平面向量的概念和運算專題訓練

1、全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)平面向量的概念和運算經典必備1. 向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量aB的大小叫做向量的長度(或模)，記作|aB|.零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行 向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：0與任一向量平行.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 相反向量：與向量a長度相等且方向相反的向量叫做 a的相反向量.規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量.2. 向量的加法(1)

2、定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.(2) 法則：三角形法則；平行四邊形法則.a三角形法則平行四邊形法則(3)運算律:a+ b= b+ a； (a+ b) + c= a+ (b+ c).3. 向量的減法 (1)定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.(2)法則：三角形法則.全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）4.向量的數乘（1）實數入與向量a的積是一個向量，記作la，它的長度與方向 規(guī)定如下:當>0時，?a與a的方向相同;?<0時，怯與a的方向相反;1= 0 時，?a= 0.運算律：設 入卩 R，貝y： ？（0）=（入）a （入+2a=?a+ g : X a +

3、b） = ?a + lb.5. 向量共線的判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數1使得b= ?a，則向量b與非零向量a共線.6. 平面向量基本定理如果6i, 62是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,存在唯對實數 1、1,使a= 161 + 162.我們把不共線的向量ei, e2叫作表示這一平面內所有向量的一組 基底.一個平面向量a能用一組基底e1, 62表示，即a=入&+ ?2e2.則稱它為向量的分解。當61,62互相垂直時，就稱為向量的正交分解。7. 平面向量的坐標運算全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）(1)設 A(xi, yi), B(X2,

4、 y2),則 AB= (x2-xi, y2-yj, |AB| = 7(X2 xi)2 +(y2 yif.(2)設 a= (xi, yi), b= (x2,沁，則 a+ b= (xi + x2, yi + y2), a b= (xi x2, yi y2), 若 a= (x, y)，貝y 5a =(入，入 y； |a|=px2+ y2.8. 向量平行的坐標表示設 a= (Xi, yd,b= (x2,，y2，其中0.aIIb?a=?b?Xiy? 2yi =0.經典典例題型一 平面向量的基本概念例1給出下列命題： 向量aB的長度與向量bA的長度相等; 兩個非零向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反;

5、 兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同; 兩個有公共終點的向量一定是共線向量.其中不正確命題的個數為（）A. 1B. 2經典跟蹤C. 3D. 41下列命題中，正確的是 .（填序號）有向線段就是向量，向量就是有向線段； 向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反; 向量AB與向量CD共線，則A、B、C、D四點共線; 如果a IIb, bI c,那么all c;全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解） 兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.2給出下列命題: 若|a|= |b|,則a= b；若A, B, C, D是不共線的四點，貝廠'AB =DC”是“四邊形ABCD為平行

6、四邊形”的充要條件；若 a=b, b= c,貝y a= c；a= b的充要條件是|a| = |b|且a/ b. 其中正確命題的序號是.題型二 平面向量的線性運算例2 （1）（優(yōu)質試題 新課標全國I, 7）設D為 ABC所在平面內一點，BC= 3CD，則(A.AD = -3aB+ 3ac)B.AD = lAB-3yACD.AD = 4Ad3，點 M , N 滿足 AM = 2MC ,-gAC (2)(優(yōu)質試題 北京，13)在 ABC中;y=BN= NC若mN = xAB+yAC,貝y x=A經典跟蹤1.如圖，已知 AB = a, AC = b, BD = 3DC,用 a, b表示AD，則AD =

7、()全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）3A. a + 4bB. 4a+4bC. 4a+4bD. 4aC. (6, 10)D. (- 6, - 10)+ 4b 2.（優(yōu)質試題 新課標全國I, 6）設D, E, F分別為 ABC的三邊BC, CA, AB 的中點，貝y EB+ FC=()a.ADb.4ADc.BCbC題型三 線性運算下的向量共線例3 （優(yōu)質試題新課標II理）設向量a, b不平行，向量；a+ b與 a+ 2 b平行，則實數X= 經典跟蹤 1 .設a, b是兩個不共線的非零向量，若8a + kb與ka + 2b共線, 則實數k= 題型四 平面向量的坐標表示例4(1)(優(yōu)質試

8、題 廣東，3)若向量BA= (2, 3), CA= (4, 7),則 BC=()A . (-2,- 4)B. (2, 4)全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)(2)(優(yōu)質試題 江蘇，6)已知向量a= (2, 1), b= (1, 2),若ma+ nb= (9, 8)(m, n R)，貝U m n 的值為經典跟蹤 1.(優(yōu)質試題 北京，13)向量a, b, c在正方形網格中的位置如圖所示.若c= ?a+血(入，II R)，則Z aL_L_L_L_LL2.(優(yōu)質試題新課標全國I , 2)已知點A(0, 1), B(3, 2)，向量B.(7 , 4)D.(1 , 4)AC= ( 4, 3)

9、，則向量 BC=()A.( 7， 4)C.( 1, 4)題型五坐標運算下的向量共線例 5(1)若向量 a= (2, 3), b= (x, 9)，且 a/ b,則實數 x=已知點A( 1,1), B(2, y),向量a= (1,2)，若AB / a，則實數 y的值為()C. 7經典跟蹤 1.已知向量 a= (1,2), b= (x,1), u = a+ 2b, v = 2a b,且 u / v,則實數x的值為.2.已知向量 a= (1,2), b= (1,0), c= (3,4).若入為實數，(a + ?b)/ c 則 A ()全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編(附詳解)A. 4B. 2C.

10、11.(優(yōu)質試題四川,數 x=()經典練習2)設向量a= (2,4)與向量b= (x,6)共線，則實C. 42.(優(yōu)質試題 北京，3)已知向量 a = (2,4), b= (- 1,1),貝y 2a bA. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)3.(優(yōu)質試題 廣東，3)已知向量a= (1,2) ,b= (3,1)，則b- a=()A . (- 2,1)B . (2,- 1)C . (2,0)D . (4,3)4.(優(yōu)質試題 福建，10)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點,O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則OA+OB+OC +OD等于()A.OMB . 2OMC

11、 . 3OMD . 4OM5.(優(yōu)質試題 新課標全國n,13)已知向量a = (m, 4), b= (3,-2), 且 a / b,貝y m =全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）6.（優(yōu)質試題 濟寧市高三統(tǒng)考）如圖，在平行四邊形為CD中點，若AC=沏+叭B,貝y U的值為CMA.4B.iD.17.（優(yōu)質試題石家莊質量檢測）已知點A（ - 1, 2）, B（3, 4）,若AB =2a，則向量a=（）A.( - 2, - 1)B.(1 , 3)C.(4, 2)D.(2, 1)8.（優(yōu)質試題 江西八所重點中學聯考）在KBC中若點D滿足BD = 4DC，則AD等于（）,AB = c,AC=

12、 b,A 21A.3b + 3c41C.5 b- 5 c41D.5b+5c9.（優(yōu)質試題長春第一次調研）在ABC中=2PC,點 Q 是 AC 的中點，若 PA= （4, 3）, PQ= （1, 5）,則 BC 等于（），點P在BC上，且BPA.( - 2, 7)B.( - 6, 21)C.(2,- 7)D.(6, - 21)10.（優(yōu)質試題 北京，6）設a,b是非零向量，“ab= |a|b|”是“a/ b”C.(- 1, 4)D.(1 , 4)全國名校高考數學復習優(yōu)質專題學案匯編（附詳解）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件11.（優(yōu)質試題 四川，7）設a、b都是非零向量，下列四個條件中,使看=g 成立的充分條件是（）A.|a|= |b且 a /b B.a =- bC.a/ b D.a= 2bD12.（優(yōu)質試題 四川，12）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點0, AB+ AD = ；AO. 貝