[理學]線性代數(shù)試題匯編

1、2005-2006-1線性代數(shù)期末考試試卷（A卷）一、單項選擇（20分4分5）： 1 （）, () , () , () 2 設(shè)為同階方陣，則（ ）成立（） , () , () , () 3 設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是的（ ） () 列向量組線性無關(guān)， （） 列向量組線性相關(guān)， （）行向量組線性無關(guān)， （） 行向量組線性相關(guān)4 向量線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則（ ）。 () 必可由線性表出， （）必不可由線性表出， （）必可由線性表出， （）必不可由線性表出二次型，當滿足（ ）時，是正定二次型()；（）；（）；（）二、填空題（20分4分）：6，則_ 7設(shè)為四階方陣，若，則其伴隨

2、矩陣的行列式=_ 8若，當_時，2 9設(shè)，其中 ， 則_10設(shè)為正定矩陣，則 _三、計算行列式（14分）： 11 四、證明（16分8分×2）：12設(shè)為階方陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣。13設(shè)和為同階正交矩陣，證明也為正交矩陣五、計算題（14分）： 14解矩陣方程。六、計算題（10分）： 15三階實對稱矩陣的特征值為，對應于特征值的特征向量為，求出相應于特征值的全部特征向量。 七、解答題(6分)： 16求曲線所圍成的圖形的面積。2006-2007-1線性代數(shù)期末考試試卷（A卷）一、單項選擇（16分4分4）： 1以下結(jié)論正確的是（），（）若的行列式則； () 若則； () 若 為對

3、稱矩陣，則也是對稱矩陣； () 對任意同階的矩陣有；2. 設(shè)是階可逆矩陣，是的伴隨矩陣，則（ ）成立；（）； ()； ()； ()3. 初等矩陣（）；() 都可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣；（） 所對應的行列式的值都等于1；（） 相乘仍為初等矩陣； （） 相加仍為初等矩陣；4設(shè)為階方陣，則以下結(jié)論（ ）成立；()若可逆，則矩陣對應于特征值的特征向量也是矩陣對應于特征值的特征向量；（）的特征向量即為方程的全部解；（）的特征向量的線性組合仍為特征向量；（）與有相同的特征向量；二、填空題（16分4分）： 5方程組有非零解，則_；6設(shè)，則_； 7元齊次線性方程組僅有零解的充要條件是_； 8設(shè)，則該向量組

4、的秩為_；三、解答下列各題（18分9分2）： 9計算行列式，10解矩陣方程 四、計算題（10分）：11 求解齊次線性方程組五、證明題（20分10分2）： 12設(shè)為階方陣，證明：的充要條件是；13設(shè)維單位坐標向量組可由向量組線性表示，證明線性無關(guān)；六、計算題（14分）：14求矩陣的秩；七、證明題(6分)：15設(shè)是階實對稱矩陣，證明可逆的充要條件是存在階實矩陣，使得是正定矩陣。2006-2007-2級線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. 在下列構(gòu)成6階行列式展開式的各項中，取“”的有（ ） A. ; B. ; C. ; D. .2. 設(shè)為階矩陣，下列運算正確的是（ ）

5、A. B. C. D. 若可逆，則3. 設(shè)矩陣經(jīng)過初等行變換變?yōu)榫仃?，則有（ ） A. B. C. D. 無法判定。4. 如果向量可由向量組線性表示，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 存在一組不全為零的數(shù)使等式成立。 B. 存在一組全為零的數(shù) 使等式成立； C. 存在一組數(shù) 使等式成立； D. 對的線性表達式唯一。5. 已知三階矩陣的特征值為則矩陣的特征值為（ ） A. ; B. ; C. ; D.二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè) 為行列式中元素的代數(shù)余子式，則 7設(shè)4階方陣，則 8設(shè)線性方程組有非零解，則 9已知向量組的秩為2，則 10設(shè)階方陣的特征值為，則（為常數(shù)）的特征值為 三、計

6、算階行列式（本題14分）11. 四、證明題（每小題8分，共16分）12已知對于階方陣，存在自然數(shù)，使得，試證明矩陣可逆，并寫出其逆矩陣的表達式。13. 設(shè)向量組和向量組的秩分別為和，試證明：若可由線性表示，則。五、解矩陣方程（14分）14設(shè)，求使.六、解答題（每小題10分，共20分）15. 設(shè)， 求.16. 設(shè)，求該向量組的秩和一個最大無關(guān)組，并將其余向量表示成最大無關(guān)組的線性組合。七、解答題（6分）17. 設(shè)4階方陣滿足，且，求伴隨矩陣的一個特征值。2007-2008-2線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.為階矩陣，滿足，則必有（ ）A. 或 ; B. ;C. 或

7、 ; D. .2. 關(guān)于矩陣下列說法正確的是（ ）A. 若可逆，則與任何矩陣可交換， B. 若可逆，則也可逆；C. 若可逆，也可逆，則也可逆；D. 若可逆，也可逆，則不一定可逆；3. 已知，則為（ ）A. B. C. D. 。4. 已知線性無關(guān)，則（ ）A. 必線性無關(guān)；B. 若為奇數(shù)，則必有線性相關(guān)；C. 若為偶數(shù)，則必有線性相關(guān)；D. 以上都不對。5. 實二次型，當（）時，其秩為2A. ; B. ; C. ; D. .二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)為矩陣，為矩陣，且1，則 7設(shè)矩陣，則 8矩陣的秩 9若線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則向量組的最大無關(guān)組為 10設(shè)為實對稱矩陣，與分別屬于的相

8、異特征值為的特征向量，則 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 計算行列式12解矩陣方程,其中。13. 求線性方程組的通解。14設(shè)矩陣的秩為2，求。15. 取何值時，向量組線性無關(guān)。.四、解答題（14分）16. 已知二次型，求1二次型對應的對稱矩陣，2求正交變換將二次型化成標準形，3問該二次型是否正定。五、證明題（6分）17. 設(shè)是階方陣，已知，可逆，且，求證：可逆，并求出的表達式。2007-2008-2年線性代數(shù)期末試卷(B)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.行列式（ ） A. ; B. ;C. ; D. .2. 設(shè)階方陣滿足關(guān)系式，其中是階單位陣，則必有（ ）A. ； B.

9、； C. ； D. .3. 對于齊次線性方程組，以下說法正確的是（ ）A. 若有解，則必有；B. 若無解，則必有；C. 若有非零解，則必有；D. 若唯有零解，則必有。4. 已知 ，則該向量組得秩為（ ）A. 2； B. 1； C. 4； D. 3。5. 實二次型秩為2，則（）.A. ; B. ; C. ; D. .二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)為矩陣，且2，則 ；7設(shè)矩陣，則 8設(shè)矩陣，則齊次線性方程組的自由向量的個數(shù)為 個；9矩陣，則的秩為 10實二次型正定，則應滿足不等式 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 計算行列式12解矩陣方程13. 求線性方程組的通解。14已知向量組

10、，求出它的一個最大無關(guān)組。15.利用施密特正交化向量組。四、解答題（14分）16. 已知方陣，求五、證明題（6分）17. 設(shè)方陣有一個特征值為，證明：方陣有一個特征值為4。2008-2009-1年秋線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)中有個以上元素為零，則的值為（ ）A.大于零; B. 等于零; C. 小于零; D. 不能確定.2.設(shè)階方陣有一個特征值為零，則下列說法正確的是（ ）A. B. ； C.可逆； D. 的列向量組線性無關(guān).3. 設(shè)為階方陣，若與階單位矩陣等價，則方程組有（ ） A. 無解； B. 有唯一解； C. 有無窮多解； D. 解的情況不能確定。

11、4. 設(shè)為三階方陣，若可逆，則（ ）A. ； B. ； C. ； D. 。5. 同階方陣與相似的充要條件是（ ） A. 存在兩個可逆矩陣與，使得; B. 存在可逆矩陣，使得; C. 存在可逆矩陣，使得; D. 。二、填空題（每小題3分，共15分）6行列式中的代數(shù)余子式的值等于 。7若是可逆方陣的一個特征值，則方陣必有一個特征值為 。8當 時，下列向量組線性相關(guān)。9設(shè)是三階方陣，是的伴隨矩陣，已知，則= 。10二次型的秩等于 。 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 若，求。12設(shè)矩陣，矩陣滿足，求。13. 問取何值時，向量可由向量組，（1）唯一的線性表示， （2）無窮多的線性表示， （3

12、）不能線性表示。14求線性方程組的通解。15.已知 求。四、解答題（10分）16. 已知二次型的秩為2，求參數(shù)，并求正交變換，將該二次型標準化。五、證明題（每小題5分，共10分）17. 設(shè)是非齊次線性方程組的一個特解，為對應的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，證明：向量組線性無關(guān)。18. 設(shè)為階方陣，且滿足，證明不可逆。2008-2009-1線性代數(shù)期末試卷(B)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)為階可逆矩陣，下列運算中正確的是（ ）A.; B. ; C.; D. .2.設(shè)為3階方陣，且，則（ ）A. 4 B. -4； C.16； D. -16.3. 已知為階方陣，且滿足則必有（ ）A.

13、 不可逆； B. 可逆； C. ； D. 。4. 設(shè)均為階方陣，若，則必有（ ）A. 與相似； B. 與等價； C. 與合同； D. 。5. 二次型的秩為（ ） A. 0; B. 1; C. 2; D. 3。二、填空題（每小題3分，共15分）6若三階矩陣的特征值為0，1，2，則值等于 。7設(shè)，則= 。8若向量組，則該向量組必 。9設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，已知，則的特征值為 。10二次型正定的充要條件是 。 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 計算行列式。12已知，求及。13. 問取何值時，方程組（1）有唯一解， （2）有無窮多解， （3）無解。14已知齊次線性方程組，求該方程組的通解

14、。15.已知，求出它的一個最大無關(guān)組。四、解答題（10分）16. 已知，求。五、證明題（每小題5分，共10分）17.設(shè)有向量組，證明向量組線性相關(guān)。18. 證明：二次型在時的最大值為的最大特征值，最小值為的最小特征值。2008-2009-2線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)A，B都是n階方陣，且|A|=3，|B|=-1,則=( ).A. -3; B. ; C. ; D. 3. 2. 設(shè)為階可逆矩陣,的第二行乘以2為矩陣，則的( )為.A第二行乘以； B. 第二列乘以2；C 第二行乘以； D. 第二列乘以.3. 若都是三階可逆矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是 ( ).

15、 A. ; B. ; C. ; D. .4 設(shè)是階方陣，則可能不成立的是( ).A. ; B. ; C. ; D. .5. 的伴隨矩陣為，.A. 1； B. 2； C. 3； D. 4. 二、填空題（每小題3分，共15分）6 ;7設(shè)矩陣，若齊次線性方程組有非零解，則數(shù) ;8矩陣的逆矩陣為 ；9設(shè)均為三階矩陣，,則 ;10設(shè)是4階矩陣，矩陣的特征值是, 則矩陣的全部特征值是 . 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 計算行列式12設(shè)3階方陣滿足方程 ，試求矩陣以及行列式，其中.13. 求線性方程組的通解。14已知向量組，求出它的一個最大無關(guān)組。15. 設(shè)為三階矩陣，有三個不同特征值依次是屬

16、于特征值的特征向量，令, 若，求的特征值并計算行列式.四、解答題（10分）16. 設(shè)二次型,其中二次型矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12，(1) 求的值；(2)求正交變換，化二次型為標準形。五、證明題（每小題5分，共10分）17. 已知是階正定矩陣，是階反對稱矩陣，即，判定矩陣是否可逆，說明理由.18. 設(shè)為維列向量，且，矩陣，證明：行列式。2008-2009-2線性代數(shù)期末試卷(B)一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)為正交矩陣，且，則( ).A. ; B.; C. ; D. 2. 若都是階方陣，且, ，則必有( ). A. 或； B. ； C. ； D. 或.3. 是非齊次線性

17、方程組有無窮多解的( ). A. 充分條件; B. 必要條件; C. 既非充分條件又非必要條件; D. 不能確定.4是階可逆矩陣，則與必有相同特征值的矩陣是( ). A. ; B. ; C.; D. .5. 設(shè)向量組線性無關(guān),線性相關(guān),則以下命題中，不一定成立的是( ). A. 不能被線性表示； B.不能被線性表示；C. 能被線性表示； D.線性相關(guān).二、填空題（每小題3分，共15分）6行列式=_ _;7設(shè),，則AB=_ ;8設(shè)是階方陣的伴隨矩陣，行列式，則=_；9設(shè)A是4×3矩陣，若，則=_；10設(shè)方陣相似于對角矩陣, 則_ 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 求行列式的值

18、。12已知為階正交矩陣，且。（1）求行列式的值；（2）求行列式的值。13. 設(shè)非齊次線性方程組, 問為何值時, 系數(shù)矩陣的秩為2？并求此時方程組的通解14已知，其中，求矩陣。15.設(shè)矩陣，的秩為3，求。四、解答題（10分）16. 設(shè)實對稱矩陣，求正交矩陣，使為對角矩陣，并寫出對角陣五、證明題（每小題5分，共10分）17. 設(shè)為的非零解，為的解，證明與線性無關(guān)。18. 已知與都是階正定矩陣，判定是否為正定矩陣，說明理由.參 考 答 案2005級線性代數(shù)期末考試參考答案（A卷）一、單項選擇（20分4分5）： 1、 2、 3、 4、 5、二、填空題（20分4分）：6、3，7、，8、任意值，9、，10

19、、三、計算行列式（14分）： 11 7 7四、證明（16分8分×2）：12、證明： 2 3 也是對稱矩陣。 313、證明： 2 3 是正交矩陣。 3五、計算題（14分）： 14解：設(shè)，則 4 5 5六、計算題（10分）： 15解：設(shè)相應與特征值2的特征向量為 2 因為實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量相互正交， 2 所以 得到基礎(chǔ)解系 3 所以相應于2的全部特征向量為 3七、解答題(6分)： 16解：設(shè)則有 ，的特征值為 2 對應于的特征向量可以計算得：單位化得 1 對應于的特征向量可以計算得：單位化得 1作正交變化得到，由正交變化得剛性知面積為。22005級線性代數(shù)期末考試參考答

20、案（A卷）一、單項選擇（16分4分4）： 1、C 2、B 3、 4、A 二、填空題（16分4分）：5、; 6、; 7、; 8、2; 三、計算行列式（18分9分2）： 9解： 5 9 10解：設(shè)，則 3 8 9四、計算題（10分）：11、解： 5 基礎(chǔ)解系為： 8通解為： 10五、證明題（20分10分2）： 12證明：“充分性” 設(shè)， 5“必要性”設(shè)則 因此 8即： 10 13. 證明: 3 6 9 線性無關(guān) 10六、計算題（14分）： 14解： 6 12 14七、解答題(6分)： 15證明：“充分性”假設(shè)不可逆，即，則存在實維非零向量，使得， 于是對任意的實矩陣， 從而不是正定矩陣，與題設(shè)矛盾

21、 因此有即可逆。 3“必要性”設(shè)則對任意的實維非零向量，使得，所以是正定矩陣令，則有 正定 62005級線性代數(shù)期末試卷(A)解答與參考評分標準一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. A ; 2. D; 3. B; 4. C; 5. B 二、填空題（每小題3分，共15分）6 -1; 7 ; 8 ;93; 10 三、計算階行列式（本題14分）11解: 4 8 12 14四、證明題（每小題8分，共16分）12證：由及 4知 6 可逆，且有 813. 證：設(shè)向量組的一個最大無關(guān)組為：，向量組A的一個最大無關(guān)組為： 2由可由線性表示，可由線性表示，可由線性表示 4可得 6即 8五、解矩陣方程（14

22、分）14解: 2 8 10 且可逆 14六、解答題（每小題10分，共20分）15.解： 16. 解： 2 4 向量組的秩為2，一個最大無關(guān)組 6 8 10七、解答題（6分）17. 解：在等式兩邊取行列式，得 而 又 2 即 有一個特征值 4 可逆 從而有一個特征值 62007-2008-2線性代數(shù)期末試卷(A)解答與參考評分標準一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5. B二、填空題（每小題3分，共15分）6 8 ; 7; 83 ; 9 ; 10 -3 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 解： . .(5分) .(8分) 27.(10分)

23、12 解：由于，得，即.(2分） .（4分）由初等變換求逆可得（注：用其它方法也可以）.（8分） .（10分）13. 解：對其增廣矩陣作初等變換可得： .（5分） .（6分）取為自由向量，原方程組可化為： （7分）所以方程組的通解為： 其中為任意常數(shù)。.（10分）14解：對作初等變換（7分） .（10分）15.解：要使得向量組線性無關(guān)，只要其行列式不等于零即可，3分） （8分）所以當時，向量組線性無關(guān)。.（10分）注：用初等變化求秩也可以。四、解答題（14分）16. 解：1. 二次型對應的對稱矩陣為（3分）2 對應的特征值為： （7分） 當時，有特征向量（8分） 當時，有特征向量 （10分）

24、顯然可知正交，所以所求的正交變換為 其中，得到的標準形為 .（12分） 3因為特征值均為正，所以該二次型為正定二次型. （14分）五、證明題（6分）17. 證明： .（3分） 因此有： .（5分） ，所以可逆。 而且有 .（6分）2007-2008-2線性代數(shù)期末試卷(B)解答與參考評分標準一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. A; 2. D; 3. D; 4. D; 5. B二、填空題（每小題3分，共15分）6 32; 7; 81；92 ; 10.三、計算題（每小題10分，共50分）11. 解： 5分 9分 10分12解： 2分 7分 10分13. 解：對其增廣矩陣作初等變換可得： .

25、 5分 .7分取為自由向量，原方程組可化為： 9分所以方程組的通解為： 其中為任意常數(shù)。.10分14解：由于.6分因此該向量組的秩為2，它的一個最大無關(guān)組的個數(shù)為2。.8分由于線性無關(guān)，所以是它的一個最大無關(guān)組。10分15.解：先將正交化， .7分再將其單位化可得10分四、解答題（14分）16.解：首先求的特征值，由.5分而后求對應的特征向量，當時，對應的特征向量為.7分當時，對應的特征向量為.9分當時，對應的特征向量為.11分令,則有.12分所以 14分五、證明題（6分）17.證明：因為有一個特征值為2，假設(shè)為其對應的特征向量，則有 等式兩邊同乘以,則有3分 因此 5分 有特征值的定義可得，

26、方陣有一個特征值為4.6分2008年秋線性代數(shù)期末試卷(A)解答與參考評分標準一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. B; 2. A; 3. B; 4. C; 5. B; 二、填空題（每小題3分，共15分）6 a1a2a3; 7 1/2 ; 8 10; 9 -16/27; 10 3 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 解：3分 8分 10分12解：3分 5分 所以 8分 所以10分注：只要方法正確可給5分。13.解：原問題可轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組的求解問題，由題意可得5分1) 當時，方程組有唯一解，即可由向量組唯一的線性表示。2) 當時，方程組有無窮多解，即可由向量組線性表示，且表

27、示法有無窮多。9分3) 當時，方程組無解，即不能由向量組線性表示10分14解：增廣矩陣5分8分所以方程組的通解為 10分15.解：6分8分所以 10分注：只要方法正確可給5分。四、解答題（10分）16. 解：二次型對應的對稱矩陣2分由題意可得4分，解得6分當時，解得到時對應的特征向量當時，解得到時對應的特征向量當時，解得到時對應的特征向量令，在正交變換下可將二次型化成標準形 10分五、證明題（每小題5分，共10分）17. 證明：由題意可得在等式的兩邊同時乘以矩陣可得，由此得，所以=0，3分因此上式可以寫成，由于為對應的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，所以線性無關(guān)，所以4分所以向量組線性無關(guān)。5分

28、18.證明：2分3分4分所以有，因此有不可逆。5分2008-2009-1線性代數(shù)期末試卷(B)解答與參考評分標準一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1. C; 2. D; 3. B; 4. B; 5. D二、填空題（每小題3分，共15分）6 -14; 7（5，3，5，3）; 8線性無關(guān)；95; 10t>1 三、計算題（每小題10分，共50分）11. 解：6分 8分10分12解： 5分7分10分13.解：7分1 當時，方程組有無窮多解8分2 當時，方程組無解9分3 當且時，方程組有唯一解10分14解：5分7分所以方程組的一個基礎(chǔ)解系為：9分方程組的通解為10分15. 解：7分因為，所以該向量組的最大無關(guān)組的向量個數(shù)為2，其中或或或均為該向量組的最大無關(guān)組。10分四、解答題（10分）16. 解（二重）3 當時，解得的特征向量為5分當時，解得的特征向量為6分令，則有8分所以10分