41不定積分的定義和性質(zhì)

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的定義和性質(zhì)不定積分的定義和性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 二、基本積分表二、基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 四、小結(jié)四、小結(jié)例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù).xln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù). )0(1ln xxx如如果果在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)， 定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf的的 即即ix ， 都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ， 那么函數(shù)那么函數(shù))(xf就稱為就稱為)(xf 導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf， 或或dxxf)(在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)內(nèi)原函數(shù)原函

2、數(shù). . 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c那那么么在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf，使使ix ，都都有有)()(xfxf . . (2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xf

3、xf ccxf )(都是都是)(xf的原函數(shù)的原函數(shù). （2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xf)(xg)(xf則則cxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c證證 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)，cxfdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .

4、例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 設(shè)曲線通過點(diǎn)（設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). ,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy函函數(shù)數(shù))(xf

5、的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. 顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( cxfdxxf.)()( cxfxdf結(jié)論：結(jié)論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.實(shí)例實(shí)例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出

6、積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;|ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(

7、;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxx

8、fk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dx

9、x1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy基本積分表基本積分表(1)不定積分的性

10、質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、四、 小結(jié)小結(jié)思考題思考題符號函數(shù)符號函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),( 思考題解答思考題解答不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù))(xf 0,0,0,)(xcxxcxcxxf但但)(xf在在0 x處處不不可可微微，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤所以所以 在在 內(nèi)不存在原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).),( )(xf結(jié)論結(jié)論每一個(gè)含有每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)第一類

11、間斷點(diǎn)的函數(shù)都的函數(shù)都沒有原函數(shù)沒有原函數(shù).一、一、 填空題：填空題： 1 1、 一個(gè)已知的函數(shù)，有一個(gè)已知的函數(shù)，有_個(gè)原函數(shù)，其中任意個(gè)原函數(shù)，其中任意兩個(gè)的差是一個(gè)兩個(gè)的差是一個(gè)_； 2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分； 3 3、 把把)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù))(xf的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是它的方程是 cxfy )(； 4 4、 由由)()(xfxf 可知， 在積分曲線族可知， 在積分曲線族cxfy )( )(是任意常數(shù)

12、是任意常數(shù)c上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線彼此是些切線彼此是_的；的； 5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_， 則在該區(qū)間上， 則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在； 練習(xí)題練習(xí)題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos 5 5、 dxxxx)11(2 6 6、 xdxxxx2222sec1sin 三、一曲線通過點(diǎn)三、一曲線通過點(diǎn))3,(2e，且在任一點(diǎn)處的切線的斜，且在任一點(diǎn)處的切線的斜 率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程 . .四、證明函數(shù)四、證明函數(shù)xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都是都是和和的原函數(shù)的原函數(shù) . .一、一、1 1、無窮多、無窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、cx 2552； 7 7、