第四章 向量空間

1、第四章 向 量 空 間 第一節(jié) 向量空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì) 一 向量空間的定義. 例1 在解析幾何里,討論過(guò)三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實(shí)數(shù)作數(shù)量算法.不少幾何和力學(xué)對(duì)象的性質(zhì)是可以通過(guò)向量的這兩種運(yùn)算來(lái)描述的. 10 按平行四邊形法則所定義的向量的加法是V3的一個(gè)運(yùn)算; 20 解析幾何中規(guī)定的實(shí)數(shù)與向量的乘法是R×V3到V3的一個(gè)運(yùn)算. 30 由知道, 空間上向量的上述兩種運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)律. 例2. 數(shù)域 上一切矩陣所成的集合對(duì)于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法滿足上述規(guī)律. 定義1 令 是一個(gè)非空集合， 是一個(gè)數(shù)域.在集合 的元素之間定義了一種

2、代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說(shuō)給出了一個(gè)法則，.對(duì)于 中任意兩個(gè)向量 與 ,在 中都有唯一的一個(gè)元素 與它們對(duì)應(yīng),稱為 與 的和,記為 .在數(shù)域 與集合 的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)域 中任一個(gè)數(shù) 與 中任一個(gè)元素 ,在 中都有唯一的一個(gè)元素 與它們對(duì)應(yīng),稱為 與 的數(shù)量乘積,記為 .如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么 稱為數(shù)域 上的線性空間. 加法滿足下面四條規(guī)則：: 1)2)（3) 在 中有一個(gè)元素0,對(duì)任意向量，0 ,（具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為 的零元素） 4) ，有(稱為 的負(fù)元素). 數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則： 5)（）（）6) 數(shù)量乘法與加法滿足下面兩

3、條規(guī)則： 7) （）8) （） 例3 數(shù)域 上一元多項(xiàng)式環(huán) ,按通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，構(gòu)成一個(gè)數(shù)域 上的向量空間.如果只考慮其中次數(shù)小于 的多項(xiàng)式，再添上零多項(xiàng)式也構(gòu)成數(shù)域 上的一個(gè)向量空間，用表示. 例4 元素屬于數(shù)域的矩陣，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域 上的一個(gè)向量空間，用表示. 例5 全體實(shí)函數(shù)，按函數(shù)加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域上的向量空間. 例6數(shù)域 按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個(gè)自身上的向量空間. 例7 以下集合對(duì)于所指定的運(yùn)算是否作成實(shí)數(shù)域 上的向量空間: 1) 平面上全體向量所作成的集合 ,對(duì)于通常向量的加法和如下定義的純量乘法: 2)

4、上次多項(xiàng)式的全體所作成的集合對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法. 例8 設(shè)是正實(shí)數(shù)集, 為實(shí)數(shù)域.規(guī)定 .則 對(duì)于加法和數(shù)乘作成上的向量空間. 二 向量空間的簡(jiǎn)單性質(zhì) 向量空間的元素也稱為向量.當(dāng)然這里的向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多。向量空間有以下簡(jiǎn)單性質(zhì)： 1.零元素是唯一的. 2.負(fù)元素是唯一的. 3. ，第二節(jié) 向 量 的 線 性 關(guān) 系 一 向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 一般向量空間除只有一個(gè)零向量構(gòu)成的零空間外，都含有無(wú)窮多個(gè)向量，這些向量之間有怎樣的關(guān)系，對(duì)于弄清向量空間的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。 定義1 設(shè) 是數(shù)域 上的一個(gè)向量空間， 是 一組向量, 是數(shù)域中的數(shù)，那么向量 稱為向量組

5、 的一個(gè)線性組合，有時(shí)也說(shuō)向量 可以用向量組 線性表出. 例如，任一個(gè) 維向量 都是向量組 （1） 的一個(gè)線性組合. 向量 稱為 維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合定義2 設(shè) ; (1) (2) 是 中兩個(gè)向量組，如果（1）中每個(gè)向量都可以用向量組（2）線性表出，那么稱向量（1）可以用向量組（2）線性表出.如果（1）與（2）可以互相線性表出，那么向量組（1）與（2）稱為等價(jià)的. 由定義有，每一個(gè)向量組都可以經(jīng)它自身線性表出.同時(shí)，如果向量組 可以經(jīng)向量組 線性表出，向量組 可以經(jīng)向量組 線性表出，那么向量組 可以經(jīng)向量組線性表出. 定義3 向量空間 中向量 稱為線性相關(guān)，如果在數(shù)域 中有

6、 個(gè)不全為零的數(shù) ，使 . (3) 如果向量 不線性相關(guān)，就稱為線性無(wú)關(guān).換句話說(shuō)，向量組 稱為線性無(wú)關(guān)，如果等式（3）只有在 時(shí)才成立. 從定義可以看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組。兩個(gè)向量線性相關(guān)就表示 或者 (這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立).在 為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí)，就表示向量 與 共線.三個(gè)向量 線性相關(guān)的幾何意義就是它們共面. 由定義可知，如果一向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān).換句話說(shuō)，如果一向量組線性無(wú)關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無(wú)關(guān).特別地，由于兩個(gè)成比例的向量是線性相關(guān)的，所以，線性無(wú)關(guān)的向量組中一定不能包含兩個(gè)成比例的向量.

7、 定義4 包含了由一個(gè)向量構(gòu)成的向量組的情形. 單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān). 不難看出，由 維單位向量 組成的向量組是線性無(wú)關(guān)的. 二 幾個(gè)常用的結(jié)論： 1. 單個(gè)向量 線性相關(guān)的充要條件是 .兩個(gè)以上的向量 線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合. 2. 如果向量組 線性無(wú)關(guān)，而且可以被 線性表出，那么. 由此推出，兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量. 3. 如果向量組 線性無(wú)關(guān)，但 線性相關(guān)，那么 可以由線性表出，而且表示法是唯一的. 具體判斷一個(gè)向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)的問題可以歸結(jié)為解方程組的問題.要判斷一個(gè)向量組 (2) 是否線

8、性相關(guān)，根據(jù)定義，就是看方程 (3) 有無(wú)非零解.(3)式按分量寫出來(lái)就是 (4) 因之，向量組 線性無(wú)關(guān)的充要條件是齊次線性方程組(4)只有零解.例1 判斷 的向量 是否線性相關(guān)。 例2 在向量空間 里，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù) ，線性無(wú)關(guān). 例3 若向量組 線性無(wú)關(guān)，則向量組 也線性無(wú)關(guān). 例4、如果向量組(2)線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所得到的維的向量組 (5) 也線性無(wú)關(guān). 二 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 定義5一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線性無(wú)關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關(guān). 一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的

9、極大線性無(wú)關(guān)組就是這個(gè)向量組本身. 極大線性無(wú)關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià). 例5 看 的向量組 在這里 線性無(wú)關(guān)，而 ，所以 是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.另一方面， ， 也都是向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組. 由上面的例子可以看出，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組不是唯一的.但是每一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的. 定理1 一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量. 定理1表明，極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無(wú)關(guān)組的選擇無(wú)關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì). 因此有 三 向量組的秩定義6 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向

10、量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩. 一向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同. 每一向量組都與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià).由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組也等價(jià).所以，等價(jià)的向量組必有相同的秩. 含有非零向量的向量組一定有極大線性無(wú)關(guān)組，且任一個(gè)線性無(wú)關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無(wú)關(guān)組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無(wú)關(guān)組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零. 現(xiàn)在把上面的概念與方程組的解的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系，給定一個(gè)方程組 各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的向量分別是 .設(shè)有另一個(gè)方程 它對(duì)應(yīng)的向量為 .則 是 的線性組合， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即方程(B)是方程 的線性組合.容易驗(yàn)證，方程組

11、的解一定滿足(B).進(jìn)一步設(shè)方程組 它的方程所對(duì)應(yīng)的向量為 .若 可經(jīng) 線性表出，則方程組 的解是方程組 的解.再進(jìn)一步，當(dāng) 與 等價(jià)時(shí)，兩個(gè)方程組同解. 例6 （1）設(shè) 線性無(wú)關(guān)，證明 也線性無(wú)關(guān)；對(duì) 個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組 ，以上命題是否成立？ （2）當(dāng) 線性無(wú)關(guān)，證明 也線性無(wú)關(guān)，當(dāng) 線性無(wú)關(guān)時(shí)， 是否也線性無(wú)關(guān)？ 例7 設(shè)在向量組 中， 且每個(gè) 都不能表成它的前 個(gè)向量 的線性組合，證明 線性無(wú)關(guān). 第三節(jié) 基·維數(shù)與坐標(biāo)一 基.維數(shù)與坐標(biāo)的概念定義1 如果在向量空間 中有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無(wú)關(guān)的向量，那么 就稱為 維的；如果在 中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向

12、量，那么 就稱為無(wú)限維的. 定義2 在維向量空間中，個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 稱為 的一組基.即向量空間的極大無(wú)關(guān)組，就是空間的基?；蛄康膫€(gè)數(shù)，叫做空間的維數(shù)。定義3 設(shè) 是 中任一向量，是一組基，于是 線性相關(guān)，因此 可以被基 線性表出： . 其中系數(shù) 是被向量 和基 唯一確定的，這組數(shù)就稱為 在基 下的坐標(biāo)，記為 .二 性質(zhì)定理1 如果在線性空間 中有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 ，且 中任一向量都可以用它們線性表出，那么 是 維的，而 就是 的一組基. 例1 在線性空間 中， 是 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，而且每一個(gè)次數(shù)小于 的數(shù)域 上的多項(xiàng)式都可以被它們線性表出，所以 是 維的，而 就是它的一組基. 例2 在

13、 維的空間 中，顯然 是一組基.對(duì)于每一個(gè)向量 ,都有 . 所以 就是向量 在這組基下的坐標(biāo). 例3 如果把復(fù)數(shù)域 看作是自身上的線性空間，那么它是一維的，數(shù)1就是一組基?？醋魇菍?shí)數(shù)域上的線性空間，那么就是二維的，數(shù)1與 就是一組基.這個(gè)例子告訴我們，維數(shù)是和所考慮的數(shù)域有關(guān)的。第四節(jié) 基變換與坐標(biāo)變換在維線性空間中，任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以取作空間的基.對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)一般是不同的.隨著基的改變，向量的坐標(biāo)是怎樣變化的.設(shè)與是維線性空間中兩組基，它們的關(guān)系是 (1)設(shè)向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別是與，即 (2)現(xiàn)在的問題就是找出與的關(guān)系.首先指出，(1)中各式的系數(shù)實(shí)際上就是第

14、二組基向量在第一組基下的坐標(biāo).向量的線性無(wú)關(guān)性就保證了(1)中系數(shù)行列式不為零.為了寫起來(lái)方便，引入一種形式的寫法.把向量寫成, (3)也就是把基寫成一個(gè)矩陣，把向量的坐標(biāo)寫成一個(gè)矩陣，而把向量看作是這兩個(gè)矩陣的乘積.所以說(shuō)這種寫法是”形式的”，在于這里是以向量作為矩陣的元素，一般說(shuō)來(lái)沒有意義.不過(guò)在這個(gè)特殊的情況下，這種約定的用法是不會(huì)出毛病的.相仿地，(1)可以寫成. (4)矩陣稱為由基到的過(guò)渡矩陣，它是可逆的.在利用形式寫法來(lái)作計(jì)算之前，首先指出這種寫法所具有的一些運(yùn)算規(guī)律.設(shè)和是中兩個(gè)向量組，是兩個(gè)矩陣，那么現(xiàn)在回到本節(jié)所要解決的問題上來(lái).由(2)有.用(4)代入，得.與(3)比較，由

15、基向量的線性無(wú)關(guān)性，得, (5)或者. (6)(5)與(6)給出了在基變換(4)下，向量的坐標(biāo)變換公式.例1 在§3例2 中有就是過(guò)渡矩陣.不難得出.因此也就是.與§3所得出的結(jié)果是一致的.例2 取的兩個(gè)彼此正交的單位向量它們作成的一個(gè)基.令分別是由旋轉(zhuǎn)角所得的向量，則也是的一個(gè)基，有所以到的過(guò)渡矩陣是.設(shè)的一個(gè)向量關(guān)于基和的坐標(biāo)分別為與().于是由(5)得即這正是平面解析幾何里，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的坐標(biāo)變換公式.注 這一節(jié)的內(nèi)容可放到第五章后講.第五節(jié) 線 性 子 空 間一 線性子空間定義1 數(shù)域上的線性空間的一個(gè)非空子集合稱為的一個(gè)線性子空間（或簡(jiǎn)稱子空間），如果對(duì)于的兩種運(yùn)算

16、也構(gòu)成數(shù)域上的線性空間. 定理1 如果線性空間的一個(gè)非空集合對(duì)于兩種運(yùn)算是封閉的，那么就是一個(gè)子空間.任何一個(gè)線性子空間的維數(shù)不能超過(guò)整個(gè)空間的維數(shù).例1 在線性空間中，由單個(gè)的零向量所組成的子集合是一個(gè)線性子空間，它叫做零子空間.例2 線性空間本身也是的一個(gè)子空間.在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個(gè)子空間有時(shí)叫做的平凡子空間，而其它的線性子空間叫做非平凡子空間.例3 在全體實(shí)函數(shù)組成的空間中，所有的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成一個(gè)子空間.例4 是線性空間的子空間.例5 在線性空間中，齊次線性方程組的全部解向量組成一個(gè)子空間，這個(gè)子空間叫做齊次線性方程組的解空間.解空間的基就是方程組的基礎(chǔ)解系，它

17、的維數(shù)等于，其中為系數(shù)矩陣的秩.二 生成子空間定義2 設(shè)是線性空間中一組向量，這組向量所有可能的線性組合所成的集合是非空的，而且對(duì)兩種運(yùn)算封閉，因而是的一個(gè)子空間，這個(gè)子空間叫做由生成的子空間，記為.由子空間的定義可知，如果的一個(gè)子空間包含向量，那么就一定包含它們所有的線性組合，也就是說(shuō)，一定包含作為子空間.在有限維線性空間中，任何一個(gè)子空間都可以這樣得到.事實(shí)上，設(shè)是的一個(gè)子空間，當(dāng)然也是有限維的.設(shè)是的一組基，就有.定理2 1)兩個(gè)向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià).2）的維數(shù)等于向量組的秩.定理3 設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一個(gè)維子空間，是的一組基，那么這組向量必可擴(kuò)充為整個(gè)空

18、間的基.也就是說(shuō)，在中必定可以找到個(gè)向量使得是的一組基.結(jié)論 數(shù)域上線性空間的一個(gè)非空子集是的一個(gè)子空間.第六節(jié) 子 空 間 的 交 與 和一 子空間的交定理1 如果,是線性空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交也是的子空間.由集合的交的定義有，子空間的交適合下列運(yùn)算規(guī)律：(交換律)，（結(jié)合律）.由結(jié)合律，可以定義多個(gè)子空間的交：,它也是子空間.二 子空間的和定義2 設(shè),是線性空間的子空間，所謂與的和，是指由所有能表示成,而的向量組成的子集合，記作.定理2 如果,是線性空間的子空間，那么它們的和也是的子空間.由定義有，子空間的和適合下列運(yùn)算規(guī)律：(交換律)，（結(jié)合律）.由結(jié)合律，可以定義多個(gè)子空間的和

19、.它是由所有表示成的向量組成的子空間.三 關(guān)于子空間的交與和的結(jié)論1. 設(shè)都是子空間，那么由與可推出；而由與可推出.2. 對(duì)于子空間與，以下三個(gè)論斷是等價(jià)的：1）2) ;3).例1 在三維幾何中用表示一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，表示一張通過(guò)原點(diǎn)而且與垂直的平面，那么，與的交是，而與的和是整個(gè)空間.例2 在線性空間中，用與分別表示齊次方程組與的解空間，那么就是齊次方程組的解空間.例3 在一個(gè)線性空間中，有 .四 維數(shù)公式關(guān)于兩個(gè)子空間的交與和的維數(shù)，有以下定理.定理3（維數(shù)公式）如果，是線性空間的兩個(gè)子空間，那么維（）+維（）=維（）+維（）.從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來(lái)得小.推論 如

20、果維線性空間中兩個(gè)子空間，的維數(shù)之和大于，那么，必含有非零的公共向量.第七節(jié) 子 空 間 的 直 和一 子空間的直和定義1 設(shè)是線性空間的子空間，如果和中每個(gè)向量的分解式是唯一的，這個(gè)和就稱為直和，記為.定理1 和是直和的充要條件是等式只有在全為零時(shí)才成立.推論 和是直和.定理2 設(shè)是線性空間的子空間，令，則維()=維()+維().定理3 設(shè)是線性空間的一個(gè)子空間，那么一定存在一個(gè)子空間使.二 子空間的直和的推廣子空間的直和的概念可以推廣到多個(gè)子空間的情形.定義2 設(shè)都是線性空間的子空間，如果和中每個(gè)向量的分解式是唯一的，這個(gè)和就稱為直和，記為.定理4 是線性空間的一些子空間，下面這些條件是等

21、價(jià)的：1）是直和；2）零向量的表法唯一；3）;4）維()=.第八節(jié) 線 性 空 間 的 同 構(gòu) 一 線性空間的同構(gòu)設(shè)是線性空間的一組基，在這組基下，中每個(gè)向量都有確定的坐標(biāo)，而向量的坐標(biāo)可以看成元素，因此向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)實(shí)質(zhì)上就是到的一個(gè)映射.顯然這個(gè)映射是單射與滿射，換句話說(shuō)，坐標(biāo)給出了線性空間與,而向量的坐標(biāo)分別是,，那么;.于是向量的坐標(biāo)分別是,.以上的式子說(shuō)明在向量用坐標(biāo)表示之后，它們的運(yùn)算就可以歸結(jié)為它們坐標(biāo)的運(yùn)算.因而線性空間的討論也就可以歸結(jié)為的討論.定義1 數(shù)域上兩個(gè)線性空間與稱為同構(gòu)的，如果由到有一個(gè)雙射，具有以下性質(zhì)：1）;2) 其中是中任意向量，是中任意數(shù).這樣的

22、映射稱為同構(gòu)映射.前面的討論說(shuō)明在維線性空間中取定一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)就是到的一個(gè)同構(gòu)映射.因而，數(shù)域上任一個(gè)維線性空間都與同構(gòu).二 同構(gòu)映射的性質(zhì)由定義可以看出，同構(gòu)映射具有下列性質(zhì)：1. .2. .3. 中向量組線性相關(guān)它們的象線性相關(guān).因?yàn)榫S數(shù)就是空間中線性無(wú)關(guān)向量的最大個(gè)數(shù)，所以由同構(gòu)映射的性質(zhì)可以推知，同構(gòu)的線性空間有相同的維數(shù).4. 如果是的一個(gè)線性子空間，那么，在下的象集合是的子空間，并且與維數(shù)相同.5. 同構(gòu)映射的逆映射以及兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.6 同構(gòu)作為線性空間之間的一種關(guān)系，具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性.既然數(shù)域上任意一個(gè)維線性空間都與同構(gòu)，由同構(gòu)的

23、對(duì)稱性與傳遞性即得，數(shù)域上任意兩個(gè)維線性空間都同構(gòu).三 同構(gòu)的充要條件定理1 數(shù)域上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù).由線性空間的抽象討論中，并沒有考慮線性空間的元素是什么，也沒有考慮其中運(yùn)算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運(yùn)算下的代數(shù)性質(zhì).從這個(gè)觀點(diǎn)看來(lái)，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的.因之，定理1說(shuō)明了，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征. 第四章 線 性 空 間 (小結(jié))線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，是幾何空間的抽象和推廣，線性空間的概念具體展示了代數(shù)理論的抽象性和應(yīng)用的廣泛性.一、線性空間1. 線性空間的概念2. 線性間的性質(zhì)(1) 線性空間的零元，每個(gè)元素的負(fù)元都是唯一的；(2) ;.二、基、維數(shù)和坐標(biāo)1基本概念：線性表示（組合）；向量組等價(jià)；線性相