(完整版)初中數(shù)學(xué)思想方法大全

1、初中數(shù)學(xué)思想方法大全教學(xué)的本質(zhì)到底是什么？很顯然，教學(xué)最本質(zhì)的東西就是傳授知識(shí)，提高素質(zhì)，培養(yǎng)能力。那么，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)又是什么呢？眾所周知： “數(shù)學(xué)是思維的體操。 ”數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，它是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)最有價(jià)值的東西。它是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。所以從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外，更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的參透，注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。一、數(shù)學(xué)思想方法是什么？數(shù)學(xué)思想方法是什么呢？其實(shí)它包換兩個(gè)方面，即思想和方法。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提練上升的數(shù)

2、學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。所謂數(shù)學(xué)方法，則是在數(shù)學(xué)提出問(wèn)題、解決問(wèn)題 （包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題）過(guò)程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。它具有過(guò)程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們把它們合稱為數(shù)學(xué)思想方法。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)外，還應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響, 使學(xué)生終生受益。正如波利亞強(qiáng)調(diào)：在數(shù)學(xué)教學(xué)中“有益的思

3、考方式、應(yīng)有的思維習(xí)慣”應(yīng)放在教學(xué)的首位。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，必然對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量起到至關(guān)重要的作用。二、初中階段主要的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？縱觀初中新課標(biāo)教材，涉及到的數(shù)學(xué)思想方法大體可分為三種類型。第一類 是技巧型思想方法（也稱低層次數(shù)學(xué)思想方法），包括消元、降次、換元、配方、 待定系數(shù)法等，這類方法具有一定的操作步驟。比較容易為學(xué)生所接受。第二類 是邏輯型的思想方法（也稱較高層次數(shù)學(xué)思想方法），包括類比、抽象、概括、 歸納、分析、綜合、演繹、特殊化方法、反證法等，這類方法都具有確定的邏輯 結(jié)構(gòu)，是普通適用的邏輯推理論證模型。第三類是宏觀型思想方法（也稱高層次 數(shù)學(xué)思想方法），主要包括

4、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納猜想、化 歸轉(zhuǎn)換、數(shù)學(xué)模型等，這類方法較多地帶有思想觀點(diǎn)的屬性，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展中極 其普遍的方法，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起導(dǎo)向功能。學(xué)生較難領(lǐng)悟，需要教師在平時(shí)的教學(xué) 中反復(fù)滲透。用圖框表示是：（一）、宏觀型思想方法1 .化歸轉(zhuǎn)化思想方法不是對(duì)原來(lái)的問(wèn)題直接解答，而是想方設(shè)法對(duì)它進(jìn)行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成 某個(gè)（某幾個(gè)）已經(jīng)解決了的問(wèn)題為止。通過(guò)轉(zhuǎn)化可使原條件中隱含的因素顯露 出來(lái)，從而縮短已知條件和結(jié)論之間的距離，找出它們之間內(nèi)在的聯(lián)系，以便應(yīng)用有關(guān)方法將問(wèn)題解決?；瘹w轉(zhuǎn)化思想是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為簡(jiǎn)單、熟知問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，它是使一種數(shù)學(xué)對(duì)

5、象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對(duì)象的思想和方法。其核心就是將有待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已有明確解決程序的問(wèn)題，以便利用已有的理論、技術(shù)來(lái)加以處理，從而培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的、發(fā)展的、運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察事物、認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題。（ 1） 、轉(zhuǎn)化與化歸的原則：熟悉化原則：即陌生問(wèn)題-熟悉問(wèn)題，就是常說(shuō)的通過(guò)舊知解決新知簡(jiǎn)單化原則：即復(fù)雜問(wèn)題-簡(jiǎn)單問(wèn)題具體化原則：即抽象問(wèn)題-具體問(wèn)題或直觀問(wèn)題極端化原則：即運(yùn)用極端化位置或狀態(tài)的特性引出一般位置上或狀態(tài)下的特性，從而獲得解決問(wèn)題的思路。和諧化原則：即對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)要注意把條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更具數(shù)、 式和形內(nèi)部固有和諧統(tǒng)一特點(diǎn)的形式，以幫助我們?nèi)ゴ_定解決

6、問(wèn)題的方法。（ 2）轉(zhuǎn)化與化歸的主要途徑有：正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化；常量與變量的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。有些代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造圖形，化抽象為具體，借助直觀啟發(fā)思維，轉(zhuǎn)化為易解的幾何問(wèn)題。有些不易解決的幾何題通過(guò)輔助線轉(zhuǎn)化為代數(shù)三角的知識(shí)來(lái)證明，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化；相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化；實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.利用“換元”、“畫(huà)輔助線”、“消元法”、“配方法”，進(jìn)行構(gòu)造 變形實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。3） 轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用舉例：減法轉(zhuǎn)化成加法（減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)）；除法轉(zhuǎn)化成乘法 （除以一個(gè)不等于零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)）；多項(xiàng)式的先化簡(jiǎn)再代入求值； 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式可化歸為有理數(shù)乘

7、法和同底數(shù)哥的乘法運(yùn)算；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式都可以化歸為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算；將求負(fù)數(shù)的立方根轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的相反數(shù)；實(shí)數(shù)近似運(yùn)算中據(jù)問(wèn)題需要取近似值，從而轉(zhuǎn)化為有 理數(shù)計(jì)算；將異分母分式的加減轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減；將分式的除法轉(zhuǎn)化成 分式的乘法；將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；將分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的 分式用帶余除法轉(zhuǎn)化為整式部分和分式部分的和；將方程的復(fù)雜形式化為最簡(jiǎn)形 式；通過(guò)立方程把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；通過(guò)解方程把未知轉(zhuǎn)化為已知；把 一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程 組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程從而求解；通過(guò)轉(zhuǎn)化為解方程實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)

8、范圍內(nèi)二次三 項(xiàng)式的分解、方程中字母系數(shù)的確定；角度關(guān)系的證明和計(jì)算；平行線的性質(zhì)和 判定；把幾何問(wèn)題向平行線等簡(jiǎn)單的熟悉的基本圖形轉(zhuǎn)化；特殊化（特殊值法、 特殊位置、設(shè)項(xiàng)、幾何中添輔助線等）；圖形的變換（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相 似變換）；解斜三角形（多邊形）時(shí)將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形等。例1如圖，“回”字形的道路寬為1米，整個(gè)“回”字形的長(zhǎng)為8米，寬為 7米，一個(gè)人從入口點(diǎn)A沿著道路中央走到終點(diǎn)B,他共走了8米思路和解答 假設(shè)拖把白寬度是1米，某服務(wù)員拿著拖把沿著小路向前推， 那人走遍小路相當(dāng)于把整塊場(chǎng)地拖完了，而拖 1 itf的場(chǎng)地相當(dāng)于那人向前走了 1 米，整塊場(chǎng)地面積是7X 8=56 (

9、itf),所以那人從A走到B共走了 56米，這樣我 們就把求線段長(zhǎng)度問(wèn)題化歸成求面積問(wèn)題了。下面是一個(gè)化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的例題例2如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)顏色不同的正方形組成，設(shè)中間最小一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為 1,則這個(gè)矩形色塊圖的面積為.思路和解答 設(shè)次小正方形邊長(zhǎng)為x,則其余正方形的邊長(zhǎng)依次1+x,2+x,3+x, 根據(jù)題意得：(2+x+3+x) (3+x+x)-【(3+x) 2 + (2+x)之+ (1+x) 2 +2x2 J =1,解得x=4.所以矩形色塊圖的面積為13X 11 = 143.注：如果對(duì)待這個(gè)問(wèn)題時(shí)只考慮幾何的面積求法，很容易陷入分別求邊長(zhǎng)的 死胡同，

10、從而一籌莫展，這里采用代數(shù)考慮，將問(wèn)題用一個(gè)方程表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而 求出次小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得解。這里又包含了整體思想、方程思想 . 2.數(shù)形結(jié)合的思想和方法數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)(量)與(圖)形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究、解決問(wèn) 題的一種思維策略。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)形本是相倚依，怎能分作兩 邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬(wàn)事休。這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中的重要性。（ 1）數(shù)形結(jié)合的主要途徑：形轉(zhuǎn)化為數(shù)：用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，這是解析幾何的基本特點(diǎn).數(shù)轉(zhuǎn)化為形：即根據(jù)給出的“數(shù)式”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，用幾何方法解決代數(shù)

11、問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合：即用形研究數(shù)，用數(shù)研究形，相互結(jié)合，使問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)捷、思路易尋.（ 2）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用舉例：應(yīng)用：A利用數(shù)軸確定實(shí)數(shù)的范圍；B幾何圖形與代數(shù)恒等式（或不等式）； C數(shù)與形相結(jié)合在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用；D利用函數(shù)圖像解決方程、不等式問(wèn)題；E數(shù)與形相結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用；F構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題例如：在數(shù)軸上表示數(shù)；用數(shù)軸描述有理數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算（相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，比較有理數(shù)的大小，利用數(shù)軸探究有理數(shù)的加法法則、乘法法則等）；在數(shù)軸上表示不等式的解集；代數(shù)的不等式（組）、方程和方程組，幾何的幾乎所有內(nèi)容；函數(shù)方面（建立直角坐標(biāo)系使點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從

12、而具備了數(shù)形轉(zhuǎn)化的重要工具；從解析式和圖像兩個(gè)方面來(lái)研究函數(shù)，能更清晰地把握函數(shù)的性質(zhì)；用圖像解決代數(shù)問(wèn)題如解不等式、解方程和用代數(shù)解決幾何問(wèn)題如通過(guò)解析式確定拋物線的對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等） ； 運(yùn)用代數(shù)、三角比知識(shí)通過(guò)數(shù)量關(guān)系的討論去處理幾何圖形的問(wèn)題；能運(yùn)用幾何、三角比知識(shí)通過(guò)對(duì)圖形性質(zhì)的研究去解決數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。函數(shù)式與圖像之間的關(guān)系。線段（角）的和、差、倍、分等問(wèn)題，充分利用數(shù)來(lái)反映形。解三角形，求角度和邊長(zhǎng)，引入了三角函數(shù)，這是 用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題?！皥A”這一章中，賀的定義，點(diǎn)與圓、直線與圓、 圓與圓的位置關(guān)

13、系等都是化為數(shù)量關(guān)系來(lái)處理的。統(tǒng)計(jì)初步中統(tǒng)計(jì)的第二種方法是繪制統(tǒng)計(jì)圖表，用這些圖表的反映數(shù)據(jù)的分情況，發(fā)展趨勢(shì)等。實(shí)際上就是 通過(guò)“形”來(lái)反映數(shù)據(jù)扮布情況，發(fā)展趨勢(shì)等。實(shí)際上就是通過(guò)“形”來(lái)反映數(shù) 的特征，這是數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際中的直接應(yīng)用。例1、二元一次方程組的解的意義：二元一次方程組a1x b1y G 0的解有三種情況： a2x b2y c2 0無(wú)解；無(wú)數(shù)個(gè)解； 只有一個(gè)解。這三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩條直線 aix+by+Ci=O、a2x+b2y+c2=0的三種位置關(guān)系： 平行；重合； 相交。方程組的解轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點(diǎn)。當(dāng)ai： a2=bi：b2#ci： C2時(shí)，兩條直線的斜率相同，y軸上

14、的截距不同。此時(shí)兩條直線平行，無(wú) 交點(diǎn)，因而方程組無(wú)解。當(dāng) ai： a2=bi： b2=ci： C2時(shí)，兩條直線的斜率相同，y軸 上的截距相同。此時(shí)兩條直線重合，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因而方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解。當(dāng)ai： a2#bi： b2時(shí)，兩條直線的斜率不相同，兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)， 因而方程組只有一個(gè)解。例r2x+y+3=0 ,方程組無(wú)解。直線 2x+y+3=0、4x+2y+i=0的位置關(guān)系：平行 4x+2y+1=02x y 1 0,方程組只有一個(gè)解。直線2x+y+i=0、x+2y=0的位置關(guān)系：相交。 x 2y 02x 4y 0,方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解。兩直線2x+4y=0、x+2y=0的位置關(guān)系

15、：重合。x 2y 0例2、圖形隱含條件:例：在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：: b0 , c c , a b , | c | | a | .a-b0, b- c0, a+c0。| a - b | - | b - c | + 2 | a + c | = (a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2bc o例3、如圖，是連接在一起的兩個(gè)正方形，大正方形的邊長(zhǎng)是小正方形邊長(zhǎng)的2倍。問(wèn)：若只許剪兩刀應(yīng)如何裁剪，使之能拼成一個(gè)新的大正方形？II1k11 r 4 二V _ h . Ki T*對(duì)于這一問(wèn)題學(xué)生往往采取實(shí)驗(yàn)的方法， 這里裁一刀，那里試一剪，但卻極 少有人能

16、在短時(shí)間內(nèi)拼湊好。如果對(duì)題目認(rèn)真加以分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，從已知 到結(jié)論，圖形雖然變了，但其中卻還有沒(méi)變的東西一一面積，若設(shè)小正方形的面 積為1,則其邊長(zhǎng)就是1,大正方形的變長(zhǎng)是2,新大正方形的邊長(zhǎng)為 J5 ,這 樣一來(lái)，我們僅需沿著圖4中邊長(zhǎng)為J5的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的 線段沒(méi)有幾條，于是很快就能找到答案。3.分類討論的思想和方法由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的屬性不同，或者由于在研究問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)了不同情況 從而對(duì)不同情況進(jìn)行分類研究的思想，我們稱之為分類討論思想，其實(shí)質(zhì)是把問(wèn) 題“分而治之，各個(gè)擊破”。是一種邏輯劃分的思想。從思維策略上看，它是把要 解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，分解成可能的各個(gè)部分，從而

17、使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使“大”問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為“小”問(wèn)題 , 便于求解。（ 1）分類的要點(diǎn)方法：分類是按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的，分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不相同；要注意分類的結(jié)果既無(wú)遺漏，也不能交叉重復(fù)；分類要逐級(jí)逐次地進(jìn)行，不能越級(jí)化分。（ 2）分類討論的步驟同一性、互斥性、層次性三原則僅僅保證合理分類, 是分類討論中的核心步驟 , 解題中 , 分類討論一般分為四步：第一，確定討論的對(duì)象以及討論對(duì)象的取值范圍；第二，正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn), 合理分類；第三，逐類、逐段分類討論；第四，歸納并做出結(jié)論.（ 3）分類思想應(yīng)用舉例：應(yīng)用：A對(duì)問(wèn)題的題設(shè)條件需分類討論；B對(duì)求解過(guò)程中不便統(tǒng)一表述的問(wèn) 題進(jìn)行分類討論；C

18、從圖像中獲取信息進(jìn)行分類討論；D對(duì)圖形的位置、類型的 分類討論；E對(duì)字母、未知數(shù)的取值范圍分不同情況討論。例子 : 有理數(shù)的分類；絕對(duì)值的討論；有理數(shù)的加法法則、乘法法則、有理數(shù)乘法的符號(hào)法則、乘方的符號(hào)法則；整式分類；研究平方根、立方根時(shí)，把數(shù)按正數(shù)、0、負(fù)數(shù)分類；按定義或按大小對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類；例 1 絕對(duì)值概念是一個(gè)需要分類討論的概念，要講清這一概念應(yīng)從絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)起，也就是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。學(xué)生自然而然的會(huì)得出絕對(duì)值的三種分類討論情況，也就是:|a| = 然 a = 0 ）-a （ a0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，

19、應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式 中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù) y=無(wú)+的值域時(shí)，易發(fā) 現(xiàn)x60,1,設(shè)乂 = 5訪2% , a 0,-,問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。 為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x2 + y 2= r2 (r0 )時(shí)，則可作三角代換x = rcos 8、y=rsin0化為三角問(wèn)題。均值換元，如遇到乂+丫=$形式時(shí)，設(shè)x=S + t, y=|-t等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍

20、，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和 6 0, -o如：解可化為一元二次方程的分式方程、分式方程組；二次三項(xiàng)式的因式分解；例 1 分解因式(x2-3x+2) (x2-3x-4)-72分析：注意題目的形式特征，把某一部分(比如x2-3x+2)看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，把原方程化為形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式，進(jìn)一步用十字相乘法，最 后注意分解要徹底。設(shè) x2-3x+2=t 則(x2-3x+2) (x2-3x-4)-72=t(t-6 ) -72=t 2-6t-72= (t+6) (t-12 )=(x 2-3x+2+6) (x2-3x+2-12)=(x2-3x+8) (x2-3x-10 )=

21、(x2-3x+8) (x-5) (x+2).如果把(x2-3x+2)與(x2-3x-4)相乘，將得到一個(gè)四次多項(xiàng)式，這時(shí)再分解 就困難了。例 2 解方程 3x2-6x-2 0x 2x 4 +4=0分析：如果先移項(xiàng)，兩邊平方，方程變形為一個(gè)四次方程，題目就難解了注意到收 2x 4, 3 (x2-2x),設(shè) 2x 4為y,原方程變形為3y2-2y-8=0,再?gòu)闹薪?得y回代得x9 . 待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種解題方法稱

22、為待定系數(shù)法。要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x) g(x) 的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a 值，都有f(a) g(a) ；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾

23、何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程; 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的 形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或 方程組；最后解所得的方程或方

24、程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng) 明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。求函數(shù)解析式的重要方法（據(jù)已知自變量和函數(shù)值或者點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定函數(shù) 的解析式）；10 .特殊化方法在探索某問(wèn)題的過(guò)程中，先拋開(kāi)其一般的情形，而抓住其個(gè)別的、局部的特殊情 形，并通過(guò)對(duì)特殊情形（如圖形的特殊位置，度量的特殊值或圖形的特殊形狀等） 的研究洞察出一般情形所具有的性質(zhì)，進(jìn)而達(dá)到發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證待求結(jié)果，或者發(fā)現(xiàn) 或驗(yàn)證解題方法的目的的一種思維方法。這種方法主要依據(jù)的是一般規(guī)律蘊(yùn)含于特殊情形之中，特殊情形是一般規(guī)律的外在形態(tài)，因而對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)探索其一般性結(jié)論較為困難時(shí)，可先研究其特殊 情形，再推到一般。應(yīng)用

25、：A運(yùn)用取“特殊值”或“特殊位置”的方法發(fā)現(xiàn)結(jié)論:B由特殊圖形推廣到一般圖形尋求規(guī)律。特殊值法和輔助線的添加11 .幾何變換法平移、旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱，相似變換在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問(wèn)題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。 有一些看來(lái)很難甚至于無(wú)法下手的習(xí) 題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn) 滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起 來(lái)，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對(duì)稱。12 .

26、面積法幾何中的面積公式以及由面積公式推出的面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來(lái)證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來(lái)證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積法。它是幾何中的一種 常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在于如何添加適當(dāng)?shù)妮o助線。面積法 的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所 以用面積法來(lái)解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算， 有時(shí)可以不添輔助線，即使需要添輔助線，也很容易想到。應(yīng)用：利用面積法求線段的長(zhǎng)；利用面積法證線段等式；利用面積法證線段不等式；利用面積法求線段的比13 .割補(bǔ)法、分解

27、組合思想能把在內(nèi)容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具備的條件不完全一樣 的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分解、拆割，或者合成、日卜拼補(bǔ)等手段，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為符合公式、定理所要求的形式，卜、 并運(yùn)用公式、定理來(lái)加以解決。xw1、因式分解：2222x 2xy y a 2ab b ；2、將兩塊三角板如圖放置，其中C EDB 90 , A 45 , E 30 , 求重疊部分的面積。AB DE 6,14. 分解圖形法復(fù)雜的圖形都是由簡(jiǎn)單的基本圖形組成，故可以將復(fù)雜圖形分解成幾個(gè)基本圖形，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。15. 定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來(lái)

28、。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過(guò)指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。16. 公式法17. 比較法比差法；比商法18. 構(gòu)造法在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素， 它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程 （ 組 ） 、 一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問(wèn)

29、題的解決。19. 判別式法與韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （a、b、c屬于R, a#0）根的判別， =b2-4ac,不僅用來(lái)判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（ 組 ） ，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問(wèn)題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。20. 逆向變換的方法例如 : 公式和法則的逆向運(yùn)用；21. 參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問(wèn)題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無(wú)窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫(huà)事物的變化狀態(tài)，揭示變