線性代數(shù)試卷

1、線性代數(shù)（A卷） 一選擇題(每小題3分,共15分)1. 設(shè)是任意階方陣,那么下列等式必成立的是( ) (A) (B) (C) (D)2. 如果元齊次線性方程組有基礎(chǔ)解系并且基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量,那么矩陣的秩為( ) (A) (B) (C) (D) 以上答案都不正確3.如果三階方陣的特征值為,那么及分別等于( ) (A) (B) (C) (D) 4. 設(shè)實(shí)二次型的矩陣為,那么( ) (A) (B) (C) (D) 5. 若方陣A的行列式，則( ) (A) A的行向量組和列向量組均線性相關(guān) (B)A的行向量組線性相關(guān),列向量組線性無關(guān) (C) A的行向量組和列向量組均線性無關(guān) (D)A的列向量組線

2、性相關(guān),行向量組線性無關(guān)二填空題(每小題3分,共30分)1 如果行列式有兩列的元對(duì)應(yīng)成比例,那么該行列式等于 ；2. 設(shè)，是的伴隨矩陣，則 ；3. 設(shè),是非齊次線性方程組的解,若也是它的解, 那么 ；4. 設(shè)向量與向量正交,則 ；5. 設(shè)為正交矩陣,則 ；6. 設(shè)是互不相同的三個(gè)數(shù),則行列式 ；7. 要使向量組線性相關(guān)，則 ；8. 三階可逆矩陣的特征值分別為,那么的特征值分別為 ；9. 若二次型是正定的，則的取值范圍為 ；10. 設(shè)為階方陣,且滿足,這里為階單位矩陣,那么 .三計(jì)算題（每小題9分，共27分）1. 已知，求矩陣使之滿足.2. 求行列式的值.3 求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組和秩.四(1

3、0分)設(shè)有齊次線性方程組問當(dāng)取何值時(shí), 上述方程組(1)有唯一的零解(2)有無窮多個(gè)解,并求出這些解. 五(12分)求一個(gè)正交變換,把下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形:. 六(6分)已知平面上三條不同直線的方程分別為試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為.線性代數(shù)（A卷）答案一1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-16. 7. 0 8. 9. 10. 三1. 解 由得. (2分)下面求. 由于 (4分)而 . (7分)所以. (9分)2. 解 (4分) (8分) (9分) .3. 解 由于 (6分)故向量組的秩是 3 ，是它的一個(gè)最大無關(guān)組。(

4、9分)四解 方程組的系數(shù)行列式 (2分)當(dāng),即且時(shí),方程組有唯一的零解; (4分)當(dāng)時(shí), ,方程組的系數(shù)矩陣為,它有一個(gè)二階子式,因此秩()(這里),故方程組有無窮多個(gè)解.對(duì)施行初等行變換,可得到方程組的一般解為 其中可取任意數(shù); (7分)當(dāng)時(shí), ,方程組的系數(shù)矩陣為,顯然,秩()(這里),所以方程組也有無窮多個(gè)解.對(duì)施行初等行變換可得方程組的一般解為 其中可取任意數(shù). (10分)五 解 二次型的矩陣為, (2分)因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為,所以特征值是(二重)和. (4分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為. 利用施密特正交化方法將正交化:, ,再將單位化得 , (8分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為.再將單位化得. (10分)令則是一個(gè)正交矩陣,且滿足.所以,正交變換為所求,它把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形. (12分)六