41不定積分的定義和性質

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的定義和性質不定積分的定義和性質 一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念 二、基本積分表二、基本積分表 三、不定積分的性質三、不定積分的性質 四、小結四、小結例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數數.xln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內的原函數內的原函數. )0(1ln xxx如如果果在在區(qū)區(qū)間間i內內， 定義：定義：可可導導函函數數)(xf的的 即即ix ， 都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ， 那么函數那么函數)(xf就稱為就稱為)(xf 導導函函數數為為)(xf， 或或dxxf)(在區(qū)間在區(qū)間i內內原函數原函

2、數. . 一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念原函數存在定理：原函數存在定理：如果函數如果函數)(xf在區(qū)間在區(qū)間i內連續(xù)，內連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數一定有原函數連續(xù)函數一定有原函數.問題：問題：(1) 原函數是否唯一？原函數是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 為任意常數）為任意常數）c那那么么在在區(qū)區(qū)間間i內內存存在在可可導導函函數數)(xf，使使ix ，都都有有)()(xfxf . . (2) 若不唯一它們之間有什么聯系？若不唯一它們之間有什么聯系？關于原函數的說明：關于原函數的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 ，)()(xf

3、xf ccxf )(都是都是)(xf的原函數的原函數. （2）若）若 和和 都是都是 的原函數，的原函數，)(xf)(xg)(xf則則cxgxf )()(（ 為任意常數）為任意常數）c證證 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數）為任意常數）c任意常數任意常數積分號積分號被積函數被積函數不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間i內內，cxfdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數數)(xf的的帶帶有有任任意意常數項的原函數常數項的原函數稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間i內內的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .

4、例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據題意知根據題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個個原原函函數數. ,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy函函數數)(xf

5、的的原原函函數數的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. 顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( cxfdxxf.)()( cxfxdf結論：結論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.實例實例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據求導公式得出積分公式？能否根據求導公式得出積分公式？結論結論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式因此可以根據求導公式得出

6、積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數是常數););1(1)2(1 cxdxx;|ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(

7、;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據積分公式（根據積分公式（2）cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）三、三、 不定積分的性質不定積分的性質 dxxkf)()2(.)( dxx

8、fk（k是是常常數數，)0 k例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dx

9、x1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數都需要進行以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy基本積分表基本積分表(1)不定積分的性

10、質不定積分的性質 原函數的概念：原函數的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關系四、四、 小結小結思考題思考題符號函數符號函數 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內是否存在原函數？為什么？內是否存在原函數？為什么？),( 思考題解答思考題解答不存在不存在.假設有原函數假設有原函數)(xf 0,0,0,)(xcxxcxcxxf但但)(xf在在0 x處處不不可可微微，故假設錯誤故假設錯誤所以所以 在在 內不存在原函數內不存在原函數.),( )(xf結論結論每一個含有每一個含有第一類間斷點第一類

11、間斷點的函數都的函數都沒有原函數沒有原函數.一、一、 填空題：填空題： 1 1、 一個已知的函數，有一個已知的函數，有_個原函數，其中任意個原函數，其中任意兩個的差是一個兩個的差是一個_； 2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分； 3 3、 把把)(xf的一個原函數的一個原函數)(xf的圖形叫做函數的圖形叫做函數)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是它的方程是 cxfy )(； 4 4、 由由)()(xfxf 可知， 在積分曲線族可知， 在積分曲線族cxfy )( )(是任意常數

12、是任意常數c上橫坐標相同的點處作切線，這上橫坐標相同的點處作切線，這些切線彼此是些切線彼此是_的；的； 5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_， 則在該區(qū)間上， 則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數一定存在；原函數一定存在； 練習題練習題6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos 5 5、 dxxxx)11(2 6 6、 xdxxxx2222sec1sin 三、一曲線通過點三、一曲線通過點)3,(2e，且在任一點處的切線的斜，且在任一點處的切線的斜 率等于該點橫坐標的倒數，求該曲線的方程率等于該點橫坐標的倒數，求該曲線的方程 . .四、證明函數四、證明函數xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都是都是和和的原函數的原函數 . .一、一、1 1、無窮多、無窮多, ,常數；常數； 2 2、全體原函數；、全體原函數； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、cx 2552； 7 7、