《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、單元課題：函數(shù)與方程一、 課標(biāo)要求與教材分析這一節(jié)，是用函數(shù)來(lái)研究方程，具體研究的是方程的實(shí)數(shù)解，先是判斷方程實(shí)數(shù)解的存在性，然后是求方程的近似解。方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，解方程的過(guò)程（求方程的近似解）就是細(xì)化函數(shù)連續(xù)區(qū)間的過(guò)程。這樣容易看出函數(shù)對(duì)方程的統(tǒng)領(lǐng)作用，使學(xué)生感受函數(shù)的核心地位。學(xué)生將通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，結(jié)合實(shí)際問題，感受運(yùn)用函數(shù)概念簡(jiǎn)歷模型的過(guò)程與方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單問題。學(xué)生還將學(xué)習(xí)利用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)與方程的有機(jī)聯(lián)系，并為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)二、學(xué)情分

2、析高一學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，常表現(xiàn)出不適，主要是數(shù)形結(jié)合與抽象思維尚不能勝任具體表現(xiàn)為將函數(shù)孤立起來(lái)，認(rèn)識(shí)不到函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的核心地位例如一元二次方程根的分布問題，學(xué)生自然會(huì)想到韋達(dá)定理，而不是看二次函數(shù)的圖象函數(shù)與方程相聯(lián)系的觀點(diǎn)的建立，函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)的初步樹立，就成了本節(jié)內(nèi)容必須承載的任務(wù)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生意識(shí)到“數(shù)學(xué)可以解決實(shí)際問題”并且也認(rèn)識(shí)到“自己的數(shù)學(xué)知識(shí)還有待進(jìn)一步提高”。三、 教學(xué)目標(biāo)1 知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）正確認(rèn)識(shí)函數(shù)與方程的關(guān)系，求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，體會(huì)函數(shù)知識(shí)的核心作用。（2）能夠利用函數(shù)的性質(zhì)判定方程解得存在性（3）能夠用二分法求方程的

3、近似解，認(rèn)識(shí)求方程近似解方法的意義。2 過(guò)程與方法目標(biāo)：在近似計(jì)算的學(xué)習(xí)中感受近似，逼近和算法等數(shù)學(xué)思想的含義和作用。3 情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野，使他們體會(huì)數(shù)學(xué)不同內(nèi)容之間是存在一定聯(lián)系的。課時(shí)課題：利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在一、教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)與技能目標(biāo)了解函數(shù)零點(diǎn)的概念；理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系；掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的方法；（2）過(guò)程與方法目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考,自主觀察和探究的能力；樹立數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程相結(jié)合的思想；（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題；感悟由具體到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。二

4、、教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系及零點(diǎn)存在的判定定理三、教學(xué)難點(diǎn)：探究發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)存在條件，準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理四、教學(xué)方法與手段：實(shí)例引入、探究新知、實(shí)踐探索、總結(jié)提煉、總結(jié)、反思。五、使用教材的構(gòu)想：倡導(dǎo)積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、教師引導(dǎo)學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，學(xué)生親身經(jīng)歷、感受來(lái)獲取知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、抽象與概括、運(yùn)算求解等思維過(guò)程。六、教學(xué)流程（一）設(shè)置情景，導(dǎo)入新課1、實(shí)例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)純粹靠代數(shù)運(yùn)算無(wú)法解決的方程，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激起探求知的熱情2、一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系填空：方程x2-

5、2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1無(wú)實(shí)數(shù)根函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3圖象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy圖象與x軸的交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)：(-1,0)，(3,0)一個(gè)交點(diǎn)：(1,0)沒有交點(diǎn)問題1：從該表你可以得出什么結(jié)論？歸納：判別式000方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 = x2沒有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)：(x1,0

6、)，(x2,0)一個(gè)交點(diǎn)：(x1,0)無(wú)交點(diǎn)問題2：一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象之間有怎樣的關(guān)系？學(xué)生討論，得出結(jié)論：一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)的圖像及相應(yīng)方程的根的關(guān)系作準(zhǔn)備3、一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系問題3：其他的函數(shù)與方程之間也有類似的關(guān)系嗎？請(qǐng)舉例！師生互動(dòng)，在學(xué)生提議的基礎(chǔ)上，老師加以改善，現(xiàn)場(chǎng)在課件上展示類似如下函數(shù)的圖象：y2x4，y2x8，yln(x2)，y(x1)(x2)(x3)比較函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，從而得出一般的結(jié)論：方程f(x)0有幾個(gè)根，y

7、f(x)的圖象與x軸就有幾個(gè)交點(diǎn)，且方程的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)，為得到零點(diǎn)概念做好鋪墊（二）引導(dǎo)探究，獲得新知1、函數(shù)零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)即興練習(xí)：函數(shù)f(x)=x(x216)的零點(diǎn)為（ ）A(0，0)，(4，0) B0，4C(4，0)，(0，0)，(4，0) D4，0，4設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)矯正“零點(diǎn)是交點(diǎn)”這一誤解說(shuō)明：函數(shù)零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是具體的自變量的取值求函數(shù)零點(diǎn)就是求方程f(x)0的根2、歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系問題4：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有什么共同點(diǎn)和區(qū)別？（1）聯(lián)系：數(shù)值上相等：求

8、函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)方程的根；存在性一致：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)（2）區(qū)別：零點(diǎn)是對(duì)于函數(shù)而言，根是對(duì)于方程而言以上關(guān)系說(shuō)明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)問題有時(shí)可轉(zhuǎn)化為方程問題，同樣，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來(lái)求解，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)練習(xí)：求下列函數(shù)的零點(diǎn)：2-2-41O1-2234-3-1-1yx設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生熟悉零點(diǎn)的求法（即求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根）3、零點(diǎn)存在性定理的探索問題5：在怎樣的條件下，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上一定有零點(diǎn)？探究：（1）觀察二次函數(shù)f(x)x22x3的圖象：在區(qū)間-2，1上有零點(diǎn)_；f(-

9、2)=_，f(1)=_，f(-2)·f(1)_0（“”或“”）abcxyOd在區(qū)間(2，4)上有零點(diǎn)_；f(2)·f(4)_0（“”或“”）（2）觀察函數(shù)的圖象：在區(qū)間(a，b)上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(a)·f(b) _ 0（“”或“”）在區(qū)間(b，c)上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(b)·f(c) _ 0（“”或“”）在區(qū)間(c，d)上_(有/無(wú))零點(diǎn)；f(c)·f(d) _ 0（“”或“”）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納得出零點(diǎn)存在性定理4、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，

10、函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根即興練習(xí)：下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)？（1）f(x)=log2x，x，2；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x0，1設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單的練習(xí)適應(yīng)定理的使用（三）例題剖析，鞏固新知例1 判斷下列結(jié)論是否正確，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例：（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（ ）（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)·f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒

11、有零點(diǎn)（ ）（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)（ ）請(qǐng)一位學(xué)生板書反例，其他學(xué)生補(bǔ)充評(píng)析，例如：abOxyabOxyabOxy歸納：定理不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；定理中的“連續(xù)不斷”是必不可少的條件；不滿足定理?xiàng)l件時(shí)依然可能有零點(diǎn)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)定理中條件的改變，將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面給出，在第一時(shí)間加以糾正，從而促進(jìn)對(duì)定理本身的準(zhǔn)確理解例2：求函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并確定零點(diǎn)所在的區(qū)間n，n+1(nZ)解法1（借助計(jì)算工具）：用計(jì)算器作出x、f(x)的對(duì)應(yīng)值表x123456789f(x)-4.0-

12、1.31.13.45.67.89.912.114.2由表可知，f (2)<0，f (3)>0,則f (2) f (3)<0，這說(shuō)明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)問題6：如何說(shuō)明零點(diǎn)的唯一性？又由于函數(shù)f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞增，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn)解法2（估算）：估計(jì)f(x)在各整數(shù)處的函數(shù)值的正負(fù)，可得如下x1234f(x)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)解法3：將方程lnx2x6=0化為lnx=6-2x，分別畫出g(x)=lnx與h(x)=6-2x的草圖，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1繼而比較g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，確定交點(diǎn)所

13、在的區(qū)間，即零點(diǎn)的區(qū)間 6Oxy2134g(x)h(x)由圖可知f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題分析，能根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，使用多種方法確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)解法3難度比較大，視學(xué)生基礎(chǔ)而定（四）嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果（1）已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對(duì)應(yīng)值表：x1234567f(x)23971151226那么函數(shù)在區(qū)間1，6上的零點(diǎn)至少有（ ）A5個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)（2）方程 x 3 3x + 5=0的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（ ）A( 2，0)B(0，1)C(0，1)D(1，2)（3）求方程2-x =x的解的個(gè)數(shù)，

14、并確定解所在的區(qū)間n，n+1(nZ)設(shè)計(jì)意圖：一方面促進(jìn)對(duì)定理的活用，另一方面與引例相呼應(yīng)，也是例題方法的鞏固，為下一節(jié)課作鋪墊（五）課堂小結(jié)（1）一個(gè)關(guān)系：函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：函數(shù)方程零點(diǎn)根數(shù) 值存在性個(gè) 數(shù)（2）兩種思想：函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想（3）三種題型：求函數(shù)零點(diǎn)、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求零點(diǎn)所在區(qū)間（六）布置作業(yè)，獨(dú)立探究1函數(shù)f(x)(x4)(x4)(x2)在區(qū)間-5，6上是否存在零點(diǎn)？若存在，有幾個(gè)？2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個(gè)根：（1）2x(x2)3；（2）ex144x3結(jié)合上課給出的圖象，寫出并證明下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)3(x2)(x3)(x4)x思考題：方程2-x =x在區(qū)間_內(nèi)有解，如何求出這個(gè)解的近似值？請(qǐng)預(yù)習(xí)下一節(jié)設(shè)計(jì)意圖：為下一節(jié)“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備板書設(shè)計(jì)1.1 利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在1、零點(diǎn)概念：例2