微積分發(fā)展中牛頓與萊布尼茨的貢獻.doc

微積分發(fā)展中牛頓與萊布尼茨的貢獻微積分（Calculus）是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎學科。內(nèi)容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。1.微積分產(chǎn)生到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。在十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 到十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時刻出場的時代的需要與個人的才識，使他們完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關(guān)鍵的一步 2.牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓于1661年入劍橋大學三一學院,受教于巴羅,同時鉆研伽利賂,開普勒,笛卡兒和沃利斯等人的著作.而笛卡兒的幾何學和沃利斯的無窮算術(shù)對他影響最深,正是這兩部著作引導牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路.1665年8月,劍橋大學因瘟疫流行而關(guān)閉,牛頓離校返鄉(xiāng),隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年,競成為牛頓科學生涯中的黃金歲月.制定微積分,發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論,可以說牛頓一生大多數(shù)科學創(chuàng)造的藍圖,都是在這兩年描繪的.2.1流數(shù)術(shù)的初建牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋,當時他反復閱讀笛卡兒幾何學,對笛卡兒求切線的圓法發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法.就在此時,牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量.1665年夏至1667年春,牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間,繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展.1665年11月發(fā)明正流數(shù)術(shù)(微分法),次年5月又建立了反流數(shù)術(shù)(積分法). 1666年10月,牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文,此文現(xiàn)以流數(shù)簡論著稱,流數(shù)簡論是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻.流數(shù)簡論反映了牛頓微積分的運動學背景。該文事實上以速度形式引進了“流數(shù)”（即微商）概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一術(shù)語。牛頓在簡論中提出微積分的基本問題如下：（a）設有兩個或更多個物體A，B，C，在同一時刻內(nèi)描畫線段x，y，z，。已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度p，q，r，的關(guān)系。（b）已知表示線段x和運動速度p、q之比的關(guān)系方程式，求另一線段y。2.2流數(shù)術(shù)的發(fā)展流數(shù)簡論標志著微積分的誕生,但它在許多方面是不成熟的.牛頓于1667年春天回到劍橋,對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚.從那時起直到1693年大約四分之一世紀的時間里,牛頓始終不渝努力改進,完善自己的微積分學說,先后寫成了三篇微積分論文,它們分別是:(1)運用無限多項方程的分析(De Analysi per Aequationes Numero Terminorum lnfinitas，簡稱分析學，完成于1669年)； (2)流數(shù)法與無窮級數(shù)(Methodus Fluxionum et Serierum lnfinitarum，簡稱流數(shù)法，完成于1671年)； (3)曲線求積術(shù)(Tractatus de Quadratura Curvarum，簡稱求積術(shù)，完成于1691年)。這三篇論文，反映了牛頓微積分學說的發(fā)展過程，并且可以看到，牛頓對于微積分的基礎先后給出了不同的解釋.2.3原理與微積分牛頓微積分學說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學名著自然哲學的數(shù)學原理之中.因此原理也成為數(shù)學史上的劃時代著作.原理在創(chuàng)導首末比方法的同時保留了無限小瞬,這種做法常常被認為自相矛盾而引起爭議.實際上,在牛頓的時代,建立微積分嚴格基礎的時機尚不成熟,在這樣的條件下,牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時,堅持對微積分基礎給出不同解釋,說明了他對微積分基礎所存在的困難的深邃洞察和謹慎態(tài)度.原理被愛因斯坦盛贊為無比輝煌的演繹成就.全書從三條基本的力學定律出發(fā),運用微積分工具,嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律,萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論,并且還將微積分應用于流體運動,聲,光,潮汐,彗星乃至宇宙體系,充分顯示了這一新數(shù)學工具的威力.3.萊布尼茨的微積分萊布尼茨(16461716)出生于德國萊比錫一個教授家庭,早年在萊比錫大學學習法律,同時開始接觸伽利略,開普勒,笛卡兒,帕斯卡以及巴羅等人的科學思.1667年獲阿爾持多夫大學法學博士學位,次年開始為緬因茨選帝侯服務,不久被派往巴黎任大使.萊布尼茨在巴黎居留了四年16721676),這四年對他整個科學生涯的意義,可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比,萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎.3.1特征三角形萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學家,物理學家惠更斯的結(jié)識、交往,激發(fā)了他對數(shù)學的興趣.他通過卡瓦列里,帕斯卡,巴羅等人的著作,了解并開始研究求曲線的切線以及求面積,體積等微積分問題.與牛頓流數(shù)論的運動學背景不同,萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考,尤其是特征三角形的研究.特征三角形,也稱微分三角形,在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn).帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形.萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形.3.2分析微積分的建立與發(fā)表早在1666年，萊布尼茨在組合藝術(shù)一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論，例如他考察了平方數(shù)序列： 0,1,4,9,16,25,36， 及其一階差 1,3,5,7,9,11, 與二階差 2,2,2,2,2,當時他注意到如果原來的序列是從0開始，那么一階差的和就是原序列的最后一項，并且這里序列的求和運算與求差運算存在著互逆的關(guān)系1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學論文一種求極大與極小值和求切線的新方法(簡稱新方法)，刊登在教師學報(Acta Eruditorum)上，這也是數(shù)學史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號新方法中明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式.1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學論文深奧的幾何與不可分量及無限的分析這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系萊布尼茨分析道：“研究不定求積或其不可能性的方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法的更廣泛的問題的特殊情形(并且事實上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個超越幾何的絕大