數(shù)學(xué)分析(華東師大)第一章實數(shù)集與函數(shù)

1、第 一 章 實 數(shù) 集 與 函 數(shù)1 實 數(shù)數(shù)學(xué)分析研究的基本對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù) .為此 , 我們先簡要敘述 實數(shù)的有關(guān)概念 .一 實數(shù)及其性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中 , 我們知道實數(shù)由有理數(shù)與無理數(shù)兩部分組成 .有理數(shù)可 用分?jǐn)?shù)形式 p ( p、q 為整數(shù) , q 0 ) 表示 , 也 可用 有 限十 進(jìn)小 數(shù)或 無限 十 進(jìn)循 環(huán)q小數(shù)來表示 ; 而無限十進(jìn) 不 循環(huán) 小數(shù) 則稱 為 無 理數(shù) .有理 數(shù) 和無 理 數(shù)統(tǒng) 稱 為 實 數(shù) .為了以下討論的需要 , 我們把有限小數(shù) ( 包括整數(shù) ) 也表示為無限小數(shù) .對此 我們作如下規(guī) 定 : 對于 正有限 小數(shù) ( 包括正 整數(shù) ) x

2、 , 當(dāng) x = a0 . a1 a2 an 時 , 其 中 0 ai 9 , i = 1 , 2 , , n , an 0 , a0 為非負(fù)整數(shù) , 記x = a0 . a1 a2( an - 1) 999 9,而當(dāng) x = a0 為正整數(shù)時 , 則記x = ( a0 - 1 ) .999 9,例如 2 .001 記為 2.000 999 9 ; 對于負(fù)有限小數(shù) ( 包括負(fù)整數(shù) ) y , 則先 將 - y 表 示為無限小數(shù) , 再在所得無限小數(shù)之前 加負(fù)號 , 例 如 - 8 記 為 - 7.999 9 ; 又 規(guī) 定數(shù) 0 表示為 0.000 0 .于是 , 任何實數(shù)都可用一個確定的無限

3、小數(shù)來表示 .我們已經(jīng)熟知比較兩個有理數(shù)大小的方法 .現(xiàn)定義兩個實數(shù)的大小關(guān)系 .定義 1 給定兩個非負(fù)實數(shù)x = a0 . a1 a2an, y = b0 .b1 b2bn,其中 a0 , b0 為非負(fù)整數(shù) , ak , bk ( k = 1 , 2 , ) 為整數(shù) , 0 ak 9 , 0 bk 9 .若有ak = bk , k = 0 , 1 , 2 ,則稱 x 與 y 相等 , 記為 x = y; 若 a0 b0 或存在非負(fù)整數(shù) l , 使得ak = bk ( k = 0 , 1 , 2 , l ) 而 al + 1 bl + 1 ,則稱 x 大于 y 或 y 小于 x , 分別記為

4、x y 或 y - y , 則分別稱 x= y 與 x x) .另外 , 自然規(guī)定任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù) .以下給出通過有限小數(shù)來比較兩個實數(shù)大小的等價條件 .為此 , 先給出如下 定義 .定義 2 設(shè) x = a0 . a1 a2an為非負(fù)實數(shù) .稱有理數(shù)xn = a0 . a1 a2an為實數(shù) x 的n位不足近似 , 而有理數(shù)xn =xn +稱為 x 的n位過剩近似 , n = 0 , 1 , 2 ,. 1 10 n對于負(fù)實數(shù) x = - a0 .a1 a2an, 其 n 位 不 足近 似與 過剩 近似 分 別規(guī) 定為 1 xn = -a0 .a1 a2an -n 與 xn = -a0

5、 .a1 a2an .10 注 不 難 看 出 , 實 數(shù) x 的 不 足 近 似 xn 當(dāng) n 增大 時 不 減 , 即 有 x0 x1 x2 , 而過剩近似 xn 當(dāng) n 增大時不增 , 即有 x0 x1 x2 .我們有以下的命題 設(shè) x = a0 .a1 a2與 y = b0 . b1 b2為 兩個 實數(shù) , 則 x y 的 等價 條 件是 : 存在非負(fù)整數(shù) n , 使得xn yn ,其中 xn 表示 x 的 n 位不足近似 , yn 表示 y 的 n 位過剩近似 .關(guān)于這個命題的證明 , 以及關(guān)于實數(shù)的四則運算法則的定義 , 可參閱本書附 錄第八節(jié) .例 1 設(shè) x、y 為實數(shù) , x

6、 y .證明 : 存在有理數(shù) r 滿足x r y . 證 由于 x y , 故存在非負(fù)整數(shù) n , 使得 xn yn .令r = 1 ( x n + yn ) ,2則 r 為有理數(shù) , 且有即得 x r y .x xn r yn y,為方便起見 , 通常將全體實數(shù)構(gòu)成的集合記為 R , 即R = xx 為實數(shù) . 實數(shù)有如下一些主要性質(zhì) :1 . 實數(shù)集 R 對加、減、乘、除 ( 除 數(shù)不 為 0 ) 四 則運 算 是封 閉的 , 即 任 意兩 個1 實 數(shù)3實數(shù)的和、差、積、商 ( 除數(shù)不為 0) 仍然是實數(shù) .2 . 實數(shù)集是有序的 , 即任意 兩實 數(shù) a、b 必 滿足下 述三 個關(guān) 系

7、之 一 : a b .3 . 實數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性 , 即若 a b, b c, 則有 a c .4 . 實數(shù)具有阿基米德 ( Archimedes ) 性 , 即 對任 何 a、b R , 若 b a 0 , 則 存在正整數(shù) n , 使得 na b .5 . 實數(shù)集 R 具有稠密性 , 即任何兩 個不 相等 的實數(shù) 之間 必有另 一個 實數(shù) ,且既有有理數(shù) ( 見例 1 ) , 也有無理數(shù) .6 . 如果在一直線 ( 通常畫 成水 平直 線 ) 上 確 定一 點 O 作 為原 點 , 指 定一 個 方向為正向 ( 通常把指向右方的方向規(guī)定為正向 ) , 并規(guī)定一個單位長度 , 則稱此 直

8、線為數(shù)軸 .任一實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上 唯一 的一點 ; 反 之 , 數(shù)軸 上的 每一點 也都 唯 一地代表一個實數(shù) .于是 , 實數(shù)集 R 與數(shù) 軸上的點 有著一 一對應(yīng)關(guān) 系 .在 本書 以 后的敘述中 , 常把“ 實數(shù) a”與“數(shù)軸上的點 a”這兩種說法看作具有相同的含義 .例 2 設(shè) a、b R .證明 : 若對任何正數(shù) 有 a b .令 = a- b, 則 為正數(shù)且 a = b + , 但這與假設(shè) a b + 相矛盾 .從而必有 a b .關(guān)于實數(shù)的定義與性質(zhì)的詳細(xì)論述 , 有興趣的讀者可參閱本書附錄 .二 絕對值與不等式實數(shù) a 的絕對值定義為a=a , a 0 ,-a , a 0 .從

9、數(shù)軸上看 , 數(shù) a 的絕對值 | a | 就是點 a 到原點的距離 .實數(shù)的絕對值有如下一些性質(zhì) :1 . | a | = | - a | 0; 當(dāng)且僅當(dāng) a = 0 時有 | a | = 0 .2 . - | a | a | a | .3 . | a | h! - h a 0) .4 . 對于任何 a、bR 有如下的三角形不等式 :a-ba ba+b. 5 . | ab | = | a | | b| .6 .a b| a |=| b|( b 0) .下面只證明性質(zhì) 4 , 其余性質(zhì)由讀者自行證明 .由性質(zhì) 2 有4第一章 實數(shù)集與函數(shù)兩式相加后得到-a a a , -b b b.- (a+

10、b ) a + b a+b.根據(jù)性質(zhì) 3 , 上式等價于a + ba+b.( 1)將 (1 ) 式中 b 換成 - b, ( 1) 式右邊不變 , 即得 | a - b | | a | + | b | , 這 就證明了 性 質(zhì) 4 不等式的右半部分 .又由 | a | = | a - b + b | , 據(jù) (1 ) 式有aa -b+b.從而得a-ba -b.( 2)將 (2 ) 式中 b 換成 - b, 即得 | a | - | b | | a + b | .性質(zhì) 4 得證 .習(xí) 題1 . 設(shè) a 為有理數(shù) , x 為無理數(shù) .證明 : ( 1) a + x 是無理數(shù) ; ( 2)當(dāng) a0

11、時 , ax 是無理數(shù) .2 . 試在數(shù)軸上表示出下列不等式的解 : ( 1) x ( x2 - 1) 0; ( 2) | x - 1 | | x - 3 | ; ( 3)x - 1 -2 x - 13 x - 2 .3 . 設(shè) a、bR .證明 :若對任何正數(shù) 有 | a - b| 0 , b 0 , a b .證明 a + x 介于 1 與 a 之間 .b + xb8 . 設(shè) p 為正整數(shù) .證明 :若 p 不是完全平方數(shù) , 則p是無理數(shù) .9 . 設(shè) a、b 為給定實數(shù) .試用不等式符號 (不用絕對值符號) 表示下列不等式的解 : ( 1) | x - a| | x - b | ; (

12、 2) | x - a | x - b; (3) | x2 - a | b .2 數(shù)集確界原理本節(jié)中我們先定義 R 中兩類重要 的數(shù)集區(qū)間 與鄰域 , 然 后討論 有界 集2 數(shù)集確界原理5并給出確界定義和確界原理 .一 區(qū)間與鄰域設(shè) a、bR , 且 a b .我 們稱 數(shù)集 x | a x b 為開 區(qū)間 , 記 作 ( a , b) ; 數(shù) 集 x | a x b 稱為閉區(qū)間 , 記作 a , b ; 數(shù)集 x | a x b 和 x | a a ,( - , a) = xx a , ( - , + ) = x- x 0 .滿足絕對值不等式 | x - a | 的全體實數(shù) x 的集合稱為

13、點a 的鄰域 , 記作 U ( a;) , 或簡單地寫作 U( a ) , 即有U( a; ) = xx -a = ( a - , a + ) .點 a 的空心鄰域定義為U( a;) = x 0 x -a M , 其中 M 為充分大的正數(shù) ( 下同 ) ;+ 鄰域 U( + ) = x | x M; - 鄰域 U( - ) = x | x M .事實上 , 對任何正數(shù) M ( 無 論多么大 ) , 取 n0 = M + 1 , 則 n0 N + , 且 n0 M .這就證明了 N + 無上界 .讀者還可自行證明 : 任何有限區(qū) 間都 是有界 集 , 無限 區(qū)間 都是無 界集 ; 由 有 限個數(shù)

14、組成的數(shù)集是有界集 .若數(shù)集 S 有上界 , 則顯然它 有 無窮 多個 上界 , 而其 中最 小的 一個 上 界常 常 具有重要的作用 , 稱它為數(shù)集 S 的 上確 界 .同 樣 , 有下 界 數(shù)集 的最 大下 界 , 稱 為 該數(shù)集的下確界 .下面給出數(shù)集的上確界和下確界的精確定義 .定義 2 設(shè) S 是 R 中的一個數(shù)集 .若數(shù) 滿足 : ( i) 對一切 x S , 有 x, 即 是 S 的上界 ;( ii) 對任何 , 即 又是 S 的最小上界 ,則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的上確界 , 記作 = sup S . 定義 3 設(shè) S 是 R 中的一個數(shù)集 .若數(shù) 滿足 : ( i) 對一切 x

15、S , 有 x, 即 是 S 的下界 ;( ii) 對任何 , 存在 x0 S , 使得 x0 , 即 又是 S 的最大下界 ,則稱數(shù) 為數(shù)集 S 的下確界 , 記作 = inf S . 上確界與下確界統(tǒng)稱為確界 .例 2 設(shè) S = x | x 為區(qū)間 (0 , 1 ) 中的有理數(shù) .試按上、下確界的定 義驗證 :sup S = 1 , inf S = 0 .解 先驗證 sup S = 1 :( i) 對一切 x S , 顯然有 x 1 , 即 1 是 S 的上界 .( ii) 對任何 ; 若 0 , 則由有理數(shù) 集在實數(shù)集中的稠密性 , 在 ( , 1) 中必有有理數(shù) x0 , 即存在 x

16、0 S , 使得 x0 .類似地可驗證 inf S = 0 .讀者還 可 自 行 驗 證 : 閉 區(qū) 間 0 , 1 的 上、下 確 界 分 別 為 1 和 0 ; 對 于 數(shù) 集 x 表示不 超過數(shù) x 的 最大 整數(shù) , 例 如 2 .9 = 2 , - 4 .1 = - 5 .sup 是 拉丁文 supremum ( 上 確界 ) 一 詞的簡 寫 ; 下面 的 inf 是拉 丁文 infimum ( 下確 界 ) 一詞 的簡寫 .2 數(shù)集確界原理7E =( - 1 ) nnn = 1 , 2 , 有 sup E =N + = 1 , 而沒有上確界 . 12 , inf E = - 1 ;

17、 正整數(shù)集 N + 有下確界 inf注 1 由上 ( 下 ) 確界的定義可見 , 若數(shù)集 S 存在上 ( 下 ) 確界 , 則一定是唯一 的 .又若數(shù)集 S 存在上、下確界 , 則有 inf Ssup S .注 2 從上面一些例子可見 , 數(shù)集 S 的確界可能屬于 S , 也可能不屬于 S .例 3 設(shè)數(shù)集 S 有上確界 .證明 = sup S S ! = max S . 證 ) 設(shè) = sup S S , 則對一切 x S 有 x, 而 S , 故 是數(shù)集S 中最大的數(shù) , 即 = max S . ) 設(shè) = max S , 則 S ; 下面驗證 = sup S: ( i) 對一切 x S

18、, 有 x, 即 是 S 的上界 ;( ii) 對任何 .從 而滿 足 = sup S 的 定義 .關(guān)于數(shù)集確界的存在性 , 我們給出如下確界原理 .定理 1 .1 ( 確界原理 ) 設(shè) S 為非空數(shù)集 .若 S 有上界 , 則 S 必有上確界 ; 若S 有下界 , 則 S 必有下確界 .證 我們只證明關(guān)于上確界的結(jié)論 , 后一結(jié)論可類似地證明 .為敘述的方便起見 , 不妨設(shè) S 含有非負(fù)數(shù) .由于 S 有上界 , 故可找到非負(fù)整 數(shù) n , 使得1) 對于任何 x S 有 x n + 1 ;2) 存在 a0 S , 使 a0 n .對半開區(qū)間 n , n + 1) 作 10 等分 , 分點為

19、 n .1 , n .2 , n .9 , 則存在 0 , 1 , 2 , 9 中的一個數(shù) n1 , 使得1) 對于任何 x S 有 x n . n1 + 1 ;102) 存在 a1 S , 使 a1 n . n1 .再對半開區(qū)間 n . n1 , n . n1 + 1 ) 作 10 等 分 , 則 存在 0 , 1 , 2 , 9 中的一 個10數(shù) n2 , 使得1) 對于任何 x S 有 x n . n1 n2 + 1 ;1022) 存在 a2 S , 使 a2 n . n1 n2 .記號 max 是 maxim um( 最大 ) 一 詞的 簡寫 , = max S 表 示數(shù) 是 數(shù)集 S

20、 中 最大 的數(shù) .以下 將出 現(xiàn) 的記號 min 是 minimu m( 最小 ) 一 詞的簡 寫 , min S 表示 數(shù)集 S 中 最小 的數(shù) .8第一章 實數(shù)集與函數(shù)繼續(xù)不斷地 10 等分在前一步驟中所得到的半開區(qū)間 , 可知對任何 k = 1 , 2 , 存在 0 , 1 , 2 , 9 中的一個數(shù) nk , 使得1) 對于任何 x S 有 x n . n1 n2nk + 1 ;( 1)10 k2) 存在 ak S , 使 ak n . n1 n2nk .將上述步驟無限地進(jìn)行下去 , 得 到實 數(shù) = n . n1 n2nk.以 下證 明 = sup S .為此只需證明 :( i)

21、對一切 x S 有 x; ( ii ) 對任何 , 存在 a S 使 , 則 可找 到 x 的 k 位 不足 近 似xk , 使從而得xk 珔k = n . n1 n2nk + 1 ,10 kx n . n1 n2nk + 1 ,10 k但這與不等式 (1 ) 相矛盾 .于是 ( i) 得證 .現(xiàn)設(shè) 珔k , 即n . n1 n2nk 珔k .根據(jù)數(shù) 的構(gòu)造 , 存在 a S 使 ak , 從而有a k 珔k , 即得到 a.這說明 ( ii) 成立 .在本書中確界原理是極限理論的基礎(chǔ) , 讀者應(yīng)給予充分的重視 .例 4 設(shè) A 、B 為非空數(shù)集 , 滿足 : 對一切 x A 和 y B 有

22、x y .證 明 : 數(shù) 集 A 有上確界 , 數(shù)集 B 有下確界 , 且sup A inf B .( 2) 證 由假設(shè) , 數(shù)集 B 中任一數(shù) y 都是 數(shù)集 A 的 上界 , A 中任一 數(shù) x 都是 B的下界 , 故由確界原理推知數(shù)集 A 有上確界 , 數(shù)集 B 有下確界 .現(xiàn)證不等式 (2 ) .對任何 y B , y 是數(shù)集 A 的一個 上界 , 而由上 確界的定 義 知 , sup A 是數(shù)集 A 的最小上界 , 故有 sup A y .而此式又表明數(shù) sup A 是數(shù)集 B 的一個下界 , 故由下確界定義證得 sup Ainf B .例 5 設(shè) A 、B 為非空有界數(shù)集 , S

23、= A B .證明 : ( i) sup S = maxsup A , sup B;( ii) inf S = mininf A , inf B .證 由于 S = A B 顯然也是非空有界數(shù)集 , 因此 S 的上、下確界都存在 . ( i) 對任何 x S , 有 x A 或 x B xsup A 或 xsup B , 從而 有 x 2 數(shù)集確界原理9maxsup A , sup B , 故得 sup Smax sup A , sup B .另一方面 , 對任何 x A , 有 x S x sup S supA sup S ; 同 理又 有sup Bsup S .所以 sup Smaxsup

24、 A , sup B .綜上 , 即證得 sup S = maxsup A , sup B . ( ii) 可類似地證明 .若把 + 和 - 補充到實 數(shù)集 中 , 并規(guī) 定任 一實 數(shù) a 與 + 、- 的大 小關(guān) 系 為 : a - , - 0( a , b , c 為常數(shù) , 且 a b c) ; ( 4) sin x 2 .22 . 設(shè) S 為非空數(shù)集 .試對下列概念給出定義: ( 1) S 無上界 ; ( 2) S 無界 .3 . 試證明由 (3 )式所確定的數(shù)集 S 有上界而無下界 .4 . 求下列數(shù)集的上、下確界 , 并依定義加以驗證 : ( 1) S = x | x2 0 ,

25、a1 , x 為有理數(shù) .證明sup ar | r 為有理數(shù) , r 1 ,ax =inf ar | r 為有理數(shù) , r x , 當(dāng) a 0 ,0 ,x = 0 ,- 1 ,x 0是分段函數(shù) , 稱為符號函數(shù) , 其圖象如圖 1 - 1 所示 . 又如函數(shù) f ( x ) = | x | 也可 用 如下 的 分 段函 數(shù) 形式 來表示 :圖 1 - 1f ( x) =x ,x 0 ,-x , x 0 , a 1 ) 與 y = sinx ,14第一章 實數(shù)集與函數(shù)x- , 的反函數(shù)分別是22y = x -ba, y = log a x 與 y = arcsin x . 應(yīng)該注意 , 盡管反函

26、數(shù) f - 1 的表示式 (4 ) 與 ( 5) 的形式不同 , 但它 們?nèi)员硎?同 一個函數(shù) , 因 為它 們的定 義域 都是 f ( D) , 對應(yīng) 法則 都是 f - 1 , 只是 所用 變量 的 記號不同而已 .六 初等函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中 , 讀者已經(jīng)熟悉基本初等函數(shù)有以下六類 :常量函數(shù) y = c ( c 是常數(shù) ) ; 冪函數(shù) y = x(為實數(shù) ) ; 指數(shù)函數(shù) y = ax ( a 0 , a 1) ; 對數(shù)函數(shù) y = log a x ( a 0 , a1 ) ;三角函數(shù) y = sin x( 正弦函數(shù) ) , y = cos x ( 余弦函數(shù) ) , y = tan x(

27、正切函數(shù) ) , y = cot x( 余切函數(shù) ) ;反三角函數(shù) y = arcsin x( 反正弦函數(shù) ) , y = arccos x ( 反余弦函數(shù) ) , y = arctan x ( 反正切函數(shù) ) , y = arccot x( 反余切函數(shù) ) .這里我們要指 出 , 冪函 數(shù) y = x 和指數(shù) 函數(shù) y = ax 都涉 及乘冪 , 而 在中 學(xué) 數(shù)學(xué)課程中只給出了有理指數(shù)乘冪的定 義 .下面 我們借 助確 界來 定義無 理指 數(shù) 冪 , 使它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實指數(shù)乘冪 , 并保持有理指數(shù)冪的基本性質(zhì) .定義 2 給定實數(shù) a 0 , a1 .設(shè) x 為無理數(shù) , 我們規(guī)定

28、ax =sup arr 為有理數(shù) , 當(dāng) a 1 時 ,r xinf arr 為有理數(shù) , 當(dāng) 0 a 1 時 .r x( 6)( 7) 注 1 對任一無理數(shù) x , 必有有理數(shù) r0 , 使 x r0 , 則當(dāng)有理數(shù) r x 時有 r 1 時有 ar ar 0 .這表明非空數(shù)集 arr x , r 為有理數(shù) 有一個上界 ar 0 .由確界原理 , 該數(shù)集有上確界 , 所以 ( 6) 式右邊是一個確定的數(shù) .同理 , 當(dāng) 0 a 1 , ( 5) y =x3 , | x | 0 .圖 1 - 2求 : (1 ) f ( - 3) , f (0 ) , f ( 1) ; (2 ) f ( x) - f ( 0) , f ( - x) - f