二次根式的概念和性質(zhì)

1、關(guān)于二次根式的概念和性質(zhì)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁(yè)，共43頁(yè) 正數(shù)有兩個(gè)平方根且互為相反數(shù)； 0有一個(gè)平方根就是它本身0； 負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。1、平方根的性質(zhì)：1、16的平方根是什么?16的算術(shù)平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算術(shù)平方根是什么？3、7有沒(méi)有平方根？有沒(méi)有算術(shù)平方根？正數(shù)和0都有算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁(yè)，共43頁(yè)試一試 ：說(shuō)出下列各式的意義；116,81,0,0.04;49觀察：上面幾個(gè)式子中，被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)？被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù) 2、 表示什么？a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根0:a即現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁(yè)，共43頁(yè)a (a0)表示非負(fù)數(shù)表示非負(fù)數(shù) a 的算術(shù)平方根，

2、的算術(shù)平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必須具備如下它必須具備如下特點(diǎn)特點(diǎn)： 1、根根指指數(shù)數(shù)為為 2； 2、被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。、被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -a a (a(a0 0是不是二次根式？是不是二次根式？ 1.二次根式的概念現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁(yè)，共43頁(yè)注意：為了方便起見(jiàn)，我們把一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式。如13 ,2 是不是二次根式?1a 思考：不是,它是二次根式的代

3、數(shù)式.定義： 像 , , 這樣表示的算術(shù)平方根，且根號(hào)內(nèi)含有字母的代數(shù)式叫做二次根式。25002a3b s現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁(yè)，共43頁(yè)(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是數(shù),也可以是式.3. 形式上含有二次根號(hào)4. a0, 0 a5.既可表示開(kāi)方運(yùn)算,也可表示運(yùn)算的結(jié)果.1.表示a的算術(shù)平方根( 雙重非負(fù)性)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁(yè)，共43頁(yè)例1 : 判斷，下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,2a,a定義：式子 叫做二次根式. )0( aa不要忽略其中a叫做被開(kāi)方式?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁(yè)，共43頁(yè)求下列二次根式中字母的取值范圍： 11a a2

4、112 233a求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開(kāi)方數(shù)零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁(yè)，共43頁(yè)練習(xí)： x取何值時(shí),下列二次根式有意義?求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開(kāi)方數(shù)大于等于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁(yè)，共43頁(yè)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁(yè)，共43頁(yè)正數(shù)0沒(méi)有x2 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁(yè)，共43頁(yè)3x125x 1xx303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁(yè)，共43頁(yè)題型:確定二次根式中被開(kāi)方數(shù)所含字母的取值范圍.1. 當(dāng) _時(shí)， 有意義。xx3 3.求下列二次根式中字母的取值范圍x x3

5、 31 15 5x x解得 - 5x3解： 0 0 x x- -3 30 05 5x x說(shuō)明：二次根式被開(kāi)方數(shù)不小于0，所以求二次根式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)化為不等式（組） 34aa44a有意義的條件是 .2.+現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁(yè)，共43頁(yè)2(3)_1x 2(1)_x2(2)2xx2(7)17xx 31x2x7x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁(yè)，共43頁(yè)求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開(kāi)方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。小結(jié)一下 ?現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁(yè)，共43頁(yè)做一做做一做: 要使下列各式有意義，字母的取值必要使下列各式有意義，字母的取值必 須滿足什么條件？須滿足什么條件？ 1、 x

6、+3 2、 2-5x 3、 1 x 4、 a2+1 5、 x-3 + 4-x 6、x-1x-2 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁(yè)，共43頁(yè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是非負(fù)數(shù)。非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是非負(fù)數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì) 1： a 0 (a0) （雙重非負(fù)性）（雙重非負(fù)性） 引引例例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 則則 a= b= 解：解： a+2 0、|3b-9|0、(4-c) 20， 又又 a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 a= -2 , b= 3 ,c= 4。 2a-b+c=2(-2) -3+4 = -3。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁(yè)，共43頁(yè)二次

7、根式的雙重非負(fù)性解析經(jīng)常作為隱含條件，是解題的關(guān)鍵例已知，求xy的值130 xy-+=解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁(yè)，共43頁(yè)初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)：(a)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁(yè)，共43頁(yè)題型:二次根式的非負(fù)性的應(yīng)用.1.已知： + =0,求 x-y 的值.yx24x2.已知x,y為實(shí)數(shù),且 +3(y-2)2 =0,則x-y的值為( ) A.3 B.-3 C.1 D.-11x解：由題意，得 x-4=0 且 2x+y=0解得 x=4,y=-8x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12D注意：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁(yè)

8、，共43頁(yè)練習(xí).已知，求x、y的值.x=2，y=3a4.已知 ，求a的值. a-4=9，則 a=13現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁(yè)，共43頁(yè)n12n = 3，8，11，12現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁(yè)，共43頁(yè)計(jì)算:)0( ,2aaa 想一想 等于什么?請(qǐng)舉例驗(yàn)證. 02aa= 23225204. 0= = 3520.04性質(zhì)：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁(yè)，共43頁(yè)把下列各數(shù)寫成平方的形式：3= ，232522504. 0204. 024利用這個(gè)式子，我們可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式。如 4= 。 根據(jù)等式的定義，可得 。)0( ,2aaa)0( ,2aaa我們已經(jīng)得到:現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁(yè)，共43頁(yè)aa

9、面積a5271232-32() (0) aaa 2)72(2)312(2)5(2)32(現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁(yè)，共43頁(yè)算一算：算一算： 02 = ； 22 = ； （-2）2 = ； 32 = ； （-3）2 = 。 想一想：想一想： a2 等于什么呢？等于什么呢？ 性質(zhì)性質(zhì) 3：當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = ； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = 。 也就是說(shuō)：也就是說(shuō)： a2 = 。 a-a|a|02233算算一一算算：(1) （-9）2 (2) (1 3 ) 2 (3) 64 (4) (x2+1)2 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁(yè)，共43頁(yè)試一試1.計(jì)算下列各題:215(1)(2)2512.若 ,則

10、x的取值范圍為 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1 D.一切有理數(shù) 與 是一樣的嗎？ 你的理由是什么，請(qǐng)小組討論一下。2a a（ ）2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁(yè)，共43頁(yè)3、二次根式具有哪些性質(zhì)？、二次根式具有哪些性質(zhì)？ 1、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪兩個(gè)形式上的特點(diǎn)？ （1）根根指指數(shù)數(shù)為為 2； （2）被被開(kāi)開(kāi)方方數(shù)數(shù)必必須須是是非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)。 課堂小結(jié)性性質(zhì)質(zhì) 1： a 0 (a0) （雙雙重重非非負(fù)負(fù)性性） 性質(zhì)性質(zhì) 2：( a )2 = a (a0) 性質(zhì)性質(zhì) 3：當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2

11、 = a ； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = -a 。 也就是說(shuō)：也就是說(shuō)： a2 = |a| 。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第28頁(yè)，共43頁(yè)2aa (0)aa (0)a a 例2 計(jì)算：22)15()10() 1 ()22()2(2)2(2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第29頁(yè)，共43頁(yè)例3 計(jì)算：|3254|)3253(2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第30頁(yè)，共43頁(yè)2 (0)()aaa aa 2)0( aa)0( aa你的理由是什么？一樣嗎？）與（22aa現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第31頁(yè)，共43頁(yè)補(bǔ)充：分別說(shuō)出下列各式成立的a的取值范圍：2(1) ()aa2(2) ()aa 2(3) (2)2aa現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第32頁(yè)，共43頁(yè)x0 , 4x0,例5