim20 xx,tan2121sin21xxx 即即由由夾逼定理夾逼定理于是于是xxxcos1sin10 ,22sin222xx . 1sinlim0 xxx所以所以, 0sin1lim0 xxx.cos1lim20 xxx 解解2202sin2limxxx 原式原式220sin12lim2

5、2xxx 20sin12lim22xxx 211212 例例3 求求 解解原式原式.tanlim0 xxx例例4 求求 , 1)()(sinlim xuxuax第一個(gè)重要極限對(duì)于第一個(gè)重要極限對(duì)于復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)有有其中其中 的非零無(wú)窮小的非零無(wú)窮小.axxu是是)(xxxxcossinlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx解解故故.arcsinlim0 xxx例例5 求求 ttxxtxsinlimarcsinlim00 . 1 ,arcsintx 令令,sintx 即即. 0,0tx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x1x2x3x1 nxnx,121 nnxxxx單調(diào)增加

6、單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:am準(zhǔn)則準(zhǔn)則ii 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準(zhǔn)則準(zhǔn)則ii (函數(shù)形式函數(shù)形式) 若函數(shù)若函數(shù) 是是i 上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù), 則它則它在在i 內(nèi)每一點(diǎn)的單側(cè)極限存在內(nèi)每一點(diǎn)的單側(cè)極限存在.rif:如果數(shù)列如果數(shù)列 滿足滿足:nx.lim,limaxxnnnn 設(shè)設(shè)存在存在故故,1limlim1 nnnnxnax于是于是, 00 aa即即解解例例6 求求 ).0( ,!lim anann由由 為常數(shù)為常數(shù), 0 a有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1an )!1(011 naxnnnxna1 nx 且有下界且有下界0

7、, 說(shuō)明說(shuō)明n足夠大后足夠大后, 數(shù)列數(shù)列 單調(diào)減少單調(diào)減少, nx. 0!lim nann所以所以第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限: exxx 10)1(lim)3(;,11lim)1(ennn記為記為存在存在 ), 2 , 1(0,)(21121nixnxxxxxxinnn ;11lim)2(exxx 我們利用不等式我們利用不等式 從而該數(shù)列有極限從而該數(shù)列有極限. nn11證明證明數(shù)列數(shù)列 單調(diào)增加單調(diào)增加, 并且有上界并且有上界,111111111 nnnnnn對(duì)于正整數(shù)對(duì)于正整數(shù)n, 有有111 n,111111 nnnn即即 nn11所以所以數(shù)列數(shù)列 是嚴(yán)格單調(diào)增加的是嚴(yán)格單調(diào)增加的;

8、 111nn所以數(shù)列所以數(shù)列 是嚴(yán)格單調(diào)遞降的是嚴(yán)格單調(diào)遞降的.21)1(111211 nnnnnnnn,21 nn又由于又由于 所以所以 ,211121 nnnnnn,12121 nnnnnn于是于是 ,1111121 nnnn于是于是 11111 nnnn41112 nn 111 nn11從而數(shù)列從而數(shù)列 單調(diào)增加單調(diào)增加, 并且有上界并且有上界,由極限存在準(zhǔn)則由極限存在準(zhǔn)則ii,.,11limennn記為記為存在存在 (e = 2.718281828495045235360287471352 ),1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 nxn則則xxxnxn 1111111,1111lim11lim1en

9、nnnxnx ,nx 設(shè)設(shè)證證 (2) 先證先證 .11limexxx 從而從而,11111111 nxnnxn而而ennnnxnx 111111lim111lim1.11limexxx 再證再證 由由夾逼定理夾逼定理得得 .11limexxx yyxxyx 11lim11lim,xy 令令yyy 111limeyyyy 111111lim1.11limexxx ,1xt ttxxtx 11lim)1(lim10. e .)1(lim10exxx 綜合上述綜合上述, 有有 第二個(gè)重要極限另一常用形式第二個(gè)重要極限另一常用形式 令令解解解解2e .11limxxx 例例7 求求 例例8 求求 .23lim2xxxx .1 e422211211lim xxxx原式原式111lim xxx原式原式解解1.21limxxxx ).2( tx即即., tx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)于是于是211lim21lim ttxxtxx21111lim tttt1 e例例9 求求 ,1121txx 令令解解2xxxx 21lim1 exxxx 2111limxxxxx 2111lim222111lim xxxxx2ee * *柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限, 的數(shù)列一定有界卻不一定單調(diào)的數(shù)列一定有界卻不一定單調(diào).但