2019年全國中考數(shù)學(xué)分類匯編：壓軸題(一)(含答案解析)

1、2019年全國中考數(shù)學(xué)分類匯編:壓軸題(一)1. (2019?重慶)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x" 2x-3與x軸交于點A, B (點A在點B的左側(cè))，交y軸于點C,點D為拋物線的頂點，對稱軸與 x軸交于點E.(1)連結(jié)BD,點M是線段BD上一動點(點 M不與端點B, D重合)，過點M作MN XBD,交拋物線于點 N (點N在對稱軸的右側(cè))，過點N作NHx軸，垂足為H ,交BD 于點F,點P是線段OC上一動點，當(dāng) MN取得最大值時，求 HF + FP+PC的最小值；3(2)在(1)中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+_1PC取得最小值時，把點 P向上平移 返32個單位得到點

2、Q,連結(jié)AQ,把4AOQ繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 ”(0° v a< 360° ), 得到AA' OQ',其中邊A' Q'交坐標(biāo)軸于點 G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G,使得/ Q'=ZQ'OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.% ： 必2. (2019?德州)如圖，拋物線 y=mx" £mx-4與x軸交于A (x1，0), B (x2, 0)兩點, 量與y軸交于點C,且x2-xi =、.(1)求拋物線的解析式；(2)若P (xi, y1)，Q (x2,

3、y2)是拋物線上的兩點，當(dāng)a<x1< a+2, x2>!時，均有y1<y2,求a的取值范圍；(3)拋物線上一點 D (1, - 5),直線BD與y軸交于點E,動點M在線段BD上，當(dāng)?shù)?頁(共130頁)/BDC = / MCE時，求點M的坐標(biāo).3. (2019?天津)已知拋物線 y=x2-bx+c (b, c為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點A ( - 1, 0),點M(m, 0)是x軸正半軸上的動點.(I)當(dāng)b=2時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；(n)點 D (b, yD)在拋物線上，當(dāng) AM=AD, m=5時，求b的值；(出)點Q (b+X, yQ)在拋物線上，當(dāng) V2AM+2QM

4、的最小值為 更返時，求b的值.244. (2019?濟寧)如圖1,在矩形 ABCD中，AB = 8, AD = 10, E是CD邊上一點，連接 AE, 將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于 點G.(1)求線段CE的長;(2)如圖2, M, N分別是線段 AG, DG上的動點(與端點不重合)，且/ DMN = / DAM ,設(shè) AM=x, DN = y.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出 y的最小值;是否存在這樣的點 M,使 DMN是等腰三角形？若存在，請求出 x的值；若不存在,請說明理由.5. (2019?自貢)(1)如圖1, E是正方形 ABCD邊A

5、B上的一點，連接 BD、DE ,將/ BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是 ;寫出線段BE, BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系.(2)當(dāng)四邊形ABCD為菱形，/ ADC=60° ,點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE,將/ BDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120° ,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G .如圖2,點E在線段AB上時，請?zhí)骄烤€段 BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；如圖3,點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M,若BE=1, AB=2,直接寫出線段GM的長度.6

6、. (2019?自貢)如圖，已知直線 AB與拋物線 C: y= ax2+2x+c相交于點 A ( - 1, 0)和點B (2, 3)兩點.(1)求拋物線C函數(shù)表達式；(2)若點M是位于直線 AB上方拋物線上的一動點，以 MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB,當(dāng)平行四邊形 MANB的面積最大時，求此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標(biāo)；(3)在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=工的距離？若存在，求出定點 F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 47. (2019?金華)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 OABC的邊長為4,邊OA, OC分別 在

7、x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為 好點.點P為拋物線y= - ( x - m) 2+m+2的頂點.(1)當(dāng)m = 0時，求該拋物線下方(包括邊界)的好點個數(shù).(2)當(dāng)m = 3時，求該拋物線上的好點坐標(biāo).(3)若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方(包括邊界)恰好存在8個好點，求m的取值范圍.y八pc / iB8. (2019?金華)如圖，在等腰 RtAABC 中，Z ACB = 90° , AB=14'&,點 D, E 分別在 邊AB, BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到EF .(1)如圖1

8、,若AD = BD,點E與點C重合，AF與DC相交于點 O.求證：BD = 2DO.(2)已知點G為AF的中點.如圖2,若AD=BD, CE = 2,求DG的長.若AD = 6BD,是否存在點E,使得 DEG是直角三角形？若存在，求 CE的長；若不 存在，試說明理由.9. （2019?棗莊）已知拋物線 y= ax2+旦x+4的對稱軸是直線 x=3,與x軸相交于 A, B兩點?，（點B在點A右側(cè)），與y軸交于點C.圖1圄2（1）求拋物線的解析式和 A, B兩點的坐標(biāo)；（2）如圖1,若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與 B、C重合），是否存 在點P,使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求

9、點 P的坐標(biāo)及四邊形 PBOC面積的最 大值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2,若點M是拋物線上任意一點， 過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N, 當(dāng)MN = 3時，求點M的坐標(biāo).10. （2019?達州）箭頭四角形模型規(guī)律如圖 1,延長 CO 交 AB 于點 D,則/ BOC = / 1 + / B=/ A+/C+/B.因為凹四邊形 ABOC形似箭頭，其四角具有“/ BOC=Z A+/B+/C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”模型應(yīng)用(1)直接應(yīng)用： 如圖 2, / A+/B+/C+/D+/E+/F=.如圖3, / ABE、/ ACE的2等分線(即角平分線)BF、CF交于點

10、F,已知/ BEC =120° , / BAC=50° ,則/ BFC =.如圖 4, BOi、COi 分別為/ ABO、/ACO 的 2019 等分線(i=1, 2, 3,，2017, 2018).它們的交點從上到下依次為。1、02、03、O2018-已知/ BOC=m° , / BAC=n ,則/ BO1000c=度.(2)拓展應(yīng)用：如圖 5,在四邊形 ABCD中，BC=CD, / BCD = 2/BAD.。是四邊形 ABCD內(nèi)一點，且 OA=OB = OD.求證：四邊形 OBCD是菱形.211. (2019?達州)如圖 1,已知拋物線 y=-x+bx+c 過

11、點 A (1, 0), B (-3, 0).(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點D是x軸上一點，當(dāng)tan (/CAO + /CDO) = 4時，求點 D的坐標(biāo)；(3)如圖2.拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段 PA交BE于點M,交y軸于點N, ABMP和 EMN的面積分別為 m、n,求m- n的最大值.12(2019?濱州)如圖，在 ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。分別與BC, AC交于點D, E,過點D作DFLAC,垂足為點 F.(1)求證：直線DF是OO的切線；(2)求證：BC2=4CF?AC;(3)若。的半徑為4, /CDF = 15

12、6; ,求陰影部分的面積.第9頁(共130頁)13(2019?濱州)如圖，拋物線y= - -x2+yx+4 y軸交于點A,與x軸交于點B, C, 將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，所得直線與x軸交于點D.(1)求直線AD的函數(shù)解析式；(2)如圖，若點P是直線AD上方拋物線上的一個動點當(dāng)點P到直線AD的距離最大時，求點 P的坐標(biāo)和最大距離；當(dāng)點P到直線AD的距離為 2時，求sin Z PAD的值.414. (2019?青島)已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，AB/CD, /ACB=90° , AB= 10cm, BC=8cm, OD垂直平分A C.點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，

13、速度為 1cm/s； 同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為 1cm/s；當(dāng)一個點停止運動，另 一個點也停止運動.過點 P作PELAB,交BC于點E,過點Q作QF/AC,分別交 AD, OD于點F, G.連接OP, EG.設(shè)運動時間為t (s) (0vt<5),解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時，點E在/ BAC的平分線上？(2)設(shè)四邊形PEGO的面積為S (cm2)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使四邊形 PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)連接OE, OQ,在運動過程中，是否存在某一時刻t,使OELOQ?若存在，

14、求出t的值；若不存在，請說明理由.15. (2019?重慶)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y= - N/x2+gx+2jl與x軸交于A, B兩 JM點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸與x軸交于點Q.(1)如圖1,連接AC, BC.若點P為直線BC上方拋物線上一動點，過點 P作PE/y軸交BC于點E,作PFLBC于點F,過點B作BG/AC交y軸于點G.點H, K分別在對稱軸和y軸上運動，連接 PH, HK.當(dāng) PEF的周長最大時，求 PH+HK+近.KG的最2小值及點H的坐標(biāo).(2)如圖2,將拋物線沿射線 AC方向平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點 O時停止平移，此時拋物線頂點記為 D&#

15、39; , N為直線DQ上一點，連接點 D' , C, N, ' CN能否構(gòu)成等腰三角形？若能，直接寫出滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.16. (2019?安徽)一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y= ax2+c的圖象的一個交點坐標(biāo)為 (1,2), 另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點(1)求k, a, c的值；(2)過點A (0, m) (0vmv4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù) y=ax2+c的圖象相交 于B, C兩點，點O為坐標(biāo)原點，記 W= OA2+BC2,求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求 W 的最小值.17. (2019?安徽)如圖，RtABC 中，/ ACB=90&#

16、176; , AC = BC, P 為4ABC 內(nèi)部一點，且 / APB = / BPC = 135° .(1)求證： PABA PBC;(2)求證：FA=2PC;（3）若點P到三角形的邊 AB, BC, CA的距離分別為hi, h2, h3,求證hi2=h2?h3.18. （2019?揚州）如圖，四邊形 ABCD是矩形，AB=20, BC=10,以CD為一邊向矩形外 部作等腰直角 GDC, /G = 90° .點M在線段AB上，且AM = a，點P沿折線AD -DG運動，點Q沿折線BC-CG運動（與點G不重合），在運動過程中始終保持線段PQ/ AB.設(shè)PQ與AB之間的距離

17、為 x.（1）若 a=12.如圖1,當(dāng)點P在線段AD上時，若四邊形 AMQP的面積為48,則x的值為;在運動過程中，求四邊形 AMQP的最大面積；（2）如圖2,若點P在線段DG上時，要使四邊形 AMQP的面積始終不小于 50,求a 的取值范圍.19. （2019?揚州）如圖，已知等邊 ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點（與點 A、B不重合）.直線1是經(jīng)過點P的一條直線，把4ABC沿直線1折疊，點B的對應(yīng)點是點B'.（1）如圖1,當(dāng)PB = 4時，若點B'恰好在AC邊上，則AB'的長度為 ;(2)如圖2,當(dāng)PB = 5時，若直線1/AC,則BB'的長度為

18、;(3)如圖3,點P在AB邊上運動過程中，若直線 1始終垂直于AC, AACB'的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；(4)當(dāng)PB = 6時，在直線1變化過程中，求 ACB'面積的最大值.20. (2019?南京)如圖 ，在 RtABC 中，/C=90° , AC=3, BC= 4.求作菱形 DEFG ,使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上.小明的作法1 .如圖，在邊AC上取一點 D,過點D作DG / AB交BC于點G.2 .以點D為圓心，DG長為半徑畫弧，交 AB于點E.3 .在EB上截取EF = ED,連接FG ,則四邊形DEFG為

19、所求作的菱形.(1)證明小明所作的四邊形 DEFG是菱形.(2)小明進一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化請你繼續(xù)探索，直接寫出菱形的個數(shù)及對應(yīng)的CD的長的取值范圍.21. (2019?南京)【概念認(rèn)識】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy,對兩點A(X1,y1)和B(X2,y2),用以下方式定義兩點間距離：d (A,B)=|xI - X2|+|y1 -y2|.第11頁(共130頁)4321-1C-1【數(shù)學(xué)理解】(1)已知點A ( - 21),則d (O, A)=

20、函數(shù)y= - 2x+4 (0wxw 2)的圖象如圖 所示，B是圖象上一點，d (OB) =3,則點B的坐標(biāo)是函數(shù)y = (x>0)的圖象如圖 所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點C,使d(OC) =3.(3)函數(shù)y=x2-5x+7 (x>0)的圖象如圖 所示，D是圖象上一點，求 d(O, D)的最小值及對應(yīng)的點 D的坐標(biāo).【問題解決】(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短?(要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡要說明理由)22. (2019?寧波)定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形

21、稱為鄰余四邊形,這兩個角的夾邊稱為鄰余線.(1)如圖1 ,在4ABC中，AB = AC, AD是 ABC的角平分線,E, F分另1J是BD, AD第#頁(共130頁)上的點.求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形.(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A, B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF ,使AB是鄰余線， 巳F在格點上.(3)如圖3,在(1)的條件下，取EF中點M,連結(jié)DM并延長交AB于點Q,延長EF交AC于點N.若N為AC的中點，DE = 2BE, QB=3,求鄰余線 AB的長.23. （2019?寧波）如圖1,。經(jīng)過等邊 ABC的頂點A, C （圓心 O在4ABC內(nèi)），分別與A

22、B, CB的延長線交于點 D, E,連結(jié)DE, BFLEC交AE于點F.(1)求證：BD = BE.(2)當(dāng) AF : EF=3: 2, AC=6 時，求 AE 的長.(3)設(shè)_ = *, tan/DAE = y.EF求y關(guān)于x的函數(shù)表達式;如圖2,連結(jié)OF, OB,若 AEC的面積是 OFB面積的10倍，求y的值.（1）求二次函數(shù)表達式;224. （2019?泰安）若二次函數(shù) y=ax+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點 A （3, 0）、B （0,-2),且過點 C (2, - 2).第13頁（共130頁）(2)若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且SApba= 4,求點P的坐標(biāo)；(3)在拋

23、物線上(AB下方)是否存在點 M,使/ ABO = /ABM?若存在，求出點 M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由.督用圖25. (2019?泰安)如圖，四邊形 ABCD是正方形， EFC是等腰直角三角形，點 E在AB上，且/ CEF = 90° , FGXAD,垂足為點 C.(1)試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；(2)若點H為CF的中點，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由.26. (2019?杭州)設(shè)二次函數(shù) y= (xxi) (x x2) (x1，X2是實數(shù)).(1)甲求得當(dāng)x= 0時，y=0;當(dāng)x= 1時，y= 0；乙求得當(dāng)x=a時，y = .若甲求2

24、2得的結(jié)果都正確，你認(rèn)為乙求得的結(jié)果正確嗎？說明理由.(2)寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸，并求該函數(shù)的最小值(用含x1, x2的代數(shù)式表示).(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0, m)和(1, n)兩點(m, n是實數(shù))，當(dāng)0vx1vx2第17頁(共130頁)<1 時，求證：0V mnv J .1627. (2019?杭州)如圖，已知銳角三角形 ABC內(nèi)接于圓 O, OD(1)若/ BAC = 60° ,求證：OD = OA.2當(dāng)OA=1時，求 ABC面積的最大值.(2)點E在線段 OA上，OE = OD,連接 DE,設(shè)/ABC = r(m, n 是正數(shù)),若/ABCv/ACB,求證

25、：m - n+2= 0.上±BC于點D,連接OA.nZOED , / ACB= n/OED28. (2019?鹽城)如圖所示，二次函數(shù) y=k(x- 1) 2+2的圖象與一次函數(shù)y=kx- k+2的圖象交于A、B兩點，點B在點A的右側(cè),直線 AB分別與x、y軸交于C、D兩點，其中 k<0.(1)求A、B兩點的橫坐標(biāo);(2)若 OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形,求 k的值;巳 是否存在實數(shù) k,使得/ ODC=2/BEC,(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點29. (2019?泰州)如圖，線段 AB = 8,射線BGXAB, P為射線BG上一點，以 AP為邊作 正方形APCD ,

26、且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點E,使/ EAP= / BAP, 直線CE與線段AB相交于點F (點F與點A、B不重合).(1)求證： AEPA CEP;(2)判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；(3)求 AEF的周長.30. (2019?泰州)已知一次函數(shù) yi = kx+n (n<0)和反比例函數(shù) y2 = (m>0, x>0).(1)如圖1,若n= - 2,且函數(shù)yy2的圖象都經(jīng)過點 A (3, 4).求m, k的值；直接寫出當(dāng)y1>y2時x的范圍；(2)如圖2,過點P (1, 0)作y軸的平行線l與函數(shù)y2的圖象相交于點 B,與反比例 函數(shù)y3=

27、 (x>0)的圖象相交于點 C.若k= 2,直線l與函數(shù)y1的圖象相交點 D.當(dāng)點B、C、D中的一點到另外兩點的距 離相等時，求m- n的值；過點B作x軸的平行線與函數(shù) y1的圖象相交與點 E.當(dāng)m - n的值取不大于1的任意 實數(shù)時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定彳1.求此時 k的值及 定值d.931. (2019?成都)如圖1,在4ABC中，AB=AC=20, tanB=*,點D為BC邊上的動點(點D不與點B, C重合).以D為頂點作/ ADE = / B,射線DE交AC邊于點E,過點A作AFLAD交射線DE于點F,連接CF .(1)求證： ABDA DCE;(

28、2)當(dāng)DE / AB時(如圖2),求AE的長；(3)點D在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF = CF?若存在，求出此時BD的長；若不存在，請說明理由.232. (2019?成都)如圖，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過點A ( - 2, 5),與x軸相交于 B(- 1, 0),C (3, 0)兩點.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將 BCD沿直線BD翻折得到4BC'D,若點C恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C'和點D的坐標(biāo)；(3)設(shè)P是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當(dāng) CPQ為等邊三角形時，求直線 BP

29、的函數(shù)表達式.33. （2019?溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=-Jx+4分別交x軸、y軸于點B, C,正方形AOCD的頂點D在第二象限內(nèi)，E是BC中點，OFLDE于點F,連結(jié)OE.動 點P在AO上從點A向終點O勻速運動，同時，動點 Q在直線BC上從某一點Qi向終點Q2勻速運動，它們同時到達終點.（1）求點B的坐標(biāo)和OE的長.（2）設(shè)點Q2為（m, n）,當(dāng)工= 1tan/EOF時，求點Q2的坐標(biāo).io 7（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點 P運動到AO中點時，點Q恰好與點C重合.延長AD交直線BC于點Q3,當(dāng)點Q在線段Q2Q3上時，設(shè)Q3Q = s, AP=t,求s關(guān)于t的函數(shù)表達式.

30、當(dāng)PQ與 OEF的一邊平行時，求所有滿足條件的AP的長.34. (2019?樂山)在 ABC中，已知 D是BC邊的中點，G是 ABC的重心，過 G點的直 線分另1J交AB、AC于點E、F.(1)如圖1 ,當(dāng)EF / BC時，求證：理+&L= 1 ；AE AF(2)如圖2,當(dāng)EF和BC不平行，且點E、F分別在線段AB、AC上時，(1)中的結(jié)論 是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.(3)如圖3,當(dāng)點E在AB的延長線上或點 F在AC的延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.35. (2019?樂山)如圖，已知拋物線 y=a (x+

31、2) (x- 6)與x軸相交于A、B兩點，與y軸 交于C點，且tan/CAB = W>.設(shè)拋物線的頂點為 M,對稱軸交x軸于點N.2(1)求拋物線的解析式；(2) P為拋物線的對稱軸上一點，Q (n, 0)為x軸上一點，且 PQXPC.當(dāng)點P在線段MN (含端點)上運動時，求 n的變化范圍；當(dāng)n取最大值時，求點 P到線段CQ的距離；當(dāng)n取最大值時，將線段 CQ向上平移t個單位長度，使得線段 CQ與拋物線有兩個 交點，求t的取值范圍.備用圖AR36. (2019?武漢)在 ABC 中，/ ABC =90° , = n, M 是 BC 上一點，連接 AM.BC(1)如圖1,若n=1

32、, N是AB延長線上一點， CN與AM垂直，求證：BM = BN .(2)過點B作BPXAM, P為垂足，連接 CP并延長交 AB于點Q.如圖2,若n=1,求證：.PQ BQ如圖3,若M是BC的中點，直接寫出tan/ BPQ的值.(用含n的式子表示)加圖2圖337. (2019?武漢)已知拋物線 Ci： y= (x 1) 2 4 和 C2： y=x2(1)如何將拋物線 C1平移得到拋物線 C2?(2)如圖1 ,拋物線C1與x軸正半軸交于點 A,直線y=- x+b經(jīng)過點A,交拋物線C1于另一點B.請你在線段 AB上取點P,過點P作直線PQ/y軸交拋物線C1于點Q, 連接AQ.若AP=AQ,求點P

33、的橫坐標(biāo)；若PA= PQ,直接寫出點P的橫坐標(biāo).NE與拋物線C2均有唯一公共點，ME、NE均與y軸不平行.若 MNE的面積為2,設(shè)M、N兩點的橫坐標(biāo)分別為 m、n,求m與n的數(shù)量關(guān)系.38. (2019?蘇州)已知矩形 ABCD中，AB=5cm,點P為對角線 AC上的一點，且 AP = 2泥cm.如圖，動點M從點A出發(fā)，在矩形邊上沿著 A-B-C的方向勻速運動(不 包含點C).設(shè)動點M的運動時間為t (s), AAPM的面積為S (cm2), S與t的函數(shù)關(guān) 系如圖所示.(1)直接寫出動點 M的運動速度為 cm/s, BC的長度為 cm；(2)如圖，動點M重新從點A出發(fā)，在矩形邊上按原來的速度

34、和方向勻速運動，同時，另一個動點 N從點D出發(fā)，在矩形邊上沿著 D-C-B的方向勻速運動，設(shè)動點 N 的運動速度為 v (cm/s).已知兩動點 M, N經(jīng)過時間x (s)在線段BC上相遇(不包含 點C),動點M, N相遇后立即同時停止運動，記此時APM與4DPN的面積分別為 Si(cm2), S2 (cm2)求動點N運動速度v (cm/s)的取值范圍；試探究S1?S2是否存在最大值，若存在，求出S1?S2的最大值并確定運動時間 x的值；若不存在，請說明理由第21頁(共130頁)39. (2019?蘇州)如圖，拋物線y=- x2+ (a+1) x-a與x軸交于A, B兩點(點A位于 點B的左側(cè)

35、)，與y軸交于點C.已知 ABC的面積是6.(1)求a的值；(2)求 ABC外接圓圓心的坐標(biāo)；(3)如圖，P是拋物線上一點，Q為射線CA上一點，且P、Q兩點均在第三象限內(nèi)，Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點，若點 P到x軸的距離為d, 4QPB的面積為2d,且/ PAQ=Z AQB,求點Q的坐標(biāo).40. (2019?荷澤)如圖，拋物線與 x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C (0, - 2),點A 的坐標(biāo)是(2, 0), P為拋物線上的一個動點，過點 P作PDx軸于點D,交直線BC于 點巳 拋物線的對稱軸是直線 x= - 1.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P在第二象限內(nèi)，且 PE =

36、J-OD,求 PBE的面積.4（3）在（2）的條件下，若 M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點 M,使4BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2019年全國中考數(shù)學(xué)分類匯編：壓軸題（一）參考答案與試題解析1. （2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x" 2x-3與x軸交于點A, B （點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C,點D為拋物線的頂點，對稱軸與 x軸交于點E.（1）連結(jié)BD,點M是線段BD上一動點（點 M不與端點B, D重合），過點M作MN XBD,交拋物線于點 N （點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NHx軸，垂足為H

37、 ,交BD 于點F,點P是線段OC上一動點，當(dāng) MN取得最大值時，求 HF + FP+PC的最小值；3（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+gpC取得最小值時，把點 P向上平移 坐 31個單位得到點 Q,連結(jié)AQ,把4AOQ繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 ”（0° v ”V 3600 ）, 得到AA' OQ',其中邊A' Q'交坐標(biāo)軸于點 G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G,使得/ Q'=ZQ'OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【分析】(1)先確定點F的位置，可設(shè)點 N (m, m2-

38、2m-3),則點F (m, 2m-6), 可得|NF|= (2m- 6) - (m2-2m-3) =- m2+4m-3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得 m= -匕2 a=2時，NF取到最大值，此時 MN取到最大值，此時 HF = 2,此時F (2, - 2),在x 軸上找一點K (二返，0),連接CK,過點F作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于 點P, sin/OCK = ,直線KC的解析式為：y= -272 53,從而得到直線 FJ的解析3式為：丫=亞 t返聯(lián)立解出點j (空返，-19-4V2 )得Fp+Xpc的最小值即為 42993117+W?FJ 的長，且 |FJ| =最后得出 |HF+FP+-P

39、C|min= ；QJJJ(2)由題意可得出點 Q (0, -2), AQ=&i,應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半”取 AQ的中點 G,連接 OG,則 OG = GQ=LaQ = Y1,此時，/ AQO=/22GOQ,把 AOQ繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 a (0° < a< 360° ),得到 A' OQ',其中邊A' Q'交坐標(biāo)軸于點 G,則用OG = GQ',分四種情況求解.【解答】解：(1)如圖12.拋物線y=x2-2x- 3與x軸父于點A, B （點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C ，令 y=0

40、解得：xi=- 1, X2= 3,令 x= 0,解得：y= - 3,A (1, 0), B (3, 0), C (0, - 3)2點D為拋物線的頂點，且 一=±=1, -c-bx42 a 24a4X：1.點D的坐標(biāo)為D (1 , - 4)直線BD的解析式為：y=2x-6,由題意，可設(shè)點 N (m, m2-2m-3),則點F (m, 2m-6).|NF|= (2m-6) - ( m2-2m-3) =- m2+4m - 3，當(dāng)m=- = 2時，NF取到最大值，此時 MN取到最大值，此時 HF = 2,2 a此時，N (2, - 3), F (2, - 2), H (2, 0)在x軸上找一

41、點K (1對2, 0),連接CK,過點F作CK的垂線交CK于點J點,4軸于點P,sin/OCK = ",直線 KC 的解析式為：y= T® ,且點 F (2, -2),.PJ=J_PC,直線FJ的解析式為：丫=返工產(chǎn).23_4 x 22-272 -19-472.點 J(, g).FP+士PC的最小值即為 FJ的長，且|FJ| = =4g333第25頁（共130頁） .|HF+FP+JLpC|min=Zt±；33(2)由(1)知，點 P (0, 一4+“，2),2把點P向上平移返個單位得到點Q2，點 Q (0, - 2)在 RtAAOQ 中，/ AOG=90

42、6; , AQ=J,取 AQ 的中點 G,連接 OG,則 OG = GQ= Laq=d1L,此時，/ AQO = /GOQ 22把4AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 a (0° v /V 3600 ),得到 A' OQ',其中邊A' Q'交坐標(biāo)軸于點 G如圖2D： 圖2第27頁（共130頁）G點落在y軸的負(fù)半軸，則 G （0,-三二），過點Q作Q'Ux軸交x軸于點I,且/ GOQ' =/ Q'則/ IOQ'=Z OA'Q'=Z OAQ,. / cac _0Q _ 2 _ 2 sin / OAQ =AQ否

43、5 .sin/ IOQ'=1土 =也0Q冬區(qū)，解得：iioi=2£55在RtA OIQ'中根據(jù)勾股定理可得|OI |=2工£5點Q'的坐標(biāo)為Q'（耳£,一羋）；55如圖3,如圖55555綜上所述，所有滿足條件的點Q'的睦顯為：送返，-蚪延L,主區(qū))，一生L,喑)(.華等【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)及直角三角形的中線性質(zhì).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用通過求點的坐標(biāo)來表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.2. (2019?德州)如圖，拋物線 y=m

44、x2-,mx-4與x軸交于A (xi, 0), B(X2, 0)兩點, 與y軸交于點C,且*2-x1 = NL.2(1)求拋物線的解析式；(2)若P (xi, yi), Q (x2, y2)是拋物線上的兩點，當(dāng)a<xi< a+2, x2>?時，均有2yi<y2,求a的取值范圍；(3)拋物線上一點 D (I, - 5),直線BD與y軸交于點E,動點M在線段BD上，當(dāng) /BDC = / MCE時，求點M的坐標(biāo).A】【分析】(1)函數(shù)的對稱軸為：x=-旦=n=盯十 -2 ,而且X2-X1 = JIL,將上述兩 2a 422式聯(lián)立并解得：X1 = - , X2=4,即可求解；2

45、(2)由(1)知，函數(shù)的對稱軸為： x=t,則x=2和x=- 2關(guān)于對稱軸對稱，故其函42數(shù)值相等，即可求解;(3)確定 BOC、 CDG均為等腰直角三角形，即可求解.【解答】 解：(1)函數(shù)的對稱軸為：x= -= = ! -,而且x2 - xi =-ii-, 將上述兩式聯(lián)立并解得： xi= - , x2 = 4 ,2則函數(shù)的表達式為： y=m (x+) (x- 4) = m (x2- 4x+x - 6),222即：-6m = - 4,解得：m=一,3故拋物線的表達式為：y=x2 - x - 4 ；33(2)由(1)知，函數(shù)的對稱軸為：x =生，4則x=2和x= - 2關(guān)于對稱軸對稱，故其函數(shù)

46、值相等，2又aWx1wa+2, x2>旦時，均有y產(chǎn)y2,2結(jié)合函數(shù)圖象可得：-j9,解得：-2<a<-1；a1-2<y2(3)如圖，連接 BC、CM,過點D作DGLOE于點G,第29頁(共130頁)而點 B、C、D 的坐標(biāo)分別為：（4, 0）、（0, -4）、（1, -5）,則 OB=OC = 4, CG = GC=1, BC=4、m， CD = 2,故4 BOC、 CDG均為等腰直角三角形，./BCD=180° - Z OCB - Z GCD = 90° ,在 RtBCD 中，tan / BDC =里二限叵=4, CD-V2/ BDC = Z M

47、CE,則 tan/ MCE = 4,將點B、D坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：y=mx+n并解得:直線BD的表達式為：y = 3x-型，故點E （0, -22）, 333設(shè)點M （n, 5n-9），過點M作MFLCE于點F,33貝UMF=n, CF=OF - OC =n g 5n =4, 3 33MFtan/ MCE CF解得：門=絲23故點M（H-,2323【點評】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形性質(zhì)等,其中（3）,確定 BOC、4CDG均為等腰直角三角形，是本題解題的關(guān)鍵.3. （2019?天津）已知拋物線 y=x2-bx+c （b, c為常數(shù)，b>0）經(jīng)過點A

48、 （ - 1, 0）,（m, 0）是x軸正半軸上的動點.（I）當(dāng)b=2時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；(n)點 D (b, yD)在拋物線上，當(dāng) AM=AD, m=5時，求b的值；(出)點Q (b+X, yQ)在拋物線上，當(dāng) &AM+2QM的最小值為22返時，求b的值.24【分析】(I)將點A (T, 0)代入y=x2-bx+c,求出c關(guān)于b的代數(shù)式，再將 b代入即可求出c的值，可進一步寫出拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；(n)將點 D (b, yD)代入拋物線 y=x2-bx- b - 1,求出點 D縱坐標(biāo)為-b - 1,由b>0判斷出點D (b, - b-1)在第四象限，且在拋物線對稱軸x=

49、b的右側(cè)，過點 D作2DEx軸，可證 ADE為等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)可求出b的值；(出)將點Q (b+, yQ)代入拋物線y= x2 - bx - b - 1,求出Q縱坐標(biāo)為-卜-旦，可22 4知點Q (b+-L, -在第四象限，且在直線 x = b的右側(cè)，點N (0, 1),過點Q22 4作直線AN的垂線，垂足為 G, QG與x軸相交于點 M,過點Q作QHx軸于點H,則點 H (b+-L, 0),在 RtAMQH 中，可知/ QMH=/MQH=45° ,設(shè)點 M (m, 0),則2可用含b的代數(shù)式表示 m,因為 在AM+2QM=U2,所以花(-)-(-42 41) +2

50、V (b+藪)(4" 一 ")=-,解方程即可.【解答】解：(I) .拋物線y=x2-bx+c經(jīng)過點A (-1, 0),1 + b+c= 0,即 c= - b - 1,當(dāng)b = 2時，y=x2- 2x- 3= (x- 1) 2- 4,，拋物線的頂點坐標(biāo)為(1 , -4);(n)由(I)知，拋物線的解析式為y=x2-bx- b - 1,丁點D (b, yD)在拋物線 y=f-bx - b - 1上，.2 .yD = b - b?b- b_1 = _b_1,由 b>0,得 b>>0, - b- 1<0, 點D (b, - b- 1)在第四象限，且在拋物線

51、對稱軸x=卜的右側(cè)，2如圖1,過點D作DEx軸，垂足為 E,則點E (b, 0), 在 RtA ADE 中，/ ADE = /DAE = 45° ,AD=AE,由已知 AM = AD , m=5, -5- (- 1) =2(b+1),.二 b= 3/2 - 1 ；(山),一點 Q (b+, yo)在拋物線 y=x2-bx-b-1 上，2yo = ( b+) 2 b (b+) - b_1 = _,222 4可知點Q (b+1, - 1-1)在第四象限，且在直線 x=b的右側(cè)，22 4 V2AM+2QM = 2 (亞AM+QM),2可取點 N (0, 1),如圖2,過點Q作直線AN的垂線

52、，垂足為 G, QG與x軸相交于點 M,由/GAM = 45° ,得逞AM = GM,2則此時點M滿足題意，過點Q作QHx軸于點H,則點H (b+工，0),2在 RtAMQH 中，可知/ QMH=/MQH=45° ,.QH=MH , QM= V2MH ,.點 M (m, 0),0 _ ( - _ ) = ( b+) - m,2 42解得，m =-,2 4 V2AM+2QM =旦叵，4V2 (-1)- (- 1)+2& (b+春)('-；)= 2 422 44b= 4.AE=b+1, DE = b+1 ,得 AE=DE,第31頁(共130頁)>1*【點評

53、】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線上的點的坐標(biāo)滿足拋物線方程等，解 題關(guān)鍵是能夠根據(jù)給定參數(shù)判斷點的位置，從而構(gòu)造特殊三角形來求解.4. （2019?濟寧）如圖1,在矩形 ABCD中，AB = 8, AD = 10, E是CD邊上一點，連接 AE, 將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于 點G.（1）求線段CE的長；（2）如圖2, M, N分別是線段 AG, DG上的動點（與端點不重合），且/ DMN = / DAM , 設(shè) AM=x, DN = y.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出 y的最小值；是否存在這樣的點 M,使 DMN是等腰三角形？若存在

54、，請求出 x的值；若不存在，第37頁（共130頁）請說明理由.DE= EF=8-x.在【分析】（1）由翻折可知：AD = AF=10. DE = EF,設(shè)EC= x,則鼻 ECF中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.(2)證明ADMsGMN,可得坦 = &L,由此即可解決問題.MG GN存在.有兩種情形：如圖 3 - 1中，當(dāng)MN = MD時.如圖3-2中，當(dāng)MN=DN時,作MHLDG于H.分別求解即可解決問題.圖1四邊形ABCD是矩形，AD=BC=10, AB=CD = 8, ./ B=Z BCD= 90° ,由翻折可知： AD = AF = 10. DE = EF,設(shè) E

55、C = x,貝U DE = EF = 8- x.在 RtABF 中，BF = f_/=6, .CF= BC- BF= 10-6 = 4,在 RtAEFC 中，則有：（8-x） 2=x2+42,x= 3,EC= 3.(2)如圖2中,. AD / CG,AB DE.CG CE10 = 5'' ?CG 3，CG = 6,BG= BC+CG=16,在 RtABG 中，AG = 82+1 62=8V<5,在 RtDCG 中，DG = 6，gZ=10， AD= DG= 10, ./ DAG = Z AGD, . / DMG =Z DMN +/ NMG = / DAM+/ADM , / DMN = ./ ADM =Z