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文檔簡介

1、2005-2006-1線性代數(shù)期末考試試卷(A卷)一、單項(xiàng)選擇(20分4分5): 1 (), () , () , () 2 設(shè)為同階方陣,則( )成立() , () , () , () 3 設(shè)為矩陣,齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是的( ) () 列向量組線性無關(guān), () 列向量組線性相關(guān), ()行向量組線性無關(guān), () 行向量組線性相關(guān)4 向量線性無關(guān),而線性相關(guān),則( )。 () 必可由線性表出, ()必不可由線性表出, ()必可由線性表出, ()必不可由線性表出二次型,當(dāng)滿足( )時(shí),是正定二次型();();();()二、填空題(20分4分):6,則_ 7設(shè)為四階方陣,若,則其伴隨

2、矩陣的行列式=_ 8若,當(dāng)_時(shí),2 9設(shè),其中 , 則_10設(shè)為正定矩陣,則 _三、計(jì)算行列式(14分): 11 四、證明(16分8分×2):12設(shè)為階方陣,且為對(duì)稱矩陣,證明也是對(duì)稱矩陣。13設(shè)和為同階正交矩陣,證明也為正交矩陣五、計(jì)算題(14分): 14解矩陣方程。六、計(jì)算題(10分): 15三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為,求出相應(yīng)于特征值的全部特征向量。 七、解答題(6分): 16求曲線所圍成的圖形的面積。2006-2007-1線性代數(shù)期末考試試卷(A卷)一、單項(xiàng)選擇(16分4分4): 1以下結(jié)論正確的是(),()若的行列式則; () 若則; () 若 為對(duì)

3、稱矩陣,則也是對(duì)稱矩陣; () 對(duì)任意同階的矩陣有;2. 設(shè)是階可逆矩陣,是的伴隨矩陣,則( )成立;(); (); (); ()3. 初等矩陣();() 都可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣;() 所對(duì)應(yīng)的行列式的值都等于1;() 相乘仍為初等矩陣; () 相加仍為初等矩陣;4設(shè)為階方陣,則以下結(jié)論( )成立;()若可逆,則矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量也是矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量;()的特征向量即為方程的全部解;()的特征向量的線性組合仍為特征向量;()與有相同的特征向量;二、填空題(16分4分): 5方程組有非零解,則_;6設(shè),則_; 7元齊次線性方程組僅有零解的充要條件是_; 8設(shè),則該向量組

4、的秩為_;三、解答下列各題(18分9分2): 9計(jì)算行列式,10解矩陣方程 四、計(jì)算題(10分):11 求解齊次線性方程組五、證明題(20分10分2): 12設(shè)為階方陣,證明:的充要條件是;13設(shè)維單位坐標(biāo)向量組可由向量組線性表示,證明線性無關(guān);六、計(jì)算題(14分):14求矩陣的秩;七、證明題(6分):15設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,證明可逆的充要條件是存在階實(shí)矩陣,使得是正定矩陣。2006-2007-2級(jí)線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1. 在下列構(gòu)成6階行列式展開式的各項(xiàng)中,取“”的有( ) A. ; B. ; C. ; D. .2. 設(shè)為階矩陣,下列運(yùn)算正確的是( )

5、A. B. C. D. 若可逆,則3. 設(shè)矩陣經(jīng)過初等行變換變?yōu)榫仃?,則有( ) A. B. C. D. 無法判定。4. 如果向量可由向量組線性表示,則下列結(jié)論中正確的是( ) A. 存在一組不全為零的數(shù)使等式成立。 B. 存在一組全為零的數(shù) 使等式成立; C. 存在一組數(shù) 使等式成立; D. 對(duì)的線性表達(dá)式唯一。5. 已知三階矩陣的特征值為則矩陣的特征值為( ) A. ; B. ; C. ; D.二、填空題(每小題3分,共15分)6設(shè) 為行列式中元素的代數(shù)余子式,則 7設(shè)4階方陣,則 8設(shè)線性方程組有非零解,則 9已知向量組的秩為2,則 10設(shè)階方陣的特征值為,則(為常數(shù))的特征值為 三、計(jì)

6、算階行列式(本題14分)11. 四、證明題(每小題8分,共16分)12已知對(duì)于階方陣,存在自然數(shù),使得,試證明矩陣可逆,并寫出其逆矩陣的表達(dá)式。13. 設(shè)向量組和向量組的秩分別為和,試證明:若可由線性表示,則。五、解矩陣方程(14分)14設(shè),求使.六、解答題(每小題10分,共20分)15. 設(shè), 求.16. 設(shè),求該向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組,并將其余向量表示成最大無關(guān)組的線性組合。七、解答題(6分)17. 設(shè)4階方陣滿足,且,求伴隨矩陣的一個(gè)特征值。2007-2008-2線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.為階矩陣,滿足,則必有( )A. 或 ; B. ;C. 或

7、 ; D. .2. 關(guān)于矩陣下列說法正確的是( )A. 若可逆,則與任何矩陣可交換, B. 若可逆,則也可逆;C. 若可逆,也可逆,則也可逆;D. 若可逆,也可逆,則不一定可逆;3. 已知,則為( )A. B. C. D. 。4. 已知線性無關(guān),則( )A. 必線性無關(guān);B. 若為奇數(shù),則必有線性相關(guān);C. 若為偶數(shù),則必有線性相關(guān);D. 以上都不對(duì)。5. 實(shí)二次型,當(dāng)()時(shí),其秩為2A. ; B. ; C. ; D. .二、填空題(每小題3分,共15分)6設(shè)為矩陣,為矩陣,且1,則 7設(shè)矩陣,則 8矩陣的秩 9若線性無關(guān),而線性相關(guān),則向量組的最大無關(guān)組為 10設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣,與分別屬于的相

8、異特征值為的特征向量,則 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 計(jì)算行列式12解矩陣方程,其中。13. 求線性方程組的通解。14設(shè)矩陣的秩為2,求。15. 取何值時(shí),向量組線性無關(guān)。.四、解答題(14分)16. 已知二次型,求1二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣,2求正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形,3問該二次型是否正定。五、證明題(6分)17. 設(shè)是階方陣,已知,可逆,且,求證:可逆,并求出的表達(dá)式。2007-2008-2年線性代數(shù)期末試卷(B)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.行列式( ) A. ; B. ;C. ; D. .2. 設(shè)階方陣滿足關(guān)系式,其中是階單位陣,則必有( )A. ; B.

9、; C. ; D. .3. 對(duì)于齊次線性方程組,以下說法正確的是( )A. 若有解,則必有;B. 若無解,則必有;C. 若有非零解,則必有;D. 若唯有零解,則必有。4. 已知 ,則該向量組得秩為( )A. 2; B. 1; C. 4; D. 3。5. 實(shí)二次型秩為2,則().A. ; B. ; C. ; D. .二、填空題(每小題3分,共15分)6設(shè)為矩陣,且2,則 ;7設(shè)矩陣,則 8設(shè)矩陣,則齊次線性方程組的自由向量的個(gè)數(shù)為 個(gè);9矩陣,則的秩為 10實(shí)二次型正定,則應(yīng)滿足不等式 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 計(jì)算行列式12解矩陣方程13. 求線性方程組的通解。14已知向量組

10、,求出它的一個(gè)最大無關(guān)組。15.利用施密特正交化向量組。四、解答題(14分)16. 已知方陣,求五、證明題(6分)17. 設(shè)方陣有一個(gè)特征值為,證明:方陣有一個(gè)特征值為4。2008-2009-1年秋線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)中有個(gè)以上元素為零,則的值為( )A.大于零; B. 等于零; C. 小于零; D. 不能確定.2.設(shè)階方陣有一個(gè)特征值為零,則下列說法正確的是( )A. B. ; C.可逆; D. 的列向量組線性無關(guān).3. 設(shè)為階方陣,若與階單位矩陣等價(jià),則方程組有( ) A. 無解; B. 有唯一解; C. 有無窮多解; D. 解的情況不能確定。

11、4. 設(shè)為三階方陣,若可逆,則( )A. ; B. ; C. ; D. 。5. 同階方陣與相似的充要條件是( ) A. 存在兩個(gè)可逆矩陣與,使得; B. 存在可逆矩陣,使得; C. 存在可逆矩陣,使得; D. 。二、填空題(每小題3分,共15分)6行列式中的代數(shù)余子式的值等于 。7若是可逆方陣的一個(gè)特征值,則方陣必有一個(gè)特征值為 。8當(dāng) 時(shí),下列向量組線性相關(guān)。9設(shè)是三階方陣,是的伴隨矩陣,已知,則= 。10二次型的秩等于 。 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 若,求。12設(shè)矩陣,矩陣滿足,求。13. 問取何值時(shí),向量可由向量組,(1)唯一的線性表示, (2)無窮多的線性表示, (3

12、)不能線性表示。14求線性方程組的通解。15.已知 求。四、解答題(10分)16. 已知二次型的秩為2,求參數(shù),并求正交變換,將該二次型標(biāo)準(zhǔn)化。五、證明題(每小題5分,共10分)17. 設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:向量組線性無關(guān)。18. 設(shè)為階方陣,且滿足,證明不可逆。2008-2009-1線性代數(shù)期末試卷(B)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)為階可逆矩陣,下列運(yùn)算中正確的是( )A.; B. ; C.; D. .2.設(shè)為3階方陣,且,則( )A. 4 B. -4; C.16; D. -16.3. 已知為階方陣,且滿足則必有( )A.

13、 不可逆; B. 可逆; C. ; D. 。4. 設(shè)均為階方陣,若,則必有( )A. 與相似; B. 與等價(jià); C. 與合同; D. 。5. 二次型的秩為( ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3。二、填空題(每小題3分,共15分)6若三階矩陣的特征值為0,1,2,則值等于 。7設(shè),則= 。8若向量組,則該向量組必 。9設(shè)是階方陣,是的伴隨矩陣,已知,則的特征值為 。10二次型正定的充要條件是 。 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 計(jì)算行列式。12已知,求及。13. 問取何值時(shí),方程組(1)有唯一解, (2)有無窮多解, (3)無解。14已知齊次線性方程組,求該方程組的通解

14、。15.已知,求出它的一個(gè)最大無關(guān)組。四、解答題(10分)16. 已知,求。五、證明題(每小題5分,共10分)17.設(shè)有向量組,證明向量組線性相關(guān)。18. 證明:二次型在時(shí)的最大值為的最大特征值,最小值為的最小特征值。2008-2009-2線性代數(shù)期末試卷(A)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1設(shè)A,B都是n階方陣,且|A|=3,|B|=-1,則=( ).A. -3; B. ; C. ; D. 3. 2. 設(shè)為階可逆矩陣,的第二行乘以2為矩陣,則的( )為.A第二行乘以; B. 第二列乘以2;C 第二行乘以; D. 第二列乘以.3. 若都是三階可逆矩陣,則下列結(jié)論不一定正確的是 ( ).

15、 A. ; B. ; C. ; D. .4 設(shè)是階方陣,則可能不成立的是( ).A. ; B. ; C. ; D. .5. 的伴隨矩陣為,.A. 1; B. 2; C. 3; D. 4. 二、填空題(每小題3分,共15分)6 ;7設(shè)矩陣,若齊次線性方程組有非零解,則數(shù) ;8矩陣的逆矩陣為 ;9設(shè)均為三階矩陣,,則 ;10設(shè)是4階矩陣,矩陣的特征值是, 則矩陣的全部特征值是 . 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 計(jì)算行列式12設(shè)3階方陣滿足方程 ,試求矩陣以及行列式,其中.13. 求線性方程組的通解。14已知向量組,求出它的一個(gè)最大無關(guān)組。15. 設(shè)為三階矩陣,有三個(gè)不同特征值依次是屬

16、于特征值的特征向量,令, 若,求的特征值并計(jì)算行列式.四、解答題(10分)16. 設(shè)二次型,其中二次型矩陣的特征值之和為1,特征值之積為-12,(1) 求的值;(2)求正交變換,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。五、證明題(每小題5分,共10分)17. 已知是階正定矩陣,是階反對(duì)稱矩陣,即,判定矩陣是否可逆,說明理由.18. 設(shè)為維列向量,且,矩陣,證明:行列式。2008-2009-2線性代數(shù)期末試卷(B)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1設(shè)為正交矩陣,且,則( ).A. ; B.; C. ; D. 2. 若都是階方陣,且, ,則必有( ). A. 或; B. ; C. ; D. 或.3. 是非齊次線性

17、方程組有無窮多解的( ). A. 充分條件; B. 必要條件; C. 既非充分條件又非必要條件; D. 不能確定.4是階可逆矩陣,則與必有相同特征值的矩陣是( ). A. ; B. ; C.; D. .5. 設(shè)向量組線性無關(guān),線性相關(guān),則以下命題中,不一定成立的是( ). A. 不能被線性表示; B.不能被線性表示;C. 能被線性表示; D.線性相關(guān).二、填空題(每小題3分,共15分)6行列式=_ _;7設(shè),,則AB=_ ;8設(shè)是階方陣的伴隨矩陣,行列式,則=_;9設(shè)A是4×3矩陣,若,則=_;10設(shè)方陣相似于對(duì)角矩陣, 則_ 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 求行列式的值

18、。12已知為階正交矩陣,且。(1)求行列式的值;(2)求行列式的值。13. 設(shè)非齊次線性方程組, 問為何值時(shí), 系數(shù)矩陣的秩為2?并求此時(shí)方程組的通解14已知,其中,求矩陣。15.設(shè)矩陣,的秩為3,求。四、解答題(10分)16. 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣,求正交矩陣,使為對(duì)角矩陣,并寫出對(duì)角陣五、證明題(每小題5分,共10分)17. 設(shè)為的非零解,為的解,證明與線性無關(guān)。18. 已知與都是階正定矩陣,判定是否為正定矩陣,說明理由.參 考 答 案2005級(jí)線性代數(shù)期末考試參考答案(A卷)一、單項(xiàng)選擇(20分4分5): 1、 2、 3、 4、 5、二、填空題(20分4分):6、3,7、,8、任意值,9、,10

19、、三、計(jì)算行列式(14分): 11 7 7四、證明(16分8分×2):12、證明: 2 3 也是對(duì)稱矩陣。 313、證明: 2 3 是正交矩陣。 3五、計(jì)算題(14分): 14解:設(shè),則 4 5 5六、計(jì)算題(10分): 15解:設(shè)相應(yīng)與特征值2的特征向量為 2 因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交, 2 所以 得到基礎(chǔ)解系 3 所以相應(yīng)于2的全部特征向量為 3七、解答題(6分): 16解:設(shè)則有 ,的特征值為 2 對(duì)應(yīng)于的特征向量可以計(jì)算得:單位化得 1 對(duì)應(yīng)于的特征向量可以計(jì)算得:單位化得 1作正交變化得到,由正交變化得剛性知面積為。22005級(jí)線性代數(shù)期末考試參考答

20、案(A卷)一、單項(xiàng)選擇(16分4分4): 1、C 2、B 3、 4、A 二、填空題(16分4分):5、; 6、; 7、; 8、2; 三、計(jì)算行列式(18分9分2): 9解: 5 9 10解:設(shè),則 3 8 9四、計(jì)算題(10分):11、解: 5 基礎(chǔ)解系為: 8通解為: 10五、證明題(20分10分2): 12證明:“充分性” 設(shè), 5“必要性”設(shè)則 因此 8即: 10 13. 證明: 3 6 9 線性無關(guān) 10六、計(jì)算題(14分): 14解: 6 12 14七、解答題(6分): 15證明:“充分性”假設(shè)不可逆,即,則存在實(shí)維非零向量,使得, 于是對(duì)任意的實(shí)矩陣, 從而不是正定矩陣,與題設(shè)矛盾

21、 因此有即可逆。 3“必要性”設(shè)則對(duì)任意的實(shí)維非零向量,使得,所以是正定矩陣令,則有 正定 62005級(jí)線性代數(shù)期末試卷(A)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1. A ; 2. D; 3. B; 4. C; 5. B 二、填空題(每小題3分,共15分)6 -1; 7 ; 8 ;93; 10 三、計(jì)算階行列式(本題14分)11解: 4 8 12 14四、證明題(每小題8分,共16分)12證:由及 4知 6 可逆,且有 813. 證:設(shè)向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為:,向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組為: 2由可由線性表示,可由線性表示,可由線性表示 4可得 6即 8五、解矩陣方程(14

22、分)14解: 2 8 10 且可逆 14六、解答題(每小題10分,共20分)15.解: 16. 解: 2 4 向量組的秩為2,一個(gè)最大無關(guān)組 6 8 10七、解答題(6分)17. 解:在等式兩邊取行列式,得 而 又 2 即 有一個(gè)特征值 4 可逆 從而有一個(gè)特征值 62007-2008-2線性代數(shù)期末試卷(A)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5. B二、填空題(每小題3分,共15分)6 8 ; 7; 83 ; 9 ; 10 -3 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 解: . .(5分) .(8分) 27.(10分)

23、12 解:由于,得,即.(2分) .(4分)由初等變換求逆可得(注:用其它方法也可以).(8分) .(10分)13. 解:對(duì)其增廣矩陣作初等變換可得: .(5分) .(6分)取為自由向量,原方程組可化為: (7分)所以方程組的通解為: 其中為任意常數(shù)。.(10分)14解:對(duì)作初等變換(7分) .(10分)15.解:要使得向量組線性無關(guān),只要其行列式不等于零即可,3分) (8分)所以當(dāng)時(shí),向量組線性無關(guān)。.(10分)注:用初等變化求秩也可以。四、解答題(14分)16. 解:1. 二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為(3分)2 對(duì)應(yīng)的特征值為: (7分) 當(dāng)時(shí),有特征向量(8分) 當(dāng)時(shí),有特征向量 (10分)

24、顯然可知正交,所以所求的正交變換為 其中,得到的標(biāo)準(zhǔn)形為 .(12分) 3因?yàn)樘卣髦稻鶠檎栽摱涡蜑檎ǘ涡? (14分)五、證明題(6分)17. 證明: .(3分) 因此有: .(5分) ,所以可逆。 而且有 .(6分)2007-2008-2線性代數(shù)期末試卷(B)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1. A; 2. D; 3. D; 4. D; 5. B二、填空題(每小題3分,共15分)6 32; 7; 81;92 ; 10.三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 解: 5分 9分 10分12解: 2分 7分 10分13. 解:對(duì)其增廣矩陣作初等變換可得: .

25、 5分 .7分取為自由向量,原方程組可化為: 9分所以方程組的通解為: 其中為任意常數(shù)。.10分14解:由于.6分因此該向量組的秩為2,它的一個(gè)最大無關(guān)組的個(gè)數(shù)為2。.8分由于線性無關(guān),所以是它的一個(gè)最大無關(guān)組。10分15.解:先將正交化, .7分再將其單位化可得10分四、解答題(14分)16.解:首先求的特征值,由.5分而后求對(duì)應(yīng)的特征向量,當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為.7分當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為.9分當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量為.11分令,則有.12分所以 14分五、證明題(6分)17.證明:因?yàn)橛幸粋€(gè)特征值為2,假設(shè)為其對(duì)應(yīng)的特征向量,則有 等式兩邊同乘以,則有3分 因此 5分 有特征值的定義可得,

26、方陣有一個(gè)特征值為4.6分2008年秋線性代數(shù)期末試卷(A)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1. B; 2. A; 3. B; 4. C; 5. B; 二、填空題(每小題3分,共15分)6 a1a2a3; 7 1/2 ; 8 10; 9 -16/27; 10 3 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 解:3分 8分 10分12解:3分 5分 所以 8分 所以10分注:只要方法正確可給5分。13.解:原問題可轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組的求解問題,由題意可得5分1) 當(dāng)時(shí),方程組有唯一解,即可由向量組唯一的線性表示。2) 當(dāng)時(shí),方程組有無窮多解,即可由向量組線性表示,且表

27、示法有無窮多。9分3) 當(dāng)時(shí),方程組無解,即不能由向量組線性表示10分14解:增廣矩陣5分8分所以方程組的通解為 10分15.解:6分8分所以 10分注:只要方法正確可給5分。四、解答題(10分)16. 解:二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣2分由題意可得4分,解得6分當(dāng)時(shí),解得到時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量當(dāng)時(shí),解得到時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量當(dāng)時(shí),解得到時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量令,在正交變換下可將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形 10分五、證明題(每小題5分,共10分)17. 證明:由題意可得在等式的兩邊同時(shí)乘以矩陣可得,由此得,所以=0,3分因此上式可以寫成,由于為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,所以線性無關(guān),所以4分所以向量組線性無關(guān)。5分

28、18.證明:2分3分4分所以有,因此有不可逆。5分2008-2009-1線性代數(shù)期末試卷(B)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1. C; 2. D; 3. B; 4. B; 5. D二、填空題(每小題3分,共15分)6 -14; 7(5,3,5,3); 8線性無關(guān);95; 10t>1 三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11. 解:6分 8分10分12解: 5分7分10分13.解:7分1 當(dāng)時(shí),方程組有無窮多解8分2 當(dāng)時(shí),方程組無解9分3 當(dāng)且時(shí),方程組有唯一解10分14解:5分7分所以方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:9分方程組的通解為10分15. 解:7分因?yàn)椋栽撓蛄拷M的最大無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)為2,其中或或或均為該向量組的最大無關(guān)組。10分四、解答題(10分)16. 解(二重)3 當(dāng)時(shí),解得的特征向量為5分當(dāng)時(shí),解得的特征向量為6分令,則有8分所以10分

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