數(shù)軸標根法及習習題

1、歡迎閱讀數(shù)軸穿根法一、概念簡介1 .“數(shù)軸標根法”又稱“數(shù)軸穿根法”或“穿針引線法”2 .準確的說，應該叫做“序軸標根法”。序軸：省去原點和單位，只表示數(shù)的大小的數(shù)軸。序軸上標出的兩點中，左邊的點表示的數(shù)比右邊的點表示的數(shù)小。3 .是高次不等式的簡單解法4 .為了形象地體現(xiàn)正負值的變化規(guī)律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所 _ 1 J r :對應的點，穿過最后一個點后就不再變方向，這種畫法俗稱“穿針引線法”二、方法步驟第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進行移項，使得右側(cè)為0。(注意：一定要保證x前的系數(shù)為正數(shù))例如：將 xA3-2xA2-x+2>0 化為(x-2)(x-1)(x+

2、1)>0第二步：將不等號換成等號解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根為：x1=2, x2=1, x3=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標出各根。例如：-1 1 2第四步：畫穿根線：以數(shù)軸為標準，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線， 然后又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根。第五步：觀察不等號，如果不等號為“ >”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍； 如果不等號為“<”則取數(shù)軸下方，穿根線以內(nèi)的范圍。x的次數(shù)若為偶數(shù)則不穿過， 即奇過偶不過。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。歡迎閱讀歡迎閱讀在數(shù)軸上標根得：-1 1 2畫穿根

3、線：由右上方開始穿根。因為不等號為“ >”則取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的范圍。即：-1<x<1或x>2。(如 下圖所示) 三、奇過偶不過就是當不等式中含有單獨的x偶數(shù)熹項時，如儀八2)或(xM)時，穿根線是不穿過一0點的。但是對于X奇數(shù)哥項，就要穿過0點了。還有一種情況就是例如：(X-1)八2.1) j二 產(chǎn) V 當不等式里出現(xiàn)這種部分時，線是不穿過1點的。但是對于如(X-1)八3的式子，穿根線要過1點。也是奇過偶不過。可以簡單記為“奇穿過，偶彈回"，一稱“奇穿偶切”。(如圖三，為(X-1)八2 )L_ _ t _ "'', x- /:|

4、 C % %四、注意事項運用序軸標根法解不等式時，常犯以下的錯誤：1 .出現(xiàn)形如(a x)的一次因式時，匆忙地“穿針引線”。例 1?解不等式 x (3-x) (x+1) (x-2) >0。解x (3-x) (x+1) (x-2) >0,將各根1、0、2、3依次標在數(shù)軸上，由圖1可得原不等式的解集為x|x< 1或0<x<2或x>3。事實上，只有將因式(a-x)變?yōu)?x a)的形式后才能用序軸標根法，正確的解法是：解 原不等式變形為x (x-3) (x+1) (x-2) <0,將各根一1、0、2、3依次標 在數(shù)軸上，由圖1,原不等式的解集為x| 1<

5、x<0或2<x<3。2 .出現(xiàn)重根時，機械地“穿針引線”例2?解不等式(x+1) (x-1)八2 (x 4)八3<0解 將三個根1、1、4標在數(shù)軸上，由圖2得，歡迎閱讀原不等式的解集為x|x< 1或1<x<4。(如圖二)這種解法也是錯誤的，錯在不加分析地、機械地“穿針引線”。出現(xiàn)幾個相同的 根時，所畫的浪線遇到“偶次”點(即偶數(shù)個相同根所對應的點)不能過數(shù)軸，仍 在數(shù)軸的同側(cè)折回，只有遇到“奇次”點(即奇數(shù)個相同根所對應的點)才能穿過 數(shù)軸，正確的解法如下：解 將三個根-1、1、4標在數(shù)軸上，如圖3畫出浪線圖來穿過各根對應點，遇到x=1的點時浪線不穿過

6、數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回；遇到 x=4的點才穿過數(shù)軸， 于是，可得到不等式的解集x| 1<x<4且 x?1(如圖三)3 .出現(xiàn)不能再分解的二次因式時，簡單地放棄“穿針引線”例 3?解不等式 x (x+1) (x2) (xA3-1) >0解 原不等式變形為x (x+1) (x 2) (x-1) (xA2+x+1) >0,有些同學同解 變形到這里時認為不能用序軸標根法了，因為序軸標根法指明要分解成一次因式的 積，事實上，根據(jù)這個二次因式的符號將其消去再運用序軸標根法即可。解原不等式等價于x (x+1) (x-2) (x1) (xA2+x+1) >0,. xA2+x+1

7、>0對一切x恒成立, x (x1) (x+1) (x-2) >0,由圖4可得原不等式的解集為x|x< - 1或0<x<1 或 x>2數(shù)軸標根法-練習題1 .不等式x2- 6x+8< 0的解集為.22 . 2x +x-6之。的解集為3.6x2 +5x -6 <0 的解集為歡迎閱讀歡迎閱讀24. -x +2x+3>0的解集為_25. _2x _7x+4<0 的解集為6.(x-3)(x +1)(x +5x+6) 0Q 的解集為2 ,7. x (x -1)(2 -x) <° 的解集為,2 23,28. (x -4) (x +2

8、) (x -1)0 的解集為9.二0 -，x的解集為、0 一10. x -1的解集為x2 -3x 2 c2< 011. x -2x-3 的解集為x -31八12. x的解集為"x 113. x2 -3x+2的解集為14. （2013?廣東）不等式x2+x 2<0的解集為.15. （2012?湖南）不等式x2- 5x+6<0的解集為16. （2008?北京）不等式 "2的解集是 ., -<117. （2011?巢湖模擬）不等式2l3的解集為 _ 一18.->0（2008?楊浦區(qū)二模）不等式一的解為19. （2008?盧灣區(qū)二模）不等式 工+3的解集為20.不等式一x2+5x 6>0的解集為.21.不等式2x2 - 3x - 2< 0的解集為.22.不等式x24x+5>0的解集是.10 .函數(shù) 函J12+4；- J的定義域是.11 .不等式Ui)2的解集為.12 .不等式 的解集是.13 .已知函數(shù)f (x) =/m，4mx+l的定義域是一切實數(shù),則 m的取值范圍是_14 .不等式 工+4的解集為.-z>0115 .若不等式工+4工+3的